北京市顺义区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
1．（2023高二上·顺义期中）若直线与垂直，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．（2023高二上·顺义期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·顺义期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·顺义期中）若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·顺义期中）已知抛物线上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
6．（2023高二上·顺义期中）已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（ ）
A． B． C．与斜交 D．
7．（2023高二上·顺义期中）已知点的坐标为，圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023高二上·顺义期中）已知三棱锥，点是的中点，点是的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023高二上·顺义期中）设点为函数图象上的动点，是圆：（其中）上的动点，若的最小值为，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二上·顺义期中）如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（ ）
A．对于任意的点，均有
B．存在点，使得平面
C．存在点，使得与所成角是60°
D．不存在点，使得与平面的所成角是30°
11．（2023高二上·顺义期中）直线的倾斜角为 .
12．（2023高二上·顺义期中）平面直角坐标系中，已知直线过点（0，4），与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 .
13．（2023高二上·顺义期中）已知抛物线：的焦点为F，准线为，则F到的距离是 ；若斜率为的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M，过M作垂直于于点N，则的面积为 .
14．（2023高二上·顺义期中）已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，设两曲线的其中一个交点为P，且，则双曲线的离心率为 .
15．（2023高二上·顺义期中）关于曲线：，：
①曲线关于x轴、y轴和原点对称；
②当时，两曲线共有四个交点；
③当时，曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积；
④当时，曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3.
上述结论中所有正确命题的序号是 .
16．（2023高二上·顺义期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为.
（1）求圆的标准方程；
（2）若与圆相切，求m的值；
（3）若直线被圆截得的弦长，求的值
17．（2023高二上·顺义期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点.
（1）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（2）经过焦点F且斜率是1的直线，与抛物线交于A、B两点，求以及的面积.
18．（2023高二上·顺义期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2023高二上·顺义期中）如图，直三棱柱中，，，，M为棱的中点，点N是上靠近C的三等分点
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）棱上是否存在点，使得点在平面内 若存在，求的值；若不存在，说明理由.
20．（2023高二上·顺义期中）已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为，记直线，的斜率分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）求证：为定值.
21．（2023高二上·顺义期中）对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值.
（1）已知，.
①直接写出和（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时的值；
（2）设，，求证：；
（3）在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解： 直线与垂直，，.
故答案为：A.
【分析】根据两直线垂直得到，求出a的值即可.
2．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解： 椭圆焦点坐标为和，，
椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，，，，
椭圆的标准方程是.
故答案为：C.
【分析】 根据椭圆定义写出椭圆的标准方程是.
3．【答案】D
【知识点】圆的标准方程；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解： 可化为，表示圆的方程，，即.
故答案为：D.
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，则求出m的取值范围.
4．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C：的焦距长为8，，，
双曲线C：，双曲线的渐近线方程为.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线性质得，求出m，进而写出双曲线的渐近线方程.
5．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线性质知抛物线的准线为，，.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线定义得到，进而求出p的值.
6．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【解答】解：设直线与平面的夹角为，则， 与斜交.
故答案为：C.
【分析】设直线与平面的夹角为，利用向量夹角公式求出，判断 与的位置关系.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：设圆M半径为，点M的坐标为，点M到x轴距离为，到y轴距离为，，
充分性：若 ，则，求得，即，充分性不成立；
必要性：若，则，，必要性成立，
“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据圆的弦长公式和圆心坐标，分别证明充分性和必要性是否成立.
8．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：点G是的重心，，
.
故答案为：B.
【分析】根据重心性质得，再根据向量的加法运算求向量用基底表示.
9．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 的最小值为， 的最小值为，
当a=0，b=0时，不满足题意；
当a>0，b=0时，由图知， 圆心为；
当a<0，b=0时，由对称性知圆心为；
当a=0，b>0时，由图知 ，圆心为；
当a=0，b<0时，由图知，；
连接四点得得到四边形，四边形的面积.
故答案为：A.
【分析】分圆心在原点、在x轴上和在y轴上结合图象讨论分析，利用圆心到直线距离求出圆心坐标，进而求解多边形面积.
10．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为2，以点D为坐标原点以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
D(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(1，2，1)，
点F在线段BD上，设F(a，a，0)，，
，，，
A.，对任意F，有，A正确；
B.易知平面的法向量为，当时，求得，满足，存在F，有平面，B正确；
C.当时，求得，，存在F，有与夹角为，C正确；
D.易知平面的法向量为，当时，求得，满足，存在F，有与平面夹角为，D错误；
.
故答案为：D.
【分析】设正方体的棱长为2，以点D为坐标原点以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一分析选项.
11．【答案】0
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解： 直线与x轴平行斜率为0，倾斜角为0.
故答案为：0.
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解.
