2023-2024学年四川省眉山市重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市重点中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题
1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一本政治与都是数学 B. 至少有一本政治与都是政治
C. 至少有一本政治与至少有一本数学 D. 恰有本政治与恰有本政治
3.已知，，且，则的值是( )
A. B. C. D.
4.过点且垂直于：的直线方程为( )
A. B. C. D.
5.在如图所示的电路中，个盒子表示保险匣，设个盒子被断开分别为事件，，，，盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )
A. ，两个盒子串联后畅通的概率为
B. ，两个盒子并联后畅通的概率为
C. ，，三个盒子混联后畅通的概率为
D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为
6.已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是( )
A. B. C. D.
7.直线与连接、的线段相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知正方体的棱长为，点为线段上的动点，则点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知空间中三点、、，则下列结论正确的有( )
A. 与是共线向量 B. 的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
10.若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
11.已知点，，直线：，则下列说法中正确的有( )
A. 直线恒过点
B. 若直线与线段有交点，则
C. 点到直线的距离的最大值为
D. 若，为直线上一点，则的最小值为
12.在信道内传输，信号，信号的传输相互独立发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为考虑两种传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送次，三次传输是指每个信号重复发送次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码例如，若依次收到，，，则译码为下列说法错误的是( )
A. 采用单次传输方案，若依次发送，，，则依次收到，，的概率为
B. 采用三次传输方案，若发送，则依次收到，，的概率为
C. 采用三次传输方案，若发送，则译码为的概率为
D. 当时，若发送，则采用三次传输方案译码为的概率大于采用单次传输方案译码为的概率
二、非选择题
13.已知三个事件，，两两互斥且，，，则 ______ ．
14.点关于直线：的对称点的坐标为______ ．
15.已知，，，若向量，共面，则______．
16.在平面直角坐标系中，定义，，为两点，的“切比雪夫距离”又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作给出下列四个命题：对任意三点，，，都有；已知点和直线：，则；到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形其中正确的序号为______ ．
17.已知直线：，直线：．
若，求实数的值．
判断与是否可能垂直，若可能垂直，求实数的值；若不可能垂直，请说明理由．
18.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为，，现采用分层随机抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动．
应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
设抽出的名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取名同学承担敬老院的卫生工作．
试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
设为事件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率．
19.如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长度为，且，求：
的长；
直线与所成角的余弦值．
20.设直线的方程为．
求证：不论为何值，直线必过定点；
若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值．
21.已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
求直线的方程；
在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
角的平分线所在直线方程为；
边上的中线所在的直线方程为．
若_____，求直线的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
22.中国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍是茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．
当点为线段的中点时，求证：直线平面；
当点在线段上时包含端点，求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得：点关于平面的对称点的坐标是．
故选：．
空间直角坐标系中任一点关于坐标平面的对称点为；关于坐标平面的对称点为；关于坐标平面的对称点为；
本题考查空间向量的坐标的概念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记住某些结论性的东西将有利于解题．
2.【答案】
【解析】解：从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，
对于，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故A错误；
