广东省广州市三校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： ，，
又 ，.
故答案为：D.
【分析】先用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求.
2．（2017高二下·临沭开学考）设z= +i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z= +i= +i= ．
故|z|= = ．
故选B．
【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．
3．设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X=3)等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品．故P（X=3)=××=，故选C。
4．（2023·）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得 在方向上的投影向量为，，
.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的计算公式求得，进而求.
5．（2023·）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： ，，， .
故答案为：C.
【分析】利用中间量0和比较大小.
6．（2023·）公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由定义得 ，
.
故答案为：C.
【分析】由定义得 ，进而利用正弦的二倍角公式和两角差公式求.
7．（2020高三上·乌鲁木齐月考）双曲线E： 的一条渐近线与圆 相交于 若 的面积为2，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的一条渐近线： ，
与圆 相交于 两点，圆的圆心 ，半径为2，
圆心到直线的距离为： ，弦长|
可得： ，
整理得： ，即 ，
解得双曲线 的离心率为 ．
故答案为：C．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，进一步求得弦长，利用三角形面积公式列式求解．
8．（2023·）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二倍角的正弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数在上单调递减，
时，恒成立，又 ，
令 ，则，
在恒成立，
令，则，求得 .
故答案为：A.
【分析】由题意得，恒成立，令，则，结合二次函数性质求的取值范围.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023·）下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，，则
B．命题，的否定是：，
C．若且，则
D．若，，则实数
【答案】A,B
【知识点】全称量词；存在量词命题；命题的否定；利用不等式的性质比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解： A. ，，又，，，A正确；
B.命题，的否定是：， ，B正确；
C.当，时，满足 且 ，但 ，C错误；
D. ，， ，又当时，，，D错误.
故答案为：AB.
【分析】A根据不等式性质分析判断；B根据存在性量词命题的否定定义判断选项；C取特殊值，判断；D分离常数，结合基本不等式求解判断.
10．（2023·）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意得圆锥的底面直径为，圆锥的高为，
A.圆锥的体积为，A正确；
B.圆锥的表面积为，B错误；
C.设圆锥的侧面展开面扇形的圆心角为，则，求得，C正确；
D.设圆锥的内切球半径为，则，，
内切球表面积为 ，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据轴截面为直角三角形求出底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，再由圆锥的体积表面积公式求解判断AB；根据扇形弧长公式求解判断C；设圆锥的内切球半径为，利用等面积法，求出内切球半径，进而求出内切球表面积判断D.
11．（2023·）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．过，两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则
【答案】B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设 ，则，直线 的斜率，，
抛物线的焦点，设直线 方程为，
，，
联立，消去x得，，求得，
A. 抛物线的准线方程为 ，A错误；
B. 抛物线，即， ，点处切线斜率为，点处切线斜率为 ，，点处切线与点处切线垂直，
点在以为直径的圆上 ，B正确；
C.设 ，则，， ，C错误；
D.直线的斜率为，设直线方程为，
联立，消去x得，，，
又 ， ，D正确.
故答案为：BD.
【分析】画出图象，结合图象分析得，进而直线 的斜率，设直线方程与抛物线联立，利用根与系数关系及求出，进而逐一分析选项.
12．（2023·）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
记图乙中第行白圈的个数为，黑圈的个数为，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，均为等比数列
D．
【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意知 ，，，，数列是常数列，
，求得，，
A.，，，， ，A错误；
B.，B正确；
C.当时，是首项为1公比为3的等比数列，当时， 是首项为1公比为1的等比数列，C正确；
D.，，，，，， ，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意易得 ，，，后两式作差得到数列是为1的常数列，进而求出数列和通项分析选项.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·）今年3月23-24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 .
【答案】135
【知识点】概率的意义；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：这次测试的数学成绩满足，且，
，
数学成绩为优秀的人数是.
故答案为：135.
【分析】根据正态分布图象的对称性得，进而求数学成绩为优秀的人数.
