2023-2024学年四川省成都重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都重点中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是
( )
A. B.
C. D.
2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
4.点到直线：的距离是( )
A. B. C. D.
5.直线与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断
6.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交
7.圆与圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
8.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两条平行直线：与：间的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
10.三条直线，，构成三角形，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的为( )
A. 两圆有两条公切线
B. 直线的方程为
C. 线段的长为
D. 圆上点，圆上点，的最大值为
12.已知直线的方向向量，为直线上一点，若点为直线外一点，则点到直线上任意一点的距离可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.经过，两点的直线的方向向量为，则实数的值为______ ．
14.如图，在棱长为的正四面体四个面都是正三角形中，，分别为、的中点，则直线和夹角的余弦值为______ ．
15.一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为______．
16.与圆：关于直线对称的圆的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求满足下列条件的直线的方程．
经过点，且与直线平行；
经过点，且与直线垂直．
18.本小题分
的三个顶点的坐标分别是、、；，求它的外接圆的方程．
19.本小题分
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
20.本小题分
如图所示，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求点到直线的距离；
求直线到平面的距离．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点是的中点，作交于点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
22.本小题分
已知圆：，直线：．
求证：直线恒过定点．
直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
由题意可得，化简得到结果．
【解答】
解：由题意可得
．
故答案选：．
2.【答案】
【解析】解：由空间向量基本定理得：
对于选项，因为，所以，，三个向量共面，不符合题意；
对于选项，因为，所以，，三个向量共面，不符合题意；
对于选项，假设，，共面，则，从而可知，，共面，这与已知矛盾，故，，不共面，符合题意；
对于选项，，所以三个向量共面，不符合题意；
故选：．
由空间向量基本定理判断．
本题考查空间向量基本定理以及共面向量定理的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由于，，且，
所以，
解得．
故选：．
直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：点到直线：的距离．
故选：．
利用点到直线的距离公式直接求解．
本题考查点到直线的距离的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由圆的方程得到圆心坐标，半径
则圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相切．
故选B．
求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可得到正确答案．
此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离与半径的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．
6.【答案】
【解析】解：圆：即，表示以为圆心，以为半径的圆．
：即，表示以为圆心，以为半径的圆．
两圆的圆心距，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，
故选 D．
把两圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，判断两圆相交．
本题考查两圆的位置关系，利用两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交．
7.【答案】
【解析】解：联立方程：，
两式相减可得公共弦方程，
方法一：联立方程：，
得，
解得 ，，即公共弦的端点坐标为，，
根据点到直线距离公式可得公共弦长为；
方法二：圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为．
故选：．
两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长法一；也可求出圆心到公共弦的距离，然后结合弦长公式可求法二．
本题主要考查了两圆相交位置关系的应用，还考查了弦长公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，正切函数的性质，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围．
【解答】
解：当时，方程为，则倾斜角，
当时，直线的斜率为，
因为，且，则，
即，又
所以，
综上，．
故答案选：．
9.【答案】
【解析】解：两条平行直线：与：间的距离为，
则，解得或．
故选：．
由两平行线间的距离公式计算即可．
本题主要考查两平行线间的距离公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：三条直线，，构成三角形，
故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．
而直线和交于原点，无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以，，
故选：．
由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得的范围．