对于，至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于，至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于，恰有本政治与恰有本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D正确．
故选：．
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
本题考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设过点且垂直于：的直线方程为：，
把点代入可得：，解得．
要求的直线方程为：，
故选：．
设过点且垂直于：的直线方程为：，把点代入解得即可得出．
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，，两个盒子串联后畅通的概率为，故A错误；
对于，，两个盒子并联后畅通的概率为，故B错误；
对于，，两个盒子混联后不畅通的概率为，
，，三个盒子混联后畅通的概率为，故C错误；
对于，当开关合上时，整个电路畅通的概率为，故D正确．
故选：．
根据串联、并联电路的性质和相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
本题考查串联、并联电路的性质和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，分别作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点，
则点，，，在同一条直线上，线段即为所求，
易知：，
直线方程为：，
设点，
则，
解得，点．
光线所经过的路程是，
故选：．
如图所示，分别作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点，可得点，，，在同一条直线上，线段即为所求．
本题考查了互垂直的直线斜率之间的关系、对称点的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由直线的方程，判断恒过，
如下图示：
，，
则实数的取值范围是：或．
故或
故选：．
由直线的方程，判断恒过，求出与，判断过点的竖直直线与两点的关系，求出满足条件的直线斜率的取值范围．
求恒过点且与线段相交的直线的斜率的取值范围，有两种情况：当，在竖直方向上的同侧时，如本题计算与，若，则直线的斜率当，在竖直方向上的异侧时，如下图计算与，若，则直线的斜率就是过点的垂直轴的直线与线段有交点时，斜率范围写两段区间，无交点时写一段区间．
8.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，
，，
故，，
设，，
则；
设为与，都垂直的向量，
则，
令，则，
因为由题意有点到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度，故点到直线的距离的最小值为．
故选：．
建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与，都垂直的向量的坐标，根据空间距离的向量求法即可求得答案．
本题考查点到直线的距离、异成直线间距离公式、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，空间中三点、、，
则，，
依次分析选项：
对于，，，
而，则、不共线，错；
对于，，
则的单位向量为，错；
对于，，，
所以，与夹角的余弦值是，对；
对于，设为平面的法向量，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，对．
故选：．
根据题意，由空间向量平行的判断方法分析，由单位向量的定义分析，由空间数量积的性质分析，由平行法向量的定义分析，综合可得答案．
本题考查空间向量数量积的计算以及性质的应用，涉及空间向量平行的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若，则，解得．
若，则，解得．
由，解得，，即与的交点坐标为，
若过点，则，解得．
故选：．
若三条直线不能围成三角形，则其中两条直线平行或三条直线交于一点，即可求解．
本题主要考查了直线平行条件的应用及直线的交点坐标的求解，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为直线的方程可化为，令且，所以直线过定点，故A错误；
对于，如下图，因为直线过定点，且，，
直线的斜率为，所以，故B正确；
对于，当直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故C正确；
对于，如下图，当时，直线的方程为，
设关于直线的对称点为，则解得，，
所以，所以，故D正确．
故选：．
对于，把直线的方程整理为，得出所过定点；对于，先求出，，结合图象得出结果；对于，当直线时，点到直线的距离最大；对于，求出关于直线的对称点的坐标，．
本题考查点到直线上的点的线段之和的最小值的求法，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用单次传输方案，若依次发送，，，则依次收到，，的概率为，故选项A正确；
对于，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用三次传输方案，若发送，则依次收到，，的概率为，故选项B正确；
对于，采用三次传输方案，若发送，译码为的情况分别为“，，”、“，，”、“，，”、“，，”，
因为输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用三次传输方案，若发送，则译码为的概率为，故选项C错误；
对于，若发送，采用三次传输方案译码为的情况有“，，”、“，，”、“，，”、“，，”，
所以其概率为；
若发送，采用单次传输方案译码为的概率为，
由，且，
则，
所以，故选项D正确．
故选：．
根据独立事件的概率乘法公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【解答】
本题考查互斥事件有一个发生的概率求法，考查运算能力，属于基础题．
由对立事件的概率可得，再由互斥事件有一个发生的概率可得所求．
【分析】
解：三个事件，，两两互斥，
，可得，
则．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：设是点关于直线：的对称点，
由题意得，，解得，，
所以．
故答案为：．
设的坐标为，由题意可得直线为线段的中垂线，再利用中点坐标公式与两条直线垂直的条件，列方程求解即可．
本题考查直线中的对称问题，熟练掌握中点坐标公式与两条直线垂直的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面定理，属于基础题．