14．（2022·河南模拟）的展开式中的系数是 （用数字作答）
【答案】27
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】的第项为，
令，，得，，
代入通项公式可得展开式中的和项分别为：和，分别与和相乘，
得的展开式中项为，故的系数为27。
故答案为：27。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求和法，进而得出 的展开式中的系数。
15．（2023·）在海岸处，发现北偏东45°方向，距处海里的处有一艘走私船，在处北偏西75°方向，距处2海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟.（注：）
【答案】15
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设缉私船要最快追上走私船在D处，所需的时间约是t小时，则，，
由题意得，，，
在中由余弦定理得，
由正弦定理得，即，，，
在中由余弦定理得，即，，
求得，
所需时间约为15分钟.
故答案为：15.
【分析】设缉私船要最快追上走私船在D处，所需的时间约是t小时，在中利用余弦定理求出，结合正弦定理求出，进而得到，再在中由余弦定理求出时间t的值.
16．（2023·）已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： ， ，
令，求得，在和单调递增，单调递减，
画出大致图象如下，
，，且 ， ，
令，，则，令，求得，
在单调递增，单调递减，
又，，，当时，
的取值范围是.
故答案为： .
【分析】求导分析单调性，画出大致图象，求出取值范围，结合，代入求解 的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023·）如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，，的距离分别为和2.，分别是直线，上的动点，且，设.
（1）写出面积关于的函数解析式；
（2）求函数的最小值及相对应的的值.
【答案】（1）解：
又 ， 则
Rt 中， ， Rt 中，
（2）解：
当 ， 即 时， 取得晨小值为 .
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)结合三角函数的定义和三角形的面积公式得到函数解析式；
(2)利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质，求最小值及相对应的的值.
18．（2023·）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB，所以DC∥EF .又因为E平面PCD，DC平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又因为EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH ，
所以EF∥GH，又因为EF∥AB，所以AB∥GH .
（2）解：因为AB⊥BO，PB上平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直.
以点B为坐标原点，分别以BA，BO，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。
由BA=BP=BQ=2，则A（2，0，0），D（1，1，0），C（O，10），P（0，0，2），
所以 .
设平面 P A B 的一个法向量为 ， 则可取
设平面 P D C 的一个法向量为 ， 由
得 ， 取 ， 得
所以
所以平面 P A B 与平面 P D C 夹角的余弦值为
（3）解：由点到平面的距高公式可得， 点 到平面 P C D 的距离为
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)利用中位线证明 DC∥AB∥EF ，所以得到EF∥平面PCD，再结合线面平行性质证明EF∥GH，进而得到 ；
(2) 以B为坐标原点，BA，BO，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用空间向量求平面与平面夹角的余弦值；
(3)利用空间向量点到平面距离公式求点到平面的距离.
19．（2023·）设是等差数列，是等比数列，公比大于0.已知，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足.求.
【答案】（1）解： 是等差数列，是等比数列，公比大于0，
设数列的公差为d，数列的公比为q>0，又，则，，
由，得，，由，得，，即，求得（舍负），，
，；
（2）解：由 （1）得
则
令
则
两式相减得
所以
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)数列的公差为d，数列的公比为q>0，代入 ，求出d，q，得到通项公式；
(2) 利用分组求和结合等差数列前n项和和错位相减法求 .
20．（2023·）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
概率
其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）
（1）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由.
（2）若，求，并根据全概率公式，求.
【答案】（1）解：不存在 的值使得 ， 理由如下：
由题意得， ①
且 ②
由②得到 ， 将其代入（1）， 整理得到
令 ， 则
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增
故 在 处取得极小值， 也是最小值， 又
故 无解， 所以不存在 的值使得
（2）解：若 ， 则 ， 解得
由全概率公式可得
因为 ， 所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；相互独立事件；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】(1)由概率之和为1和期望公式得到方程组，联立得到， 令 ，求导得到函数单调性求出极值，最值，进而得到答案；
(2)由 和求出 ，再利用全概率公式求.