12．【答案】
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：显然直线斜率存在且不为0，设直线l方程为y=kx+4，则直线与x轴交点坐标为，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为，求得k=±2，直线l方程为y=±2x+4.
故答案为：.
【分析】显然直线斜率存在且不为0，设直线l方程为y=kx+4，根据三角形面积公式求解k的值，得到直线方程.
13．【答案】4；
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由抛物线定义知焦点坐标为，准线l为，F到l距离为2-（-2）=4，
设直线方程为，联立，得，求得或，
M在第一象限，，当时，，点，
.
故答案为：4；.
【分析】根据题意结合抛物线的定义求F到的距离；求出直线方程，与抛物线联立求出点M的坐标，进而求解 的面积 .
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意得椭圆焦点坐标为，，
椭圆与双曲线有共同焦点，，
不妨设点P在第一象限，则，，求得，，又，，求得，双曲线离心率.
故答案为：.
【分析】由题意得，设点P在第一象限，根据椭圆和双曲线定义求得，，再结合 利用余弦定理求出，进而求双曲线离心率.
15．【答案】①②④
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：①设(m>0)，
，
，
，
曲线W2关于x轴、y轴和原点对称，①正确；
②当m=1时，，
联立，求得或或或或
两曲线共有四个交点，②正确；
③曲线和的图象关于x轴、y轴和原点对称，研究第一象限的曲线即可，
设，，
，，，，，，
当时，曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积，③错误；
④当时，则，，曲线上任意一点(x，y)到原点距离，，，
根据对称性知： 曲线对围成的平面区域内 (含边界)两点之间的距离的最大值是3.
故答案为：①②④.
【分析】①设，证明，，都等于即可；②联立曲线方程求出交点坐标，进而求交点个数，③设，，，讨论第一象限与大小，进而判断曲线与围成的区域面积大小；④利用二次函数性质求曲线上任意一点(x，y)到原点距离的范围，结合对称性判断.
16．【答案】（1）解：由题意知，
所以圆的方程为.
（2）解：圆心到直线的距离
解得或
（3）解：设圆心到直线的距离为，有
因为，所以
即有，解得或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】(1)根据两点间距离公式求出半径，然后写出圆的标准方程；
(2)根据圆心到直线距离等于半径求m的值；
(3)根据弦长公式求出圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式求的值 .
17．【答案】（1）解：由题设方程为，
将代入，解得
所以抛物线的标准方程为.
焦点坐标为（1，0）.
（2）解：因为直线，过点，所以直线的方程为，
联立，
消得
设，，则，.
（或）
所以.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意设抛物线的方程为，代入点 ，求出p，进而写出抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)由题意写出直线AB方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理求，再结合点到直线距离公式求的面积.
18．【答案】（1）证明：因为为正方形，所以，
因为平面，平面
所以平面.
（2）解：因为平面，所以，
又因为底面是正方形，所以，
如图，以、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
（3）解：平面的法向量为
，设直线与平面所成角为，
则，所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】 (1) 因为为正方形，所以，结合线面平行判定定理求平面；
(2)以、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求 求直线与所成角的余弦值；
(3) 求出平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值.
19．【答案】（1）解：证明：连接，，
由于，，所以
在直三棱柱中，
平面，所以，
又，所以平面.
（2）解：如图，
取中点，由于平面，，因此平面，
又因为，所以，故，，两两垂直，
以M为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，
设平面的法向量为，
，即，取，则
平面的法向量为
设所求二面角为，则
（3）解：设，
则，
因为平面的法向量，
若点在平面内，则垂直于，
所以，解得，
所以棱上存在点，使得点在平面内，此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 连接，，通过证明，，得到平面；
(2)取中点，以M为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；
(3) 设，求出平面的法向量，求时，满足的的值，进而写出 的值.
20．【答案】（1）解：依题意，所以.
因为，所以.
所以.
所以椭圆的方程为.
（2）解：椭圆得右焦点.
由已知可知，直线的斜率存在，设直线：，
联立方程组，消得，成立.
设，，则，
，
所以，所以，直线：.
（3）证明：由上问可知，，.
分子化为.
所以
综上所述，为定值2.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 依题意得到，再根据椭圆离心率和求椭圆的方程；
(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线：与椭圆方程联立，结合韦达定理和弦长公式
，求解k的值，得到直线方程；
(3) 结合(2)化简，判断其是否为定值.
21．【答案】（1）解：①，；
②，，此时
（2）解：
因为，，
所以，
所以.
（3）解：
【知识点】不等关系与不等式；共面向量定理；不等式的证明
【解析】【解答】 (3)由题意知Q，A，B，C四点共面，，又，，，，
由（2）知，
，
，当且仅当时等号成立.
【分析】 (1)①根据定义直接求解；②根据定义分和讨论写出，进而求其最小值，和此时x的值；
(2)根据定义结合三角不等式直接证明；
(3)由四点共面的充要条件结合定义及三角不等式求解，进而直接写出的最小值.