本题主要考查三条直线能构成三角形的条件，两条直线不平行的条件，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，圆：，圆心为，半径，
圆：，即，其圆心为，半径，
依次分析选项：
对于，圆与圆相交，有两条公切线，A正确，
对于，，联立可得：，即，直线的方程为，B错误，
对于，由的结论，直线的方程为，圆心到的距离，则，C错误，
对于，圆上点，圆上点，的最大值为，D正确，
故选：．
根据题意，依次分析选项：对于，由两圆相交，由圆与圆相交的性质分析可得A正确，对于，联立两圆的方程，变形可得直线的方程，可得B错误，对于，由直线与圆相交的性质，求出弦长，可得C错误，对于，由两圆相交，可得的最大值为，即可得D正确，综合可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及两圆相交的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
则，
所以点到直线的距离，
所以点到直线上任意一点的距离大于或等于．
故选：．
由题意先求出点到直线的距离，则点到其他点的距离均大于这个值．
本题考查线面平行的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，，，则，
若经过，两点的直线的方向向量为，设，
则有，即，解可得．
故答案为：．
根据题意，求出，由直线方向向量的定义分析可得关于的方程，解可得答案．
本题考查直线的方向向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：连接，取的中点，连接，，
正四面体中棱长为，
因为，分别是，的中点，
所以，则是直线和的夹角．
，，
，
所以直线和夹角的余弦值为：
，
即直线和夹角的余弦值为．
故答案为：．
连接，取的中点，连接，，推导出，从而是直线和的夹角，由余弦定理能求出直线和夹角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：设入射光线，反射光线，
光线从点射出，与轴相交于点，
根据两点式，入射光线的方程：，整理，得．
入射光线的斜率，反射光线的斜率，
反射光线过点点，
反射光线的方程，即．
故答案为：．
设入射光线，反射光线，由光线从点射出，与轴相交于点，根据两点式，能求出入射光线的方程；由入射光线的斜率，知反射光线的斜率，由反射光线过点点，能求出反射光线的方程．
本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意两点式方程和点斜式方程的合理运用．
16.【答案】
【解析】解：设圆心关于直线的对称点为，则由，
求得，，可得点，圆的半径为，
故圆关于直线对称的圆的方程为．
故答案为：．
先求出已知圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点的坐标，可得对称圆的方程．
本题主要考查直线和圆的位置关系，求一个圆关于直线的对称圆的方程的方法，关键是求出圆心关于直线的对称点的坐标，属于基础题．
17.【答案】解：设所求直线方程为分
因为所求直线过点
所以，
分
所以所求直线方程为分
由条件设所求直线方程为分
因为所求直线过点
所以，即分
所以所求直线方程为分
【解析】依题意，设所求直线方程为，将点代入，求得即可；
由条件设所求直线方程为，直线过点，可求得，从而可得答案．
本题考查直线的平行与垂直关系的应用，灵活设所求的方程的形式是迅速解决问题之关键，属于中档题．
18.【答案】解：设所求圆的方程为，
则有．
所以要求圆的方程为．
【解析】首先设所求圆的标准方程为，然后根据点、、在圆上列方程组解之．
本题考查圆的方程形式．
19.【答案】解：圆的圆心为，半径长为，
线段中点为
取中点，其坐标为，即
、为、的中点，
且．
动点的轨迹为以为圆心，半径长为的圆．
所求轨迹方程为：．
【解析】画出图形，利用、为、的中点，根据三角形中位线定理得出：且，从而动点的轨迹为以为圆心，半径长为的圆．最后写出其轨迹方程即可．
本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法是若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义如椭圆、双曲线、抛物线、圆等，可用定义直接探求．
20.【答案】解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
，，
取，，
，，则点到直线的距离为；
，，
而平面，平面，平面，
则点到平面的距离等于直线到平面的距离．
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
又，
直线到平面的距离为．
【解析】本题考查空间中点、线、面间的距离的求法，训练了利用空间向量求空间距离，考查计算能力，属于拔高题．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，取，，可得点到直线的距离为；
证明平面，则点到平面的距离就是直线到平面的距离，求出平面的一个法向量，再求出，可得直线到平面的距离为．
21.【答案】解：证明：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设．
连接，交于点，连接．
依题意得，，，
因为底面是正方形，所以点是它的中心，故点的坐标为，
因为，，
所以，即而平面，且平面，
所以平面．
依题意得，，
又因为，所以，所以．
由已知，且，所以平面．
因为平面，所以，故是平面与平面的夹角，
设点的坐标为，则，
因为，，所以，即，，．
设，则，
所以，点的坐标为．
又因为点的坐标为，所以，
所以，所以，
即平面与平面的夹角大小为．
【解析】建立空间直角坐标系，计算可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；
由二面角的概念可得是平面与平面的夹角，求出的坐标，再由向量夹角公式即可求得．
本题考查线面平行的证明和平面与平面所成角的求法，属于中档题．
22.【答案】解：直线的方程可化为，
联立，解得．
故直线恒过定点．
由题意可知：圆：的圆心为，半径，
因为，
可知点在圆内，直线与圆相交，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
因为直线的斜率为，
故直线的斜率为，解得，
此时圆心到直线的距离为，
所以最短弦长为．
【解析】由直线的方程变形为，联立，即可求得直线恒过的定点；
要使直线被圆所截得的弦长最短，则，化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解值及弦长．
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线过的定点坐标，考查运算求解能力，属中档题．
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