2023-2024学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次函数的图象与轴的交点坐标是( )
A. B. C. D.
2.如图，，，，是上的四个点，是的直径，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示，是一座建筑物的截面图，高，坡面的坡度为，则斜坡的长度为( )
A. B. C. D.
5.关于二次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象的对称轴是直线
B. 图象与轴有两个交点
C. 当时，的值随值的增大而增大
D. 当时，取得最大值，且最大值为
6.点、、均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.下列语句中：过三点能作一个圆；平分弦的直径垂直于弦；长度相等的弧是等弧；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，在中，，下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，，为的内心，若的面积为，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论：
；关于的一元二次方程的根是，；；最大值其中正确的有个．( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知：，则锐角的度数为______．
12.已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，则的取值范围是______ ．
13.如图，已知的弦，半径于，，则的半径为______ ．
14.如图，，分别与相切于点，，为的直径，若，则的形状是______ ．
15.如图，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是，则的最小值为______ ．
16.如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点若在抛物线上存在一点与点不重合，使：：，则点的坐标为______ ．
17.如图，将扇形纸片折叠，使点与点重合，折痕为若，，则图中未重叠部分即阴影部分的面积为______ ．
18.已知：如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
19.在中，已知，为锐角，且，恰为一元二次方程的两个实数根．求的值并判断的形状．
四、解答题：本题共9小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
计算：．
21.本小题分
如图，正六边形内接于，半径为．
求正六边形的边心距；
求正六边形的面积．
22.本小题分
如图，一座古塔座落在小山上塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底记为点出发向右上方与地面成，点，，，在同一平面的方向匀速飞行秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行秒到达塔顶，已知无人机的速度为米秒，，求小李到古塔的水平距离即的长结果精确到，参考数据：，
23.本小题分
二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
写出方程的两个根：______；
写出不等式的解集：______；
写出随的增大而减小的自变量的取值范围______；
若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：______．
24.本小题分
如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点．
若，求的度数；
若是的中点，且，求阴影部分弓形的面积．
25.本小题分
已知二次函数的图象过点，求这个二次函数的解析式；
已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解．
26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在轴负半轴上，且．
求的长及的正弦值．
若点在轴正半轴上，且点是轴上的动点，当时，求点坐标．
27.本小题分
如图，是的外接圆，是直径，是中点，直线与相交于，两点，是外一点，在直线上，连接，，，且满足．
求证：是的切线；
证明：；
若，，求的长．
28.本小题分
已知抛物线：．
当时，求的值；
点是抛物线上一点，若，且时，求的值；
当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：二次函数的图象与轴相交，则，
故，则图象与轴的交点坐标是：．
故选：．
直接利用时，求出的值进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：．
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
此题考查了圆周角定理．注意直径对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
设小正方形边长为，
，，，
，
是直角三角形，
在中，，
故选：．
连接，设小正方形边长为，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解．
本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，掌握三角函数值，三角函数定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：坡面的坡度为：，
，
．
故选：．
由坡面的坡度为：，可得，再根据勾股定理可得．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，理解坡度的定义是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，有最小值，最小值为，抛物线与轴没有交点，
故A，，D错误，C正确，
故选：．
根据二次函数解析式得出函数对称轴，顶点坐标，开口方向，然后由函数的性质即可解答．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图象性质，熟悉性质是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下，
时，随增大而减小，
，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
7.【答案】
【解析】解：经过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故本小题错误；
平分弦非直径的直径垂直于弦，故本小题错误；
长度相等的弧不一定是等弧，故本小题错误；
经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，故本小题正确；
相等的圆心角所对的弧度数相等，故本小题正确．
故选：．
根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知圆的性质及垂径定理是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由锐角三角函数的定义可知，
，，，，
故选：．
根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是正确判断的关键．
9.【答案】
【解析】解：为的内心，
点到，的距离相等，
、面积的比：：：．
的面积为，
的面积为．
故选：．
由为的内心可得，点到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比．
此题主要考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，熟练掌握角的三角形的内心到三边的距离相等是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
关于的一元二次方程的根是，，所以正确；
当时，，
，而，
，即，
，即，所以正确；
当时，函数有最大值，
函数有最大值，所以正确；
故选：．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点在轴上方得到，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则根据抛物线与轴的交点问题可对进行判断；由于时，，再利用得到，则可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
锐角的度数为．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12.【答案】且
【解析】解：由题意可知：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据，且解出的范围即可求出答案．