1 / 1北京市顺义区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
1．（2023高二上·顺义期中）若直线与垂直，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解： 直线与垂直，，.
故答案为：A.
【分析】根据两直线垂直得到，求出a的值即可.
2．（2023高二上·顺义期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解： 椭圆焦点坐标为和，，
椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，，，，
椭圆的标准方程是.
故答案为：C.
【分析】 根据椭圆定义写出椭圆的标准方程是.
3．（2023高二上·顺义期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解： 可化为，表示圆的方程，，即.
故答案为：D.
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，则求出m的取值范围.
4．（2023高二上·顺义期中）若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C：的焦距长为8，，，
双曲线C：，双曲线的渐近线方程为.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线性质得，求出m，进而写出双曲线的渐近线方程.
5．（2023高二上·顺义期中）已知抛物线上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线性质知抛物线的准线为，，.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线定义得到，进而求出p的值.
6．（2023高二上·顺义期中）已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（ ）
A． B． C．与斜交 D．
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【解答】解：设直线与平面的夹角为，则， 与斜交.
故答案为：C.
【分析】设直线与平面的夹角为，利用向量夹角公式求出，判断 与的位置关系.
7．（2023高二上·顺义期中）已知点的坐标为，圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：设圆M半径为，点M的坐标为，点M到x轴距离为，到y轴距离为，，
充分性：若 ，则，求得，即，充分性不成立；
必要性：若，则，，必要性成立，
“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据圆的弦长公式和圆心坐标，分别证明充分性和必要性是否成立.
8．（2023高二上·顺义期中）已知三棱锥，点是的中点，点是的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：点G是的重心，，
.
故答案为：B.
【分析】根据重心性质得，再根据向量的加法运算求向量用基底表示.
9．（2023高二上·顺义期中）设点为函数图象上的动点，是圆：（其中）上的动点，若的最小值为，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 的最小值为， 的最小值为，
当a=0，b=0时，不满足题意；
当a>0，b=0时，由图知， 圆心为；
当a<0，b=0时，由对称性知圆心为；
当a=0，b>0时，由图知 ，圆心为；
当a=0，b<0时，由图知，；
连接四点得得到四边形，四边形的面积.
故答案为：A.
【分析】分圆心在原点、在x轴上和在y轴上结合图象讨论分析，利用圆心到直线距离求出圆心坐标，进而求解多边形面积.
10．（2023高二上·顺义期中）如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（ ）
A．对于任意的点，均有
B．存在点，使得平面
C．存在点，使得与所成角是60°
D．不存在点，使得与平面的所成角是30°
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为2，以点D为坐标原点以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
D(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(1，2，1)，
点F在线段BD上，设F(a，a，0)，，
，，，
A.，对任意F，有，A正确；
B.易知平面的法向量为，当时，求得，满足，存在F，有平面，B正确；
C.当时，求得，，存在F，有与夹角为，C正确；
D.易知平面的法向量为，当时，求得，满足，存在F，有与平面夹角为，D错误；
.
故答案为：D.
【分析】设正方体的棱长为2，以点D为坐标原点以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一分析选项.
11．（2023高二上·顺义期中）直线的倾斜角为 .
【答案】0
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解： 直线与x轴平行斜率为0，倾斜角为0.
故答案为：0.
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解.
12．（2023高二上·顺义期中）平面直角坐标系中，已知直线过点（0，4），与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 .
【答案】
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：显然直线斜率存在且不为0，设直线l方程为y=kx+4，则直线与x轴交点坐标为，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为，求得k=±2，直线l方程为y=±2x+4.
故答案为：.
【分析】显然直线斜率存在且不为0，设直线l方程为y=kx+4，根据三角形面积公式求解k的值，得到直线方程.
13．（2023高二上·顺义期中）已知抛物线：的焦点为F，准线为，则F到的距离是 ；若斜率为的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M，过M作垂直于于点N，则的面积为 .
【答案】4；
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由抛物线定义知焦点坐标为，准线l为，F到l距离为2-（-2）=4，
设直线方程为，联立，得，求得或，
M在第一象限，，当时，，点，
.
故答案为：4；.
【分析】根据题意结合抛物线的定义求F到的距离；求出直线方程，与抛物线联立求出点M的坐标，进而求解 的面积 .
14．（2023高二上·顺义期中）已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，设两曲线的其中一个交点为P，且，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意得椭圆焦点坐标为，，
椭圆与双曲线有共同焦点，，
不妨设点P在第一象限，则，，求得，，又，，求得，双曲线离心率.
故答案为：.
【分析】由题意得，设点P在第一象限，根据椭圆和双曲线定义求得，，再结合 利用余弦定理求出，进而求双曲线离心率.
