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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第三章
课标要求 1.与圆有关的概念:正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系。2.与圆有关的角:掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理:定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”中这个关系。4.与圆有关的位置关系:了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键。5.切线长定理:切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。6.会计算圆的弧长、扇形的面积。7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。8.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。9.在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
内容分析 与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，也是“空间与图形”的主要研究对象，是人们生活中常见的图形。在学生前面学习了一些基本的直线形一一三角形、四边形等的基础上，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，进一步研究一个基本的曲线形一一圆，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。由于本章综合性强，会与全等、相似、四边形等知识相联系，往往在考试中得分率较低，因此在讲授本章知识时，教师要注意从具体情景出发，使学生了解知识的来源和形成，加深对数学概念的理解，从而达到能熟练掌握知识技能并应用其灵活解决问题的能力。
学情分析 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质，而且把直线形里学过的一些基本图形，几何变换加以灵活运用．通过本章的学习，学生会对圆有一个较为全面系统的认识，而且对各种数学思想如分类讨论，转化思想，完全归纳、类比的思想等有很好的理解和把
单元目标 （一）教学目标1、经历探索圆及其相关结论的过程，认识圆的轴对称性和中心对称性；2、探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等的关系定理；3、探索并理解圆心角和圆周角的关系定理，三种位置关系及对应的数量关系；4、知道三角形的外心和内心；5、探索并理解直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判断；6、了解正多边形与圆的关系，会计算弧长和扇形的面积。（二）教学重点、难点教学重点：圆周角定理和切线的性质与判定的理解和运用.教学难点：对圆集合定义的理解，运用相关定理进行证明与计算.
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1圆的认识13.2圆的对称性13.3垂径定理13.4圆心角与圆周角的关系13.5确定圆的条件13.6圆与直线的位置关系13.7切线长定理13.8圆内接正多边形13.9弧长与扇形面积13.10回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1圆的认识1、了解圆在生活中的广泛应用，理解圆的概念及点与圆的位置关系。2、经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆的位置关系的过程，并感受观察、分析、归纳、抽象概括等获得知识重要方法。3、通过讲解点与圆的位置关系、认识弧、弦，学生操作与小组活动相结合，层层推进，潜移默化，使学生掌握知识。4、借助生活中丰富的感性图片营造出亲切，和谐的课堂气氛，激励全体学生参与整个活动。1、讨论应排成什么样的队形可以使游戏公平，并通过画圆解决问题2，并体会圆是怎样形成的。2、小组合作、自主探索，大胆发言，相互补充，突破难点。3、归纳，理解、自由发言、相互补充、形成圆的概念、及圆与点的为关系、弧、弦。环节一：旧知导入环节二：新知探究（1）认识圆（2）点与圆的位置关系（3）认识认识弧、弦。3.2圆的对称性1．知识与技能（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；（2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题。2．过程与方法（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；（2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧。3．情感、态度与价值观经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣。回顾旧知猜想圆的对称性并加以验证。3画圆、理解圆心、半径、弦、弦心距、优弧、劣弧。4、根据等对等定理推导4个推论。环节一：旧知导入环节二：探究等对等定理3.3垂径定理1知识技能目标： 理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。2过程方法目标： 经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。学会与人合作探索获得新知识的一些方法。3情感态度与价值观： 通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。学生回顾旧知。学生在小组讨论过后，归纳垂径定理以及推论的条件和结论，并简述证明过程3、利用垂径定理解决实际问题。环节一：回顾旧知环节二：探究垂径定理环节三：典例分析3.4圆心角与圆周角的关系一、教学知识点1.掌握圆周角定理几个推论的内容。2．会熟练运用推论解决问题。二、能力训练要求1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。三、情感与价值观要求培养学生的探索精神和解决问题的能力。复习旧知。观察、发现、总结圆周角的定义，并完成练一练。学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得出圆心角和圆周角额关系。学生完成习题环节一：旧知导入环节二：探究圆周角定义环节三：探究圆心角与圆周角的关系。环节四：典例分析3.5确定圆的条件经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程；2、了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会过不在同一直线上三点作一个圆；3、在确定圆的条件的探究过程中，感受类比和转化的数学思想.1、学生回顾思考2、作线段的垂直平分线。3、学生按要求经过1点、点、三点画圆。然后小组讨论确定圆的条件。4、分别画直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的外接圆，理解圆心的位置环节一：回顾旧知环节二：探究确定圆的条件。3.6圆与直线的位置关系一、知识与技能：1.