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圆
3.4 圆心角与圆周角的关系
北师大版九年级下册
教材分析
《圆周角与圆心角之间的关系》是北师大版九年级下册第三章第3小节的内容，是学生学习了圆心、半径、直径、弦、弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角之间的关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一,本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理），
教学目标
一、教学知识点
1.掌握圆周角定理几个推论的内容。
2．会熟练运用推论解决问题。
二、能力训练要求
1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。
2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。
三、情感与价值观要求
培养学生的探索精神和解决问题的能力。
复习导入
1.圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角和它所对的弧的关系
(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。
(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度数
探究新知
角顶点发生变化时,我们得到几种情况
探索1:
顶点在圆心
顶点A在圆内
顶点A在圆上
顶点A在圆外
圆心角
圆周角
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.
.
O
B
C
A
特征：
①角的顶点在圆上.
②角的两边都与圆相交.
探究新知
1、判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
图１
图２
图３
图４
图５
2、指出图中的圆心角和圆周角
圆心角：
圆周角：
∠AOB、 ∠AOC、 ∠BOC
∠BAC, ∠ABC, ∠ACB……
探究新知
探究新知
探索2:
圆周角和圆心角的关系
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
说说你的想法,并与同伴交流.
探究新知
（1）当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系.
∵∠AOB是△ACO的外角，
∴∠AOB=∠C+∠A.
∵OA=OC，
∴∠A=∠C.
∴∠C= ∠AOB.
一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半
探究新知
（2）当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样
D
●O
A
C
B
过点C作直径CD.由1可得:
一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半
（3）当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样
探究新知
A
C
B
●O
D
过点C作直径CD.由1可得:
一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半
综上所述，圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系是
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
即∠ACB= ∠AOB
探究新知
探究拓展：
探究新知
圆中同一段弧对着许多个圆周角，那这些圆周角的大小有什么关系？
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
结合以上探究，不难得到结论：
典例精析
例题1：如图,OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，
∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
A
B
C
O
解：∠ACB=2∠BAC.
理由是:
∵∠AOB=2∠ACB
∠BOC=2∠BAC
∠AOB=2∠BOC
∴∠ACB=2∠BAC
典例精析
例题2：如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD与∠BAD的大小
C
O
B
D
A
解：∵∠BCD=100°
∴优弧所对的圆心角∠BOD=2∠BCD=200°
∴劣弧所对的圆心角∠BOD=36O°-200°=160°
∴∠BAD= ∠BOD=80°
例题3：船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
1. 下列说法中，不正确的是
A. 直径是最长的弦
B. 同圆中，所有的半径都相等
C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 长度相等的弧是等弧
2. 下列命题中，正确的是
A. 圆只有一条对称轴
B. 圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
C. 圆是中心对称图形而不是轴对称图形
D. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形
3. 下列图形中对称轴最多的是
A. 等边三角形 B. 线段 C. 正方形 D. 圆
D
D
D
课堂练习
B
c
课堂练习
A
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂练习
课堂总结
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.圆周角定理推论:同弧（或等弧）所对的圆周角相等
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
C
C
C
1．如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝43°，则∠ACB＝（ ）
A．43° B．45° C．47° D．50°
第1题 第2题 第3题
2．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
3．如图，AB、CD为⊙O的弦，BD为⊙O直径，AC、BD相交于点E，若∠A＝50°，∠ABC＝65°，则∠AEB＝（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
作业布置
4．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连接CO，AD．若∠BAD＝20°，则（ ）
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
B
C
D
作业布置
130°
35°
10
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
作业布置
10，如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．
解：（1）证明：连接AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，而AB＝AC，
∴BE＝CE；
作业布置
板书设计
圆周角定理
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
谢谢
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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第三章
课标要求 1.与圆有关的概念:正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系。2.与圆有关的角:掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理:定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”中这个关系。4.与圆有关的位置关系:了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键。5.切线长定理:切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。6.会计算圆的弧长、扇形的面积。7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。8.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。9.在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
内容分析 与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，也是“空间与图形”的主要研究对象，是人们生活中常见的图形。在学生前面学习了一些基本的直线形一一三角形、四边形等的基础上，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，进一步研究一个基本的曲线形一一圆，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。由于本章综合性强，会与全等、相似、四边形等知识相联系，往往在考试中得分率较低，因此在讲授本章知识时，教师要注意从具体情景出发，使学生了解知识的来源和形成，加深对数学概念的理解，从而达到能熟练掌握知识技能并应用其灵活解决问题的能力。
学情分析 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质，而且把直线形里学过的一些基本图形，几何变换加以灵活运用．通过本章的学习，学生会对圆有一个较为全面系统的认识，而且对各种数学思想如分类讨论，转化思想，完全归纳、类比的思想等有很好的理解和把
单元目标 （一）教学目标1、经历探索圆及其相关结论的过程，认识圆的轴对称性和中心对称性；2、探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等的关系定理；3、探索并理解圆心角和圆周角的关系定理，三种位置关系及对应的数量关系；4、知道三角形的外心和内心；5、探索并理解直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判断；6、了解正多边形与圆的关系，会计算弧长和扇形的面积。（二）教学重点、难点教学重点：圆周角定理和切线的性质与判定的理解和运用.教学难点：对圆集合定义的理解，运用相关定理进行证明与计算.