本题考查二次函数与轴的交点，解题的关键是正确列出，本题属于基础题型．
13.【答案】
【解析】解：设的半径为，则，
，
，，
在中，，
解得，
即的半径为．
故答案为：．
设的半径为，则，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14.【答案】等边三角形
【解析】解：如图，连接，
为的直径，
，
由圆周角定理得：，
，分别与相切于点，，
，，，
，
为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
连接，根据正弦的定义求出，根据切线的性质得到，，，然后利用四边形内角和定理即可得是等边三角形．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：作关于的对称点，连接，，交于，此时，
根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，
连接，，
点是半圆上的一个三等分点，
．
弧中点，
，
，
．
的半径是，
，
，即的最小值为．
故答案为：．
首先作关于的对称点，连接，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．
本题考查的是圆周角定理，轴对称最短路线问题，解答此题的关键是找到点的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
16.【答案】或
【解析】解：二次函数的图象与轴交于、两点，
抛物线的表达式为：，
令，则，
点，
，
：：，
，
，
，
，
抛物线的顶点为，
，
把代入得，
解得或，
点的坐标为或．
故答案为：或．
利用待定系数法求得二次函数的解析式，进而求得点的坐标，利用三角形面积公式求得的面积，根据：：，求得，据此求得点的纵坐标，代入解析式即可求得横坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的表达式，三角形面积的计算，求得点的纵坐标是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：连接，，过作于，
扇形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据折叠得到，即可得到是等边三角形，即可求出折叠图形面积，利用总扇形面积减去折叠图形面积即可得到答案．
本题考查等边三角形的判定与性质，扇形面积公式，熟练运用扇形公式是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：当时，，
，
当时，，
解得，，
，
，
连接，点为的中点，连接、，如图，则，
点为的中点，
为的中位线，
，
当且仅当、、共线时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
先确定，再解方程得到，则利用勾股定理可计算出，连接，点为的中点，连接、，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，接着证明为的中位线得到，然后根据三角形三边的关系当且仅当、、共线时取等号，从而得到的最小值为．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19.【答案】解：，．
把代入方程得，解得．
把代入方程得，解得，．
，即度．
，即是直角三角形．
【解析】先求出一元二次方程的解，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，判断三角形的形状．
本题较复杂，涉及到一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，及等边三角形的性质需同学们熟练掌握．
20.【答案】解：
．
【解析】根据有理数的乘方法则、特殊角的三角函数值计算．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
21.【答案】解：连接、，过点作于，则，
六边形是正六边形，
，
，为等边三角形，
，，
圆心到的距离，
即正六边形的边心距为；
正六边形的面积．
【解析】连接、，过点作于，证明等边三角形，利用三角函数即可求解；
根据正六边形的面积即可求解．
本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，
由题意得：米，米，，，
，
，
，
在中，米，
在中，米，
米，
米，
小李到古塔的水平距离即的长约为米．
【解析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】和 或
【解析】解：由图象可知，图象与轴交于和点，
则方程的两个根为和，
故答案为：和；
由图象可知当或时，不等式；
故答案为：或；
由图象可知，的图象的对称轴为直线，开口向下，
即当时，随的增大而减小；
故答案为：．
由图象可知，二次函数有两个不相等的实数根，则必须小于的最大值，
故答案为：．
根据图象可知和是方程的两根；
找出函数值小于时的取值范围即可；
首先找出对称轴，然后根据图象写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
若方程有两个不相等的实数根，则必须小于的最大值，据此求出的取值范围．
本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．
24.【答案】解：连接，如图，
，，
，
，
，
，
度数为；
解：过点作于点，
是的中点，，
，
，
为等边三角形，
，，
阴影部分的面积．
【解析】连接，如图，利用互余计算出，然后计算出的度数，则根据圆心角定理得到的度数；
利用斜边上的中线性质得到，再判断为等边三角形，则，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积进行计算．
本题考查了扇形面积的计算、圆心角定理、互余、等边三角形等知识点：求不规则图形的面积，转化用规则的图形面积进行求解；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；利用角的正弦值求边长，解题的关键是将不规则图形面积转为规则图形面积求解．
25.【答案】解：把点，代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
二次函数与直线交于点，，
方程的解为或．
【解析】把，坐标代入解析式求出，即可；
根据二次函数与直线交点的横坐标即为方程的解可得结论．
本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，关键是利用数形结合的思想解答．
26.【答案】解：点，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
过点作于，如图所示：
设点的坐标为，则，
在中，由勾股定理得：，
点在轴正半轴上，且，
在中，由勾股定理得：，
在中，，
即，
，
在中，，，
，
又，，
，
由三角形的面积公式得：，
，
整理得：，
解得：，，
点的坐标为或．
【解析】先由点，得，在中由，可求出；再由勾股定理求出，进而可得的正弦值；
过点作于，设点的坐标为，则，由勾股定理得，，在中求出，则，由此得，然后由三角形的面积公式得，得，解此方程求出的值即可得出点的坐标．
此题主要考查了解直角三角形，点的坐标，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
27.【答案】解：证明：是弦中点，
，
是的中垂线，
，
．
是的直径，
，
．
又，
，
，即，
是的切线；
证明：由知，
∽，
，
．
又，
，即．
，
在中，设，则．
是中点，，
，
．
，即，解得，
．
【解析】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出∽是解本题的关键．
先判断出，得出，再判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论；
先判断出∽，得出，进而得出，即可得出结论；
在中，设，得出，，最后用勾股定理得出，即可得出结论．
28.【答案】解：由题意得，，
又，
．
．
或．
由题意，．
，
当时，函数有最大值为．
又此时点是抛物线上一点，时，都有，
．
．
由题意，当时，抛物线为．
把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线为．
抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，
又若当时，，
．
开口向下，
．
又抛物线与轴有交点，
．
．
．
【解析】依据题意，由，结合，解方程即可得解；
依据题意，，又，从而当时，函数有最大值为，又此时点是抛物线上一点，时，都有，进而，故可以得解；
依据题意，当时，抛物线为，从而表示出为，抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，从而若当时，，结合二次函数的性质，，又抛物线与轴有交点，故，进而可以得解．
本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
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