广东省东莞市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】集合的表示方法；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：B.
【分析】用列举法求得集合B，然后根据交集的定义即可求解.
2．若命题“，”为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为命题“，”为真命题，所以有解，
即有解，
设有解，则，
即 或.
故答案为：B
【分析】由命题“，”为真命题，转化为一元二次不等式有解问题，根据三个二次之间关系得二次函数图象与x轴有二个交点，一元二次方程有解，，解不等式即可.
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】因为，所以 ，
由零点存在定理得， 函数的零点所在的区间为 （1，2）.
故答案为：C.
【分析】由，得，根据零点存在定理即可求解.
4．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】 因为关于的不等式对恒成立 ，所以需，
解得，又因为，所以是关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件.
是关于的不等式对恒成立”的一个充要条件，是关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件，
是关于的不等式对恒成立”的一个既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】关于的不等式对恒成立，得，再根据充分必要条件的定义即可求解.
5．已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为 ，
又在R上是增函数，所以.
故正确答案为：A.
【分析】先根据指数函数、对数函数性质判断a、b、c的大小，再根据一次函数单调性判断的大小.
6．（2019高二下·赣县期中）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 时，函数为减函数，排除B， 时，函数也是减函数，排除D，又 时， ，排除C，只有A可满足．
故答案为：A.
【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算 时的函数值可排除三个选项．
7．函数（且）的图像恒过定点，若对任意正数x，y，都有，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：令4x-3=1，即x=1时，f(x)=1，所以图像恒过A（1，1），所以x+y=3，所以x+1+y=4，
所以 ，
当且仅当时，取得最小值1.
故答案为：D.
【分析】根据的图像恒过定点 ，求得m、n，代入，得x+1+y=4，乘以，构造基本不等式，即可求解.
8．已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：如图，
有四个不同实根 ，，，，且 ，
所以是方程的两根，且满足
所以 ，所以 .
故答案为：C.
【分析】画出分段函数图象，可知四个不同实根 ，，，，分别是对数函数、二次函数两根，进而，代入即可求解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分.
9．（2023高一上·湖北期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：当，，A不符合题意；
对于B：，，B符合题意；
对于C：当，时，
则，，，
则，C不符合题意；
对于D：，，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解.
10．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集为
【答案】B,C,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 关于的不等式的解集为 ，所以，
所以 ，12a+c=0 ，a+b+c=-10a，所以A错误、B、C正确.
等价于，解得 ， 不等式的解集为
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件得，即可判断A错误，B、C正确.利用分式不等式解法，解出不等式，即可判断D正确.
11．已知表示a，b，c中的最小值，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．函数的最小值为0
D．当时，，则的取值范围为
【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；函数的图象
【解析】【解答】解：在同一坐标系作出和的图象，如图中实线部分，
观察得
所以，则，故A错误；
函数为偶函数，函数的最小值为0，无最大值，故B、C正确；
当时，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想，观察分析图像，逐项判断即可.
12．若定义在上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“~特征函数”。下列结论正确的是（ ）
A．是常数函数中唯一的“~特征函数”
B．是“~特征函数”
C．不是“~特征函数”
D．“~特征函数”至少有一个零点
【答案】B,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：对于A，当时，对于函数(c为任意常数)，都有，
即，故A错误.
对于B，由得，得，变形可得，
方程在区间(-1，0)有解，即存在常数使得，
对任意实数x都成立，故是一个“～特征函数”，故B正确.
对于C：，若，即，变形可得，
则当时，方程等价为不成立；当时，方程只有一个解，此时不满足对任意实数x都成立，故不是“～特征函数”，故C正确.
对于D，当，满足，令，得若，则方程有实根，若，则，因为的图象是连续的，则在内至少存在一个零点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题中“～特征函数”的定义，依次分析各选项，即可判断正误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数，则 .
【答案】-3
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：根据分段函数分段处理原则，先求得再求
即可.
故答案为：-3.