21．（2023·）已知函数，（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）解：
令
当 时， ，
当 时，
当 时， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增
当 时， 一元二次方程 的判别式为 ，当 时， 方程有一个正根 ，当 时， ， 当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增当 时， 方程有两个正根， 分别为 ，
当 ， 或 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增
当 时， 恒成立， 所以 在 上单调递减
（2）证明：要证 只需证
只需证 只需证 只需证
设 ， 则需证
只需证
由 （1） 知，
所以只需
即证
令 ， 则 恒成立，
所以当 时， 在 上单调遥增， 所以
所以 成立， 因此， 原不等式得证
【知识点】利用导数研究函数的单调性；二次函数与一元二次不等式的对应关系；分析法和综合法；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】(1)对求导，结合二次函数性质讨论正负，得到的单调性；
(2)利用分析法，结合构造，换元和导数性质证明不等式.
22．（2023·）设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是.
（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）当时，记动点的轨迹为，动直线与抛物线相切，且与曲线交于点，.求面积的最大值.
【答案】（1）解：设 ， 则
化简得 ，
当 时， ， 轨迹为一条直线；
当 时， ， 此时轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时， ， 此时轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
综上： 当 时， 轨迹方程为 ， 轨迹为一条直线，当 时， 轨迹方程为 ， 轨迹为焦点在 轴上的椭圆当 时， 轨迹方程为 ， 轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
（2）解：当 时，
当直线 斜率不存在时， 又与 相切， 故此时直线 ， 此时 O， A， B 三点共线， 不合要求， 舍去， 设直线 ， 联立 得
由 得 ， 显然
联立 得， ，由 ， 结合 ， 解得 设 ，
则
设直线 与 轴交于点 ； 则 ，
则
将 代入得 ，
因为 ， 令 ， 则 ，
设 ， 则设 ， 则
当 时， ， 当 时， ，故 在 上单调遥增， 在 上单调递减，故 在 处取得极大值， 也是最大值，
故 最大值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意得到 ，分 ， 和 讨论动点的轨迹方程和轨迹的形状；
(2)当直线 斜率不存在时，不合要求， 设直线 ，与抛物线联立由 得到 ，联立
根据判别式大于0得到，设 ，
结合根与系数的关得到， 令 ， ，
求导讨论其极值与最值.
1 / 1广东省广州市三校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2017高二下·临沭开学考）设z= +i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
3．设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X=3)等于( )
A． B．
C． D．
4．（2023·）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·）公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（ ）
A． B． C．4 D．8
7．（2020高三上·乌鲁木齐月考）双曲线E： 的一条渐近线与圆 相交于 若 的面积为2，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023·）下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，，则
B．命题，的否定是：，
C．若且，则
D．若，，则实数
10．（2023·）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
11．（2023·）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．过，两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则
12．（2023·）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
记图乙中第行白圈的个数为，黑圈的个数为，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，均为等比数列
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·）今年3月23-24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 .
14．（2022·河南模拟）的展开式中的系数是 （用数字作答）
15．（2023·）在海岸处，发现北偏东45°方向，距处海里的处有一艘走私船，在处北偏西75°方向，距处2海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟.（注：）
16．（2023·）已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023·）如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，，的距离分别为和2.，分别是直线，上的动点，且，设.
（1）写出面积关于的函数解析式；
（2）求函数的最小值及相对应的的值.
18．（2023·）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
19．（2023·）设是等差数列，是等比数列，公比大于0.已知，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足.求.
20．（2023·）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
概率
其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）
（1）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由.
（2）若，求，并根据全概率公式，求.
21．（2023·）已知函数，（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
22．（2023·）设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是.
（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）当时，记动点的轨迹为，动直线与抛物线相切，且与曲线交于点，.求面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： ，，
又 ，.
故答案为：D.
【分析】先用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z= +i= +i= ．
故|z|= = ．
故选B．
【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．
3．【答案】C
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品．故P（X=3)=××=，故选C。
4．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得 在方向上的投影向量为，，
.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的计算公式求得，进而求.
5．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： ，，， .
故答案为：C.
【分析】利用中间量0和比较大小.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由定义得 ，
.
故答案为：C.
【分析】由定义得 ，进而利用正弦的二倍角公式和两角差公式求.
