2023-2024学年河南省开封市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省开封市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，且经过点，则的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.已知直线：与直线：平行，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
4.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，若过点的直线与圆相交于，两个不同点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.若直线经过点，则直线在轴和轴上的截距之和取最小值时，( )
A. B. C. D.