根据定义来判断直线和圆的三种位置关系；2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系。3.理解切线定理，并运用切线定理解决实际问题。二、过程与方法： 经历生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而体会数形结合、分类讨论等数学思想。三、情感态度与价值观： 通过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索直线和圆的位置关系中，体会运动变化的观点，及量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感。学生集体回顾点与圆的位置关系。2、学生回答相交、相切和相离三种情况，并了解割线、切线。3、比较三个图中d和r的位置，并用对应的方式得出：相交 d﹤r 相切d﹦r ；相离d﹥r。4、学生快速学习，完成5个练习。5、学生思考,总结切线的性质定理。6、利用切线定理解决实际问题。环节一：复习旧知环节二：情景导入环节三：探究圆与直线的位置关系。环节四：探究切线定理。3.7切线长定理1．使学生理解切线长定义。2．使学生掌握切线长定理，并能初步运用。3．通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识。4．学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。5．通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功。1、学生回顾知识2、学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中。3、学生思考得出结论，并证明结论的正确性。4、了解切线长与切线的关系。5作三角形的内接圆，理解其性质。6、证明圆的外切四边形两组对边的和相等7、运用切线长定理解决实际问题环节一：知识回顾环节二：探究切线长定理。环节三：探究三角形、四边形的内接圆。3.8圆内接正多边形（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.（5）学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力.（6）通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识.1、学生回顾知识回答3个问题并总结归纳。2、总结正n边形的中心角、边心距、面积的计算，3、总结正多边形边数、内角、中心角、外角的关系.4、利用尺规画圆内接正四、五、六边形。并总结正n边形的画法环节一：知识回顾环节二：探究圆内接正多边形相关概念。环节三：探究圆内接正多边形的画法。3.9弧长与扇形面积1.让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.2.让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力；在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识的能力，空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想.3.通过现实生活图片的欣赏，让学生感受到美的生活离不开数学，激发学生学习数学的兴趣；通过对弧长和扇形面积公式的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验；通过同桌的讨论、交流和解决问题的过程，让学生更多的展示自己，建立自信，树立正确的价值观1、学生回顾知识。2、回答3个问题，从而得出计算弧长公式，3、运用公式解决实际问题.4、根据问题导向学生推导扇形面积公式。并独自完成例题2。5、推导已知弧长和半径求扇形面积的公式。6、理解弓形面积是是扇形面积与三角形面积的和或差环节一：知识回顾环节二：探究弧长计算。环节三：探究扇形面积计算。环节四：探究弧长与三角面积的关系。回顾与反思1、了解正多边形的概念及正多边形和圆的关系；会计算圆的弧长及扇形面积2、指导学生经历观察、猜想、验证、计算，归纳平移、旋转、轴对称、割补、等积变换等方法，掌握平行线、三角形、圆的有关性质定理的运用； 3、鼓励学生在认真观察之后进行小组讨论，交流解题方法，探索最优解题途径； 4、引导学生利用知识把复杂图形转化成简单几何图形进行求解，掌握转化的思想．1、学生课前完成，课堂展示，互相补充。2、对圆的定义及相关概念等十个问题逐一梳理，3、学生归纳得出与圆有关的面积计算的问题所涉及到的有关知识和主要方法环节一：知识框架环节二：知识梳理
《圆》单元教学设计
活动一：旧知导入
活动二：新知探究
任务一：
圆的认识
圆
活动一：知识回顾
活动二：探究等对等定理
任务二：
圆的对称性
活动一：知识回顾
活动二：探究垂径定理
任务三：
垂径定理
活动三：典例分析
活动一：旧知导入
活动二：探究圆周角定义
活动三：探究圆心角与圆周角的关系
任务四：圆心角与圆周角的关系
活动四：典例分析
活动一：知识回顾
任务五：确定圆的条件
活动二：探究新知
活动一：复习旧知
圆
活动二：情景导入
任务六：圆与直线的位置关系
活动三：探究圆与直线的位置关系
活动四：探究切线定理
活动一：复习回顾
任务七：切线长定理
活动二：探究切线长定理
活动二：探究多边形内接圆
活动一：知识回顾
活动二：探究圆内接正多边形相关概念
任务八：圆内接正多边形
活动三：圆内接正多边形的画法
活动一：知识回顾
活动二：探究弧长计算
任务九：弧长与扇形面积
活动三：探究扇形面积计算
活动四：探究扇形面积弧长之间关系
圆
任务十：回顾与反思
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
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九年级下册分课时教学设计
第一课时《圆的回顾与反思》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 九年级上、下册共九章内容，本章《圆》放在下册最后一个章节，也是初中图形几何学习的最后一个部分，本章的编排是在学生学习第一章《特殊的平行四边形》、第五章《投影与视图》及《三角函数》的基础上进行的，这些章节的学习都对本章《圆》的学习打下了良好的基础。学生在第二学段已经接触过圆这一复杂图形，但只是浅显的认识与了解。由于对圆的研究需要借助直线形的有关知识，希望从图形性质的研究和图形位置关系的讨论为载体，所以教材安排的是在第三学段七年级学习了《三角形》，八年级学行四边形》，九上《图形的相似》，有了这些基础再来学习《圆》，是对整个初中阶段的几何知识，特别是研究方法进行回顾与提升。以上几何图形的学习都为九年级下册《圆》打下良好基础。
学习者分析 本章是在三角形、平行四边变形学习基础上的对曲线图形的进一步研究与学习，因此，直线图形的相关知识以及一系列相关研究经验（探索并证明性质定理、判定定理、对称性等）以及学生已经具备了一定的合情推理和演绎推理能力将作为学生学习本章内容的基点。
教学目标 1、了解正多边形的概念及正多边形和圆的关系；会计算圆的弧长及扇形面积 2、指导学生经历观察、猜想、验证、计算，归纳平移、旋转、轴对称、割补、等积变换等方法，掌握平行线、三角形、圆的有关性质定理的运用； 3、鼓励学生在认真观察之后进行小组讨论，交流解题方法，探索最优解题途径； 4、引导学生利用知识把复杂图形转化成简单几何图形进行求解，掌握转化的思想．
教学重点 熟练掌握圆的相关性质的探索及应用相关性质结论解决数学问题.