15．（2023高二上·顺义期中）关于曲线：，：
①曲线关于x轴、y轴和原点对称；
②当时，两曲线共有四个交点；
③当时，曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积；
④当时，曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3.
上述结论中所有正确命题的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：①设(m>0)，
，
，
，
曲线W2关于x轴、y轴和原点对称，①正确；
②当m=1时，，
联立，求得或或或或
两曲线共有四个交点，②正确；
③曲线和的图象关于x轴、y轴和原点对称，研究第一象限的曲线即可，
设，，
，，，，，，
当时，曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积，③错误；
④当时，则，，曲线上任意一点(x，y)到原点距离，，，
根据对称性知： 曲线对围成的平面区域内 (含边界)两点之间的距离的最大值是3.
故答案为：①②④.
【分析】①设，证明，，都等于即可；②联立曲线方程求出交点坐标，进而求交点个数，③设，，，讨论第一象限与大小，进而判断曲线与围成的区域面积大小；④利用二次函数性质求曲线上任意一点(x，y)到原点距离的范围，结合对称性判断.
16．（2023高二上·顺义期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为.
（1）求圆的标准方程；
（2）若与圆相切，求m的值；
（3）若直线被圆截得的弦长，求的值
【答案】（1）解：由题意知，
所以圆的方程为.
（2）解：圆心到直线的距离
解得或
（3）解：设圆心到直线的距离为，有
因为，所以
即有，解得或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】(1)根据两点间距离公式求出半径，然后写出圆的标准方程；
(2)根据圆心到直线距离等于半径求m的值；
(3)根据弦长公式求出圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式求的值 .
17．（2023高二上·顺义期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点.
（1）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（2）经过焦点F且斜率是1的直线，与抛物线交于A、B两点，求以及的面积.
【答案】（1）解：由题设方程为，
将代入，解得
所以抛物线的标准方程为.
焦点坐标为（1，0）.
（2）解：因为直线，过点，所以直线的方程为，
联立，
消得
设，，则，.
（或）
所以.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意设抛物线的方程为，代入点 ，求出p，进而写出抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)由题意写出直线AB方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理求，再结合点到直线距离公式求的面积.
18．（2023高二上·顺义期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为为正方形，所以，
因为平面，平面
所以平面.
（2）解：因为平面，所以，
又因为底面是正方形，所以，
如图，以、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
（3）解：平面的法向量为
，设直线与平面所成角为，
则，所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】 (1) 因为为正方形，所以，结合线面平行判定定理求平面；
(2)以、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求 求直线与所成角的余弦值；
(3) 求出平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2023高二上·顺义期中）如图，直三棱柱中，，，，M为棱的中点，点N是上靠近C的三等分点
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）棱上是否存在点，使得点在平面内 若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：证明：连接，，
由于，，所以
在直三棱柱中，
平面，所以，
又，所以平面.
（2）解：如图，
取中点，由于平面，，因此平面，
又因为，所以，故，，两两垂直，
以M为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，
设平面的法向量为，
，即，取，则
平面的法向量为
设所求二面角为，则
（3）解：设，
则，
因为平面的法向量，
若点在平面内，则垂直于，
所以，解得，
所以棱上存在点，使得点在平面内，此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 连接，，通过证明，，得到平面；
(2)取中点，以M为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；
(3) 设，求出平面的法向量，求时，满足的的值，进而写出 的值.
20．（2023高二上·顺义期中）已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为，记直线，的斜率分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）求证：为定值.
【答案】（1）解：依题意，所以.
因为，所以.
所以.
所以椭圆的方程为.
（2）解：椭圆得右焦点.
由已知可知，直线的斜率存在，设直线：，
联立方程组，消得，成立.
设，，则，
，
所以，所以，直线：.
（3）证明：由上问可知，，.
分子化为.
所以
综上所述，为定值2.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 依题意得到，再根据椭圆离心率和求椭圆的方程；
(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线：与椭圆方程联立，结合韦达定理和弦长公式
，求解k的值，得到直线方程；
(3) 结合(2)化简，判断其是否为定值.
21．（2023高二上·顺义期中）对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值.
（1）已知，.
①直接写出和（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时的值；
（2）设，，求证：；
（3）在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）.
【答案】（1）解：①，；
②，，此时
（2）解：
因为，，
所以，
所以.
（3）解：
【知识点】不等关系与不等式；共面向量定理；不等式的证明
【解析】【解答】 (3)由题意知Q，A，B，C四点共面，，又，，，，
由（2）知，
，
，当且仅当时等号成立.
【分析】 (1)①根据定义直接求解；②根据定义分和讨论写出，进而求其最小值，和此时x的值；
(2)根据定义结合三角不等式直接证明；
(3)由四点共面的充要条件结合定义及三角不等式求解，进而直接写出的最小值.
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