无锡市天一中学2023-2024学年12月阶段测试卷
高一数学试卷答案与解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，
.
2.已知条件：，条件：，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】：，
：，，，或，
是的充分不必要条件.
3.设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，，解得：，
.
4.若函数是上的奇函数，当时，，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，；
当时，；
当时，；
综上，的值域为.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得：，
两边平方得：，解得：，
.
6.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，；
；
；
综上，.
7.若存在正实数，满足于，且使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式有解，
不等式，
，
，
，为正实数，
由基本不等式可得：，当且仅当时取等号，
，
，，，
或.
8.已知，且，函数，若关于的方程有两个不相等是实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】（1）时，
①，无实数根；
②，有一个实数根；
故与题意矛盾，不成立；
（2）时，
①若，有一个实数根，则，解得：，
若，无实数根，则；
②，在上必有一个实数根；
若，即，或，则在上有一个实数根，
若，即，则在上无实数根；
综上，的取值范围是.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.以下运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】A.正确，；
B.错误，；
C.正确，；
D.错误，.
【备注：标黄处内容不确定】
10.下列判断正确的是（ ）
A.若，则
B.已知扇形的面积是，扇形的圆心角的弧度数为，则扇形半径是
C.，
D.角为第四象限角的充要条件是且
【答案】BCD
【解析】A.错误，若，则或；
B.正确，扇形的面积，解得：；
C.正确，；
D.正确，角为第四象限角的充要条件是且.
11.已知函数，则（ ）
A.当时，的定义域为
B.的图象关于直线对称
C.当时，的值域为
D.一定存在最小值
【答案】AB
【解析】A.正确，，，
的定义域为；
B.正确，的图象关于直线对称，
的图象关于直线对称；
C.错误，，，
；
D.错误，若，则有两个不相等的实数根，
又，
，无最小值.
12.定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.在上单调递减
B.复合函数为偶函数
C.复合函数为偶函数
D.当，不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】A.正确，设，，则，
，，
设，即，
当时，，
当时，，即，
在上单调递减；
B.错误，取一个符合要求的具体函数，如：，则，为奇函数；
C.正确，取一个符合要求的具体函数，如：，则，为偶函数；
D.正确，取一个符合要求的具体函数，如：，则，即，
，.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：________.
【答案】
【解析】原式.
14.计算：函数的单调递减区间为________.
【答案】
【解析】，的定义域为，
根据“同增异减”法则：求的单调递减区间，即求的单调递减区间，
根据“同增异减”法则：求的单调递减区间，即求的单调递增区间，
的对称轴为，的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
15.用二分法求方程的正实数根的近似解（精确度）时，如果我们选取初始区间是，则要达到精确度至少需要计算的次数是________.
【答案】
【解析】设要达到精确度需要计算次，且为整数，
由题意可得：，解得：.
16.已知函数，则在区间内的所有零点之和为________.
【答案】
【解析】，
令，则，，
分别在一个直角坐标系中画出和的图象，
图象在区间有8个交点，且对应的两个交点的坐标关于中心对称，
即对应两个交点的横坐标之和为，
8个交点的横坐标之和为，
在区间内的所有零点之和为.
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.（10分）已知集合，.
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值范围.
【解析】（1），，解得：，
，，解得：，
，；
（2），
，解得：.
18.（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2），恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，
，，解得：或，
令，，则，
的对称轴为，
的增区间为，减区间为，
又为增函数，
根据“同增异减”法则：的增区间为，减区间为；
（2），恒成立，
恒成立，
，即恒成立，
，解得：.
19.（12分）在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
（1）若，求及的值；
（2）若，求点的坐标.
【解析】（1）角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，，
，且，，
，，
原式；
（2），
，整理得：，
即，解得：，
，整理得：，
，
角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，
（舍去负值），，
.
20.（12分）已知函数.
（1）已知，且函数的最小正周期为，求函数图象的对称中心及其单调减区间；
（2）若，函数在上的最值及其对应的的值.
【解析】（1），且函数的最小正周期为，
，
，
的对称中心为，
令，解得：，
的对称中心为，
的对称中心为，
的单调减区间为，
令，解得：，
的单调减区间为；
（2），
，
，
①当时，有最大值，此时，
②当或时，有最小值，此时或.
21.（12分）已知函数.
（1）当时，用定义法证明函数在上是减函数；
（2）已知二次函数满足，，若不等式有解，求的取值范围.
【解析】（1），
，
设，，且，
，
，，且，
，，，
，
，即，
函数在上是减函数；
（2），
令，，
，
令，，
设，
，解得：，
，
有解，
有解，，
有解，，
，，
令，，则，
的对称轴为，
当时，，即，
.
22.（12分）若函数在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.
（1）试判断是否为“局部奇函数”；
（2）已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
【解析】（1）假设为“局部奇函数”，
则有解，即在上有解，
令，，则在上有解，
整理得：在上有解，解得：，
故假设成立，为“局部奇函数”；
（2），
在在上恒成立，
对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，
对于任意的，在上有解，
即在上有解，
整理得：在上有解，
的值域是的值域的子集，
，
的值域是，
令，，则，
在上单调递减，
当时，，当时，，
，解得：.无锡市天一中学2023-2024学年12月阶段测试卷
高一数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
2.已知条件：，条件：，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.若函数是上的奇函数，当时，，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.若存在正实数，满足于，且使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，且，函数，若关于的方程有两个不相等是实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.以下运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【备注：标黄处内容不确定】
10.下列判断正确的是（ ）
A.若，则
B.已知扇形的面积是，扇形的圆心角的弧度数为，则扇形半径是
C.，
D.角为第四象限角的充要条件是且
11.已知函数，则（ ）
A.当时，的定义域为
B.的图象关于直线对称
C.当时，的值域为
D.一定存在最小值
12.定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.在上单调递减
B.复合函数为偶函数
C.复合函数为偶函数
D.当，不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：________.
14.计算：函数的单调递减区间为________.
15.用二分法求方程的正实数根的近似解（精确度0.0001）时，如果我们选取初始区间是，则要达到精确度至少需要计算的次数是________.
16.已知函数，则在区间内的所有零点之和为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.（10分）已知集合，.
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值范围.
18.（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2），恒成立，求的取值范围.
19.（12分）在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
（1）若，求及的值；
（2）若，求点的坐标.
20.（12分）已知函数.
（1）已知，且函数的最小正周期为，求函数图象的对称中心及其单调减区间；
（2）若，函数在上的最值及其对应的的值.
21.（12分）已知函数.
（1）当时，用定义法证明函数在上是减函数；
（2）已知二次函数满足，，若不等式有解，求的取值范围.
22.（12分）若函数在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.
（1）试判断是否为“局部奇函数”；
（2）已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