教学难点 利用圆心角、圆周角、扇形面积等知识解决与其他图形结合的数学问题；
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识框架 教师活动1： 学生活动1： 学生课前完成，课堂展示，互相补充。 活动意图说明： 通过回顾知识、构建知识框架，有助于培养学生的概括能力。环节二：知识梳理教师活动2： 圆的基本概念及性质 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 2.有关概念:(1)弦、直径(圆中最长的弦)；(2)弧、优弧、劣弧、等弧；(3)弦心距 3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 二、点与圆的位置关系 三、圆的对称性 1.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴.圆有无数条对称轴. 2.圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一 个角度都能与自身重合，即圆具有旋转不变性. 3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等。 4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 四、垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 数学语言 垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 数学语言 五、圆周角和圆心角的关系 定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. ∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB 推论2：直径所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是圆的直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补. 六、直线和圆的位置关系 七、切线的判定与性质 1.切线的判定一般有三种方法： a.定义法：和圆有唯一的一个公共点 b.距离法： d=r c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径 2.切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. 3.切线长及切线长定理 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 八、三角形的内切圆及内心 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心 3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 重要结论 九、圆内接正多边形 计算公式 1.正n边形的中心角= 2.正多边形的内角= 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系： 边长a，边心距r的正n边形面积的计算： 十、弧长及扇形的面积 学生活动2： 1、对圆的定义及相关概念等十个问题逐一梳理， 2、学生归纳得出与圆有关的面积计算的问题所涉及到的有关知识和主要方法。活动意图说明： 建立知识框架后。对圆的定义及相关概念等十个问题逐一梳理，要求学生积极的参与到课堂学习中，思维活跃，善于倾听，基本上所有学生都能跟得上老师和同学们的思维，准确领悟他人的意图，及时指出他人语言中的漏洞，准确的描述自己的想法
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.[2010·河北] 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ B ） A．点P B．点Q C．点R D．点M 2.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（ D ） A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm 第1题 第2题 第3题 3.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（ C ） A．30° B．35° C．40° D．50° 4.⊙O的半径为3cm，⊙O的半径为5cm，圆心距OO＝2cm，两圆的位置关系是（ C ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 5.如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝___44_____°。 第5题 第6题 第7题 6.如图，已知正方形的边长为2cm，以对角的两个顶点为圆心，2cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为________cm（结果保留π）。 7.如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动， 那么 秒钟后☉P与直线CD相切. 选做题： 8.如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD。 （1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长； （2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切。 [解析]先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，进而算出∠ODE是直角。 【综合拓展类作业】 9．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa． （1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长 ②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝ ③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝ … ④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln＝ （2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn＝ S．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO等于（ B ） A．30° B．40° C．50° D．60° 2.在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ B ） A. 72° B.54° C. 45° D.36 ° 第1题 第2题 第3题 3.如图，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是（135°）. 4.☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（ D ） A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上 C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上 5.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 . 6.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是 选做题： 7.如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与⊙O相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E. (1)求证：CB平分∠ACE； (2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径． 解：(1)证明：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB. ∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠OBC＝∠BCE. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠OCB＝∠BCE， ∴CB平分∠ACE. 连接BD，在Rt△BCE中，∵BE＝3，CE＝4， ∴BC＝＝＝5. ∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠E， 又由(1)知∠BCD＝∠BCE，∴△DBC∽△BEC，∴＝， ∴CD＝＝＝，∴OC＝CD＝， ∴⊙O的半径为. 【综合拓展类作业】 8.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长． 解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝＝＝4， 设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中， r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， 连接BE，如图， ∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3， ∵AE是直径，∴∠ABE＝90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝6， 在Rt△CBE中，CE＝．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共34张PPT)
圆
回顾与反思
北师大版九年级下册
教材分析
九年级上、下册共九章内容，本章《圆》放在下册最后一个章节，也是初中图形几何学习的最后一个部分，本章的编排是在学生学习第一章《特殊的平行四边形》、第五章《投影与视图》及《三角函数》的基础上进行的，这些章节的学习都对本章《圆》的学习打下了良好的基础。学生在第二学段已经接触过圆这一复杂图形，但只是浅显的认识与了解。由于对圆的研究需要借助直线形的有关知识，希望从图形性质的研究和图形位置关系的讨论为载体，所以教材安排的是在第三学段七年级学习了《三角形》，八年级学行四边形》，九上《图形的相似》，有了这些基础再来学习《圆》，是对整个初中阶段的几何知识，特别是研究方法进行回顾与提升。以上几何图形的学习都为九年级下册《圆》打下良好基础。