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1圆的认识13.2圆的对称性13.3垂径定理13.4圆心角与圆周角的关系13.5确定圆的条件13.6圆与直线的位置关系13.7切线长定理13.8圆内接正多边形13.9弧长与扇形面积13.10回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1圆的认识1、了解圆在生活中的广泛应用，理解圆的概念及点与圆的位置关系。2、经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆的位置关系的过程，并感受观察、分析、归纳、抽象概括等获得知识重要方法。3、通过讲解点与圆的位置关系、认识弧、弦，学生操作与小组活动相结合，层层推进，潜移默化，使学生掌握知识。4、借助生活中丰富的感性图片营造出亲切，和谐的课堂气氛，激励全体学生参与整个活动。1、讨论应排成什么样的队形可以使游戏公平，并通过画圆解决问题2，并体会圆是怎样形成的。2、小组合作、自主探索，大胆发言，相互补充，突破难点。3、归纳，理解、自由发言、相互补充、形成圆的概念、及圆与点的为关系、弧、弦。环节一：旧知导入环节二：新知探究（1）认识圆（2）点与圆的位置关系（3）认识认识弧、弦。3.2圆的对称性1．知识与技能（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；（2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题。2．过程与方法（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；（2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧。3．情感、态度与价值观经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣。回顾旧知猜想圆的对称性并加以验证。3画圆、理解圆心、半径、弦、弦心距、优弧、劣弧。4、根据等对等定理推导4个推论。环节一：旧知导入环节二：探究等对等定理3.3垂径定理1知识技能目标： 理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。2过程方法目标： 经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。学会与人合作探索获得新知识的一些方法。3情感态度与价值观： 通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。学生回顾旧知。学生在小组讨论过后，归纳垂径定理以及推论的条件和结论，并简述证明过程3、利用垂径定理解决实际问题。环节一：回顾旧知环节二：探究垂径定理环节三：典例分析3.4圆心角与圆周角的关系一、教学知识点1.掌握圆周角定理几个推论的内容。2．会熟练运用推论解决问题。二、能力训练要求1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。三、情感与价值观要求培养学生的探索精神和解决问题的能力。复习旧知。观察、发现、总结圆周角的定义，并完成练一练。学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得出圆心角和圆周角额关系。学生完成习题环节一：旧知导入环节二：探究圆周角定义环节三：探究圆心角与圆周角的关系。环节四：典例分析3.5确定圆的条件经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程；2、了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会过不在同一直线上三点作一个圆；3、在确定圆的条件的探究过程中，感受类比和转化的数学思想.1、学生回顾思考2、作线段的垂直平分线。3、学生按要求经过1点、点、三点画圆。然后小组讨论确定圆的条件。4、分别画直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的外接圆，理解圆心的位置环节一：回顾旧知环节二：探究确定圆的条件。3.6圆与直线的位置关系一、知识与技能：1.根据定义来判断直线和圆的三种位置关系；2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系。3.理解切线定理，并运用切线定理解决实际问题。二、过程与方法： 经历生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而体会数形结合、分类讨论等数学思想。三、情感态度与价值观： 通过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索直线和圆的位置关系中，体会运动变化的观点，及量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感。学生集体回顾点与圆的位置关系。2、学生回答相交、相切和相离三种情况，并了解割线、切线。3、比较三个图中d和r的位置，并用对应的方式得出：相交 d﹤r 相切d﹦r ；相离d﹥r。4、学生快速学习，完成5个练习。5、学生思考,总结切线的性质定理。6、利用切线定理解决实际问题。环节一：复习旧知环节二：情景导入环节三：探究圆与直线的位置关系。环节四：探究切线定理。3.7切线长定理1．使学生理解切线长定义。2．使学生掌握切线长定理，并能初步运用。3．通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识。4．学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。5．通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功。1、学生回顾知识2、学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中。3、学生思考得出结论，并证明结论的正确性。4、了解切线长与切线的关系。5作三角形的内接圆，理解其性质。6、证明圆的外切四边形两组对边的和相等7、运用切线长定理解决实际问题环节一：知识回顾环节二：探究切线长定理。环节三：探究三角形、四边形的内接圆。3.8圆内接正多边形（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.（5）学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力.（6）通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识.1、学生回顾知识回答3个问题并总结归纳。2、总结正n边形的中心角、边心距、面积的计算，3、总结正多边形边数、内角、中心角、外角的关系.4、利用尺规画圆内接正四、五、六边形。并总结正n边形的画法环节一：知识回顾环节二：探究圆内接正多边形相关概念。