【分析】根据分段函数性质，代入相应解析式求值即可.
14．计算 .
【答案】2
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：2.
【分析】根据指数幂、对数运算性质、对数恒等式计算即可.
15．若函数是上的单调函数，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意，当时，只能单调递减，则，解得.
所以答案为：.
分析：利用分段函数的单调性及幂函数的单调性，列出不等式求解即可.
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 函数是定义在上的奇函数 ，所以1-3a+2a+1=0，所以a=2，
所以，所以 的取值范围是 .
故答案为：.
【分析】根据函数奇偶性，定义域关于原点对称，求得a的值，代入不等式 ， 结合，解不等式组即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知集合，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由，解得：，所以.
当时，，
所以；
（2）解：因为所以
当时，，解得：；
当时，则，解得：.
综上：实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）根据分式不等式的解法解得集合A，将代入得集合B，结合的并集定义即可求解.
(2)由得集合的包含关系，讨论与，根据子集定义列不等式组，即可求解.
18．已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：由已知得，
解得或3，
当，不符合题意
当时，
所以；
（2）解：由（1）得在上单调递增，
当时，的值域为，即.
在为单调递减，所以的值域.
∵是的必要条件，∴，
∴，∴，∴的取值范围是.
【知识点】子集与真子集；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；函数单调性的性质；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义得，求出m，结合函数单调性检验即可.
(2)根据单调性求得两函数值域，结合集合的关系，列出不等式进行求解即可.
19．设（，且）其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称.
（1）若在区间上的值域为，且，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）解：因为（，且）的图象经过点，
所以，所以，所以，所以，
因为在区间上单调递增，则，
因为，所以，所以，
即，解得.
（2）解：的图象与的图象关于直线对称，
若，，则，，
所以，所以.
【知识点】函数单调性的性质；有理数指数幂的运算性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由 图象关于直线对称. 得 为的反函数，得 ，然后利用对数函数的单调性求解.
(2)利用待定系数法确定函数关系式，然后代入求解即可.
20．已知函数.
（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；
（2）若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：∵
∴在上单调递减，又，
∴在上单调递减，
∴，即，解得；
（2）解：∵，明显其在上单调递增，
当时，
又在上单调递减，
∵对任意的，都存在，使得成立
∴
∴∴
即.
【知识点】子集与真子集；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)由函数 的解析式，得函数在上单调递减，进而得到在上单调递减，得，列出关于a的方程组，即可求解.
(2)由函数在上单调递增，在上单调递减，分别求得两个函数的值域，再由对任意的，都存在，使得成立，得两个函数的值域满足，进而得出不等式即可求解.
21．某企业生产大型空气净化设备，年固定成本500万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足150台，则；若年产量不小于150台，则，每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
【答案】（1）解：依题意，若年产量不足150台，即，，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润；
若年产量不小于150台，即，，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润，
综上所述：，.
（2）解：若，时，则，
可知当时，；
若，时，则，
当且仅当，即时，等号成立，
可知当时，；
又因为，所以当年产量为200台时，该企业所获利润最大.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意分两段列出函数关系，再综合写出分段函数解析式即可.
(2)利用二次函数配方法和均值不等式，分别求出分段函数的每一段上的最大值，再比较大小即可求解.
22．已知函数是奇函数，且过点.
（1）求实数m和a的值；
（2）设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为是定义域为的奇函数，
∴
即
∵∴
∴.
（由，得，未检验，扣1分.）
又因为过点，∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
因为，令，∴，
记，
∵函数在上恒成立，
（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立.
∴恒成立，∴恒成立，则恒成立，
故合题意.
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①，
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义，可求得，代入点，从而求得a.
(2)由(1)可得 设 ，再通过换元将函数转化为二次函数，利用函数在上恒成立，分类讨论和时函数的单调性，即可求解.
1 / 1广东省东莞市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若命题“，”为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019高二下·赣县期中）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数（且）的图像恒过定点，若对任意正数x，y，都有，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
8．已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分.