由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数，使得，解出即可．
【解答】
解：向量，共面，
存在唯一一对实数，使得，
，解得．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析个命题：
对于，对任意三点、、，若它们共线，设、，，
如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，
则；
若，或，对调，可得；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
由矩形或矩形，；
则对任意的三点，，，都有，
故正确；
对于，设点是直线上一点，且，则，．
由，解得，即有，
当时，取得最小值；由，解得或，即有，
此时的范围是，无最值，
故，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，正确；
对于，到原点的“切比雪夫距离”等于的点，即为，若，则；
若，则，故所求轨迹是正方形，故正确．
综上，正确．
根据题意，依次分析个命题：讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假．综合可得答案．
本题考查新定义的理解和运用，关键理解“切比雪夫距离”的定义，属于中档题．
17.【答案】解：若，则，
整理得，
解得或．
当时，：，：，直线：，直线：垂直，符合题意；
当时，：，：，，重合．
故．
若，则，
整理得，因为，
所以方程无解，故与不可能垂直．
【解析】直接利用直线平行的充要条件求出的值；
利用直线垂直的充要条件求出的值．
本题考查的知识要点：直线平行和垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为：：，
由于采用分层抽样的方法从中抽取名同学，
应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得人，人，人．
Ⅱ从抽取的名同学中抽取名同学的所有可能结果为：
，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，共个．
设抽取的名学生中，来自甲年级的是，，，
来自乙年级的是，，来自丙年级的是，，
为事件“抽取的名同学来自同一年级”，
则事件包含的基本事件有：
，，，，，共个基本事件，
事件发生的概率．
【解析】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
Ⅰ利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得人，人，人．
Ⅱ从抽取的名同学中抽取名同学，利用列举法能求出所有可能结果．
设抽取的名学生中，来自甲年级的是，，，来自乙年级的是，，来自丙年级的是，，为事件“抽取的名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件发生的概率．
19.【答案】解：在平行六面体中，底面是边长为的正方形，
且侧棱的长度为，，
，
，
；
，，
，
，又，
又
，
直线与所成角的余弦值为：
，．
【解析】根据向量线性运算，向量数量积的性质及定义，即可求解；
根据向量线性运算，向量数量积的性质及定义，向量夹角公式，即可求解．
本题考查向量法求解空间中两点间距离，向量法求解线线角，属中档题．
20.【答案】证明：因为直线的方程为，即，
联立，解得，，
故直线过定点；
解：因为在两坐标轴上的截距相等，
当直线过原点时，可得，此时直线的方程为；
当直线不过原点时，可得，解得，此时直线的方程为，
故直线的方程为或；
令，可得，
令，可得，
则，
此时，
令，则且，
所以，
当且仅当，即，此时，取得最小值．
【解析】把已知直线方程进行变形，联立方程可求；
先对截距是否为进行分类讨论，然后结合截距式方程可求；
先求出直线与，轴的交点坐标，然后结合三角形的面积公式表示，进行变形后结合基本不等式可求．
本题主要考查了直线恒过定点的应用，还考查了直线方程的截距式，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为边上的高所在的直线方程为，
所以直线的斜率为，又因为的顶点，
所以直线的方程为：，即；
若选，角的平分线所在直线方程为，
由，解得，，所以点坐标为，
设点关于的对称点为，
则，解得，，即坐标为，
又点在直线上，所以，
所以直线的方程为，即．
若选：边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，，所以点，
设点，则的中点在直线上，
所以，即，又点在直线上，所以，
所以，所以直线的方程为，
即直线的方程为．
【解析】由已知结合直线垂直的斜率关系先求出直线的斜率，进而可求；
若选，由已知结合直线垂直的斜率关系先求出边上的高所在的直线方程，然后联立角的平分线方程即可求出的坐标，再求出点关于的对称点为的坐标，进而可求；
若选：边上的中线所在的直线方程为，先求出的坐标，结合中点坐标公式求出的坐标，进而可求．
本题主要考查了直线位置关系的应用，直线方程的求解，属于中档题．
22.【答案】解：证明：因为点为线段的中点，且，
所以，
因为，且四边形为正方形，故AD，
所以，而，，平面，
故AD平面；
设正方形的中心为，分别取，，的中点为，，，
设点为线段的中点，由知，，，四点共面，且平面，
连接，平面，故AD，
又平面，故平面平面，
且平面平面，
由题意可知四边形为等腰梯形，故，
平面，故平面，
故以为坐标原点，为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，则，，，，
又，故EF，
设到底面的距离为，
四边形，为两个全等的等腰梯形，且，
故E，，又，
故，，则，，
，
设，，
设平面的一个法向量为，
则，令，，
设平面的一个法向量为，
则，令，，
故，
令，则，
令，则，
令，则在上单调递增，
故当时，，当时，，
故，
即平面和平面的夹角的余弦值得取值范围为．
【解析】根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法求出平面和平面的夹角的余弦值的表达式，进行合理变形，结合二次函数的性质求得余弦的最值，即可求得答案．
本题考查了线面垂直的证明以及空间面面角的向量求法，解答的难点在于求出平面夹角的余弦值之后，要对其表达式进行变形，从而结合二次函数的单调性求得余弦的最值，从而得到其取值范围，属于中档题．
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