环节三：探究圆内接正多边形的画法。3.9弧长与扇形面积1.让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.2.让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力；在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识的能力，空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想.3.通过现实生活图片的欣赏，让学生感受到美的生活离不开数学，激发学生学习数学的兴趣；通过对弧长和扇形面积公式的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验；通过同桌的讨论、交流和解决问题的过程，让学生更多的展示自己，建立自信，树立正确的价值观1、学生回顾知识。2、回答3个问题，从而得出计算弧长公式，3、运用公式解决实际问题.4、根据问题导向学生推导扇形面积公式。并独自完成例题2。5、推导已知弧长和半径求扇形面积的公式。6、理解弓形面积是是扇形面积与三角形面积的和或差环节一：知识回顾环节二：探究弧长计算。环节三：探究扇形面积计算。环节四：探究弧长与三角面积的关系。回顾与反思1、了解正多边形的概念及正多边形和圆的关系；会计算圆的弧长及扇形面积2、指导学生经历观察、猜想、验证、计算，归纳平移、旋转、轴对称、割补、等积变换等方法，掌握平行线、三角形、圆的有关性质定理的运用； 3、鼓励学生在认真观察之后进行小组讨论，交流解题方法，探索最优解题途径； 4、引导学生利用知识把复杂图形转化成简单几何图形进行求解，掌握转化的思想．1、学生课前完成，课堂展示，互相补充。2、对圆的定义及相关概念等十个问题逐一梳理，3、学生归纳得出与圆有关的面积计算的问题所涉及到的有关知识和主要方法环节一：知识框架环节二：知识梳理
《圆》单元教学设计
活动一：旧知导入
活动二：新知探究
任务一：
圆的认识
圆
活动一：知识回顾
活动二：探究等对等定理
任务二：
圆的对称性
活动一：知识回顾
活动二：探究垂径定理
任务三：
垂径定理
活动三：典例分析
活动一：旧知导入
活动二：探究圆周角定义
活动三：探究圆心角与圆周角的关系
任务四：圆心角与圆周角的关系
活动四：典例分析
活动一：知识回顾
任务五：确定圆的条件
活动二：探究新知
活动一：复习旧知
圆
活动二：情景导入
任务六：圆与直线的位置关系
活动三：探究圆与直线的位置关系
活动四：探究切线定理
活动一：复习回顾
任务七：切线长定理
活动二：探究切线长定理
活动二：探究多边形内接圆
活动一：知识回顾
活动二：探究圆内接正多边形相关概念
任务八：圆内接正多边形
活动三：圆内接正多边形的画法
活动一：知识回顾
活动二：探究弧长计算
任务九：弧长与扇形面积
活动三：探究扇形面积计算
活动四：探究扇形面积弧长之间关系
圆
任务十：回顾与反思
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
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九年级下册分课时教学设计
第一课时《3.4圆心角与圆周角的关系》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《圆周角与圆心角之间的关系》是北师大版九年级下册第三章第3小节的内容，是学生学习了圆心、半径、直径、弦、弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角之间的关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一,本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理），
学习者分析 学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。 学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标 一、教学知识点 1.掌握圆周角定理几个推论的内容。 2．会熟练运用推论解决问题。 二、能力训练要求 1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。 2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。 三、情感与价值观要求 培养学生的探索精神和解决问题的能力。
教学重点 圆周角概念及圆周角定理。
教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入； 教师活动1： 1.圆心角的定义 【顶点在圆心的角叫圆心角.】 2.圆心角和它所对的弧的关系 【（1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度数】 学生活动1： 复习旧知，活动意图说明： 复习旧知，为新授做好铺垫环节二：探究1;圆周角教师活动2： 1、角顶点发生变化时,我们得到几种情况 顶点在圆心 顶点在圆内 顶点在圆上 顶点在圆外 圆心角 圆周角 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆 还有另一个交点的角叫圆周角. 特征①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交. 3、练一练 （1）、判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 2、指出图中的圆心角和圆周角 圆心角：∠AOB、 ∠AOC、 ∠BOC 圆周角：∠BAC, ∠ABC, ∠ACB…… 学生活动2： 观察、发现、总结圆周角的定义，并完成练一练活动意图说明： 通过学生自己观察发现、归纳圆心角的特征。环节三：探究2 ；圆周角和圆心角的关系教师活动3： 1、如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系 与同伴交流。 （1）当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系. （2）当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样 3）当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样 综上所述，圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系是 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠ACB= ∠AOB 探究拓展： 圆中同一段弧对着许多个圆周角，那这些圆周角的大小有什么关系？ 