7．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的一条渐近线： ，
与圆 相交于 两点，圆的圆心 ，半径为2，
圆心到直线的距离为： ，弦长|
可得： ，
整理得： ，即 ，
解得双曲线 的离心率为 ．
故答案为：C．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，进一步求得弦长，利用三角形面积公式列式求解．
8．【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二倍角的正弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数在上单调递减，
时，恒成立，又 ，
令 ，则，
在恒成立，
令，则，求得 .
故答案为：A.
【分析】由题意得，恒成立，令，则，结合二次函数性质求的取值范围.
9．【答案】A,B
【知识点】全称量词；存在量词命题；命题的否定；利用不等式的性质比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解： A. ，，又，，，A正确；
B.命题，的否定是：， ，B正确；
C.当，时，满足 且 ，但 ，C错误；
D. ，， ，又当时，，，D错误.
故答案为：AB.
【分析】A根据不等式性质分析判断；B根据存在性量词命题的否定定义判断选项；C取特殊值，判断；D分离常数，结合基本不等式求解判断.
10．【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意得圆锥的底面直径为，圆锥的高为，
A.圆锥的体积为，A正确；
B.圆锥的表面积为，B错误；
C.设圆锥的侧面展开面扇形的圆心角为，则，求得，C正确；
D.设圆锥的内切球半径为，则，，
内切球表面积为 ，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据轴截面为直角三角形求出底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，再由圆锥的体积表面积公式求解判断AB；根据扇形弧长公式求解判断C；设圆锥的内切球半径为，利用等面积法，求出内切球半径，进而求出内切球表面积判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设 ，则，直线 的斜率，，
抛物线的焦点，设直线 方程为，
，，
联立，消去x得，，求得，
A. 抛物线的准线方程为 ，A错误；
B. 抛物线，即， ，点处切线斜率为，点处切线斜率为 ，，点处切线与点处切线垂直，
点在以为直径的圆上 ，B正确；
C.设 ，则，， ，C错误；
D.直线的斜率为，设直线方程为，
联立，消去x得，，，
又 ， ，D正确.
故答案为：BD.
【分析】画出图象，结合图象分析得，进而直线 的斜率，设直线方程与抛物线联立，利用根与系数关系及求出，进而逐一分析选项.
12．【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意知 ，，，，数列是常数列，
，求得，，
A.，，，， ，A错误；
B.，B正确；
C.当时，是首项为1公比为3的等比数列，当时， 是首项为1公比为1的等比数列，C正确；
D.，，，，，， ，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意易得 ，，，后两式作差得到数列是为1的常数列，进而求出数列和通项分析选项.
13．【答案】135
【知识点】概率的意义；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：这次测试的数学成绩满足，且，
，
数学成绩为优秀的人数是.
故答案为：135.
【分析】根据正态分布图象的对称性得，进而求数学成绩为优秀的人数.
14．【答案】27
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】的第项为，
令，，得，，
代入通项公式可得展开式中的和项分别为：和，分别与和相乘，
得的展开式中项为，故的系数为27。
故答案为：27。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求和法，进而得出 的展开式中的系数。
15．【答案】15
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设缉私船要最快追上走私船在D处，所需的时间约是t小时，则，，
由题意得，，，
在中由余弦定理得，
由正弦定理得，即，，，
在中由余弦定理得，即，，
求得，
所需时间约为15分钟.
故答案为：15.
【分析】设缉私船要最快追上走私船在D处，所需的时间约是t小时，在中利用余弦定理求出，结合正弦定理求出，进而得到，再在中由余弦定理求出时间t的值.
16．【答案】
【知识点】函数的值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： ， ，
令，求得，在和单调递增，单调递减，
画出大致图象如下，
，，且 ， ，
令，，则，令，求得，
在单调递增，单调递减，
又，，，当时，
的取值范围是.
故答案为： .
【分析】求导分析单调性，画出大致图象，求出取值范围，结合，代入求解 的取值范围.
17．【答案】（1）解：
又 ， 则
Rt 中， ， Rt 中，
（2）解：
当 ， 即 时， 取得晨小值为 .
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)结合三角函数的定义和三角形的面积公式得到函数解析式；
(2)利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质，求最小值及相对应的的值.
18．【答案】（1）证明：D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB，所以DC∥EF .又因为E平面PCD，DC平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又因为EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH ，
所以EF∥GH，又因为EF∥AB，所以AB∥GH .