教学目标
1、了解正多边形的概念及正多边形和圆的关系；会计算圆的弧长及扇形面积
2、指导学生经历观察、猜想、验证、计算，归纳平移、旋转、轴对称、割补、等积变换等方法，掌握平行线、三角形、圆的有关性质定理的运用；
3、鼓励学生在认真观察之后进行小组讨论，交流解题方法，探索最优解题途径；
4、引导学生利用知识把复杂图形转化成简单几何图形进行求解，掌握转化的思想．
知识框架
梳理知识
一、圆的基本概念及性质
1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
．
O
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
梳理知识
二、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系 点到圆心的距离d与圆的半径r之间的关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
●B
●C
●O
d
r
d﹥r
d=r
d﹤r
三、圆的对称性
梳理知识
1.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是
它的对称轴.圆有无数条对称轴.
2.圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一
个角度都能与自身重合，即圆具有旋转不变性.
．
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
梳理知识
四、垂径定理及推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
D
M└
●O
A
B
数学语言
③AM=BM,
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
④AC=BC,
⌒
⌒
梳理知识
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
●O
C
D
●
A
B
┗
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
数学语言
梳理知识
五、圆周角和圆心角的关系
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.
∠BAC= ∠BOC
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
梳理知识
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
推论：直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
梳理知识
六、直线和圆的位置关系
●
l
d
r
直线与圆的位置关系 圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系 直线名称 直线与圆的交点个数
相离
相切
相交
d﹥r
d=r
d﹤r
—
切线
割线
0
1
2
七、切线的判定与性质
1.切线的判定一般有三种方法：
a.定义法：和圆有唯一的一个公共点
b.距离法： d=r
c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径
2.切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径.
梳理知识
3.切线长及切线长定理
从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
知识梳理
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
重要结论
知识梳理
九、圆内接正多边形
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
弦a
圆心
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
M
知识梳理
计算公式
1.正n边形的中心角=
2.正多边形的内角=
3.正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系：
4.边长a，边心距r的正n边形面积的计算：
其中l为正n边形的周长.
C
D
O
B
E
F
A
P
知识梳理
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式：
（2）扇形面积公式：
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
1、[2010·河北] 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
B
2、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（ ）
A．5 cm B．2.5 cm
C．2 cm D．1 cm
D
课堂练习
C
3.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
4.如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝________°。
5.⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，圆心距O1O2＝2cm，两圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交
C．内切 D．内含
44
C
课堂练习
6.如图，已知正方形的边长为2cm，以对角的两个顶点为圆心，2cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为________cm（结果保留π）。
7.如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切.
2π
4或8
A
B
D
P
P2
P1
E
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
8.如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD。
（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切。
[解析]先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，进而算出∠ODE是直角。
课堂练习
【综合实践类作业】
9．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa．
（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长 ；
②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝ ；
③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝ ；
…
④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln＝ ；
（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn＝ S．
课堂总结
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO
等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2.在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ ）
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
B
B
A
B
C
D
作业布置
3.☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（ ）
A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上
C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
4.如图，四边形ABCD为☉O的内接正方形，
点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），
则∠BPC的度数是 .
D
135°
作业布置
5.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 .
6.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是 .
A
O
B
C
E
F
图a
A
B
C
D
P
O
图b
D’
P
【知识技能类作业 选择题】
作业布置
7.如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与⊙O相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E.
(1)求证：CB平分∠ACE；
(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
作业布置
作业布置
8.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长．
解：∵OD⊥弦AB，AB＝8， ∴AC＝ ＝4，
设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中， r ＝（r﹣2） +4 ，
解得：r＝5，
【综合实践类作业】
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
8.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm
解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.
8mm
A
B
C
D
O
板书设计
谢谢
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