9．（2023高一上·湖北期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集为
11．已知表示a，b，c中的最小值，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．函数的最小值为0
D．当时，，则的取值范围为
12．若定义在上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“~特征函数”。下列结论正确的是（ ）
A．是常数函数中唯一的“~特征函数”
B．是“~特征函数”
C．不是“~特征函数”
D．“~特征函数”至少有一个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数，则 .
14．计算 .
15．若函数是上的单调函数，则的取值范围是 .
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知集合，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围.
19．设（，且）其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称.
（1）若在区间上的值域为，且，求的值；
（2）若，，求的值.
20．已知函数.
（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；
（2）若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
21．某企业生产大型空气净化设备，年固定成本500万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足150台，则；若年产量不小于150台，则，每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
22．已知函数是奇函数，且过点.
（1）求实数m和a的值；
（2）设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的范围；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合的表示方法；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：B.
【分析】用列举法求得集合B，然后根据交集的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为命题“，”为真命题，所以有解，
即有解，
设有解，则，
即 或.
故答案为：B
【分析】由命题“，”为真命题，转化为一元二次不等式有解问题，根据三个二次之间关系得二次函数图象与x轴有二个交点，一元二次方程有解，，解不等式即可.
3．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】因为，所以 ，
由零点存在定理得， 函数的零点所在的区间为 （1，2）.
故答案为：C.
【分析】由，得，根据零点存在定理即可求解.
4．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】 因为关于的不等式对恒成立 ，所以需，
解得，又因为，所以是关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件.
是关于的不等式对恒成立”的一个充要条件，是关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件，
是关于的不等式对恒成立”的一个既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】关于的不等式对恒成立，得，再根据充分必要条件的定义即可求解.
5．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为 ，
又在R上是增函数，所以.
故正确答案为：A.
【分析】先根据指数函数、对数函数性质判断a、b、c的大小，再根据一次函数单调性判断的大小.
6．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 时，函数为减函数，排除B， 时，函数也是减函数，排除D，又 时， ，排除C，只有A可满足．
故答案为：A.
【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算 时的函数值可排除三个选项．
7．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：令4x-3=1，即x=1时，f(x)=1，所以图像恒过A（1，1），所以x+y=3，所以x+1+y=4，
所以 ，
当且仅当时，取得最小值1.
故答案为：D.
【分析】根据的图像恒过定点 ，求得m、n，代入，得x+1+y=4，乘以，构造基本不等式，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：如图，
有四个不同实根 ，，，，且 ，
所以是方程的两根，且满足
所以 ，所以 .
故答案为：C.
【分析】画出分段函数图象，可知四个不同实根 ，，，，分别是对数函数、二次函数两根，进而，代入即可求解.
9．【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：当，，A不符合题意；
对于B：，，B符合题意；
对于C：当，时，
则，，，
则，C不符合题意；
对于D：，，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解.
10．【答案】B,C,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 关于的不等式的解集为 ，所以，
所以 ，12a+c=0 ，a+b+c=-10a，所以A错误、B、C正确.
等价于，解得 ， 不等式的解集为
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件得，即可判断A错误，B、C正确.利用分式不等式解法，解出不等式，即可判断D正确.
11．【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；函数的图象
【解析】【解答】解：在同一坐标系作出和的图象，如图中实线部分，
观察得
所以，则，故A错误；
函数为偶函数，函数的最小值为0，无最大值，故B、C正确；
当时，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想，观察分析图像，逐项判断即可.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：对于A，当时，对于函数(c为任意常数)，都有，
即，故A错误.
对于B，由得，得，变形可得，
方程在区间(-1，0)有解，即存在常数使得，
对任意实数x都成立，故是一个“～特征函数”，故B正确.
对于C：，若，即，变形可得，
则当时，方程等价为不成立；当时，方程只有一个解，此时不满足对任意实数x都成立，故不是“～特征函数”，故C正确.