结合以上探究，不难得到结论：推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 学生活动3： 学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得出圆心角和圆周角额关系。活动意图说明： 引导学生画出分三种情况，培养分类讨论的意识，定理的推导证明，通过类比得出探究圆周角定理的方法，让学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，得出圆周角定理，并对探究过程中的三种情况逐一加以演绎推理，证明定理.环节四：典例分析教师活动4： 例题1：如图,OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？ 解：∠ACB=2∠BAC. 理由是: ∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC ∠AOB=2∠BOC ∴∠ACB=2∠BAC 例题2：如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD与∠BAD的大小 解：∵∠BCD=100° ∴优弧所对的圆心角∠BOD=2∠BCD=200° ∴劣弧所对的圆心角∠BOD=36O°-200°=160° ∴∠BAD= ∠BOD=80° 例题3：船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 。学生活动4： 学生完成习题活动意图说明： 设计例题，训练学生运用知识解决问题的能力。
板书设计 圆周角定理
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列说法中，不正确的是 【D】 A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 2. 下列命题中，正确的是 【D】 A. 圆只有一条对称轴 B. 圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 C. 圆是中心对称图形而不是轴对称图形 D. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形 3. 下列图形中对称轴最多的是 【D】 A. 等边三角形 B. 线段 C. 正方形 D. 圆 4. 如图， 是 的直径， 为半圆 的中点，则 A. B. C. D. 第4题 第5题 5. 如图，， 是 上的两点，， 是 的中点，则四边形 是 A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 如图，正方形 的边长为 ，点 是 边上一点，以 为直径在正方形内作半圆 ，将 沿 翻折，点 刚好落在半圆 的点 处，则 的长为 A. B. C. D. 选做题： 7. 如图，， 为抛物线 上两点，且 轴，与 轴相交于点 ，以 为圆心， 为半径画圆，若 ，求图中阴影部分的面积． 解：题图中圆与抛物线 都关于 轴对称， 由此可知所求阴影部分的面积为圆的面积的 ． 由 可得 ． ，即 ． 阴影部分的面积为 ． 【综合拓展类作业】 8. 如图，已知 的半径 ，， 在 上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：． 解 ，，， ， ． 9. 如图，已知在 中，，，求 的度数． 解： ， ， ， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝43°，则∠ACB＝（ C ） A．43° B．45° C．47° D．50° 第1题 第2题 第3题 2．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ C ） A．80° B．75° C．70° D．65° 3．如图，AB、CD为⊙O的弦，BD为⊙O直径，AC、BD相交于点E，若∠A＝50°，∠ABC＝65°，则∠AEB＝（ C ） A．95° B．100° C．105° D．110° 如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连接CO，AD．若∠BAD＝20°，则（ D ） A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD 第4题 第5题 第6题 5．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ B ） A．30° B．40° C．35° D．50° 6．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（ C ） A．7 B． C． D． 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠DCB＝【130°】，∠F=【35°】． 第7题 第8题 8．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝【10】． 选做题： 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，CD的延长线交于点F，连接CG，DG． （1）求证：∠DGF＝∠AGC． （2）当ED＝DF，GF＝6，tanF＝时，求AC的长． 解：（1）证明：∵四边形ACDG是⊙O的内接四边形， ∴∠ACD+∠AGD＝180°，∵∠AGD+∠DGF＝180°， ∴∠ACD＝∠DGF，∵CD⊥AB，AB为直径， ∴＝，∴∠AGC＝∠ACD， ∴∠DGF＝∠AGC． （2）∵∠DGF＝∠ACD，∠F＝∠F， ∴△FDG∽△FAC，∴＝， ∴FD FC＝FG FA，∵CD⊥AB， ∴tanF＝＝，∵ED＝DF， ∴EF＝2DE，∵＝＝， ∴＝＝，∴∠ACD＝60°， ∴∠CAE＝30°，∴AC＝2CE， 设CE＝DE＝DF＝x，则AE＝x，AC＝2x，FC＝3x， 在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝＝x， ∵FD FC＝FA FG，∴x 3x＝6x， 解得x＝0（舍）或x＝2， ∴AC＝2x＝4． 【综合拓展类作业】 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：BE＝CE； （2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长． 解：（1）证明：连接AE，如图， ∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥BC，而AB＝AC， ∴BE＝CE； （2）解：连接DE，如图， ∵BE＝CE＝4，∴BC＝8， ∵∠BED＝∠BAC， 而∠DBE＝∠CBA， ∴△BED∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴BA＝， ∴AC＝BA＝．
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