（2）解：因为AB⊥BO，PB上平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直.
以点B为坐标原点，分别以BA，BO，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。
由BA=BP=BQ=2，则A（2，0，0），D（1，1，0），C（O，10），P（0，0，2），
所以 .
设平面 P A B 的一个法向量为 ， 则可取
设平面 P D C 的一个法向量为 ， 由
得 ， 取 ， 得
所以
所以平面 P A B 与平面 P D C 夹角的余弦值为
（3）解：由点到平面的距高公式可得， 点 到平面 P C D 的距离为
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)利用中位线证明 DC∥AB∥EF ，所以得到EF∥平面PCD，再结合线面平行性质证明EF∥GH，进而得到 ；
(2) 以B为坐标原点，BA，BO，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用空间向量求平面与平面夹角的余弦值；
(3)利用空间向量点到平面距离公式求点到平面的距离.
19．【答案】（1）解： 是等差数列，是等比数列，公比大于0，
设数列的公差为d，数列的公比为q>0，又，则，，
由，得，，由，得，，即，求得（舍负），，
，；
（2）解：由 （1）得
则
令
则
两式相减得
所以
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)数列的公差为d，数列的公比为q>0，代入 ，求出d，q，得到通项公式；
(2) 利用分组求和结合等差数列前n项和和错位相减法求 .
20．【答案】（1）解：不存在 的值使得 ， 理由如下：
由题意得， ①
且 ②
由②得到 ， 将其代入（1）， 整理得到
令 ， 则
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增
故 在 处取得极小值， 也是最小值， 又
故 无解， 所以不存在 的值使得
（2）解：若 ， 则 ， 解得
由全概率公式可得
因为 ， 所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；相互独立事件；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】(1)由概率之和为1和期望公式得到方程组，联立得到， 令 ，求导得到函数单调性求出极值，最值，进而得到答案；
(2)由 和求出 ，再利用全概率公式求.
21．【答案】（1）解：
令
当 时， ，
当 时，
当 时， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增
当 时， 一元二次方程 的判别式为 ，当 时， 方程有一个正根 ，当 时， ， 当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增当 时， 方程有两个正根， 分别为 ，
当 ， 或 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增
当 时， 恒成立， 所以 在 上单调递减
（2）证明：要证 只需证
只需证 只需证 只需证
设 ， 则需证
只需证
由 （1） 知，
所以只需
即证
令 ， 则 恒成立，
所以当 时， 在 上单调遥增， 所以
所以 成立， 因此， 原不等式得证
【知识点】利用导数研究函数的单调性；二次函数与一元二次不等式的对应关系；分析法和综合法；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】(1)对求导，结合二次函数性质讨论正负，得到的单调性；
(2)利用分析法，结合构造，换元和导数性质证明不等式.
22．【答案】（1）解：设 ， 则
化简得 ，
当 时， ， 轨迹为一条直线；
当 时， ， 此时轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时， ， 此时轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
综上： 当 时， 轨迹方程为 ， 轨迹为一条直线，当 时， 轨迹方程为 ， 轨迹为焦点在 轴上的椭圆当 时， 轨迹方程为 ， 轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
（2）解：当 时，
当直线 斜率不存在时， 又与 相切， 故此时直线 ， 此时 O， A， B 三点共线， 不合要求， 舍去， 设直线 ， 联立 得
由 得 ， 显然
联立 得， ，由 ， 结合 ， 解得 设 ，
则
设直线 与 轴交于点 ； 则 ，
则
将 代入得 ，
因为 ， 令 ， 则 ，
设 ， 则设 ， 则
当 时， ， 当 时， ，故 在 上单调遥增， 在 上单调递减，故 在 处取得极大值， 也是最大值，
故 最大值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意得到 ，分 ， 和 讨论动点的轨迹方程和轨迹的形状；
(2)当直线 斜率不存在时，不合要求， 设直线 ，与抛物线联立由 得到 ，联立
根据判别式大于0得到，设 ，
结合根与系数的关得到， 令 ， ，
求导讨论其极值与最值.
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