对于D，当，满足，令，得若，则方程有实根，若，则，因为的图象是连续的，则在内至少存在一个零点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题中“～特征函数”的定义，依次分析各选项，即可判断正误.
13．【答案】-3
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：根据分段函数分段处理原则，先求得再求
即可.
故答案为：-3.
【分析】根据分段函数性质，代入相应解析式求值即可.
14．【答案】2
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：2.
【分析】根据指数幂、对数运算性质、对数恒等式计算即可.
15．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意，当时，只能单调递减，则，解得.
所以答案为：.
分析：利用分段函数的单调性及幂函数的单调性，列出不等式求解即可.
16．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 函数是定义在上的奇函数 ，所以1-3a+2a+1=0，所以a=2，
所以，所以 的取值范围是 .
故答案为：.
【分析】根据函数奇偶性，定义域关于原点对称，求得a的值，代入不等式 ， 结合，解不等式组即可.
17．【答案】（1）解：由，解得：，所以.
当时，，
所以；
（2）解：因为所以
当时，，解得：；
当时，则，解得：.
综上：实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）根据分式不等式的解法解得集合A，将代入得集合B，结合的并集定义即可求解.
(2)由得集合的包含关系，讨论与，根据子集定义列不等式组，即可求解.
18．【答案】（1）解：由已知得，
解得或3，
当，不符合题意
当时，
所以；
（2）解：由（1）得在上单调递增，
当时，的值域为，即.
在为单调递减，所以的值域.
∵是的必要条件，∴，
∴，∴，∴的取值范围是.
【知识点】子集与真子集；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；函数单调性的性质；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义得，求出m，结合函数单调性检验即可.
(2)根据单调性求得两函数值域，结合集合的关系，列出不等式进行求解即可.
19．【答案】（1）解：因为（，且）的图象经过点，
所以，所以，所以，所以，
因为在区间上单调递增，则，
因为，所以，所以，
即，解得.
（2）解：的图象与的图象关于直线对称，
若，，则，，
所以，所以.
【知识点】函数单调性的性质；有理数指数幂的运算性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由 图象关于直线对称. 得 为的反函数，得 ，然后利用对数函数的单调性求解.
(2)利用待定系数法确定函数关系式，然后代入求解即可.
20．【答案】（1）解：∵
∴在上单调递减，又，
∴在上单调递减，
∴，即，解得；
（2）解：∵，明显其在上单调递增，
当时，
又在上单调递减，
∵对任意的，都存在，使得成立
∴
∴∴
即.
【知识点】子集与真子集；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)由函数 的解析式，得函数在上单调递减，进而得到在上单调递减，得，列出关于a的方程组，即可求解.
(2)由函数在上单调递增，在上单调递减，分别求得两个函数的值域，再由对任意的，都存在，使得成立，得两个函数的值域满足，进而得出不等式即可求解.
21．【答案】（1）解：依题意，若年产量不足150台，即，，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润；
若年产量不小于150台，即，，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润，
综上所述：，.
（2）解：若，时，则，
可知当时，；
若，时，则，
当且仅当，即时，等号成立，
可知当时，；
又因为，所以当年产量为200台时，该企业所获利润最大.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意分两段列出函数关系，再综合写出分段函数解析式即可.
(2)利用二次函数配方法和均值不等式，分别求出分段函数的每一段上的最大值，再比较大小即可求解.
22．【答案】（1）解：因为是定义域为的奇函数，
∴
即
∵∴
∴.
（由，得，未检验，扣1分.）
又因为过点，∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
因为，令，∴，
记，
∵函数在上恒成立，
（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立.
∴恒成立，∴恒成立，则恒成立，
故合题意.
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①，
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义，可求得，代入点，从而求得a.
(2)由(1)可得 设 ，再通过换元将函数转化为二次函数，利用函数在上恒成立，分类讨论和时函数的单调性，即可求解.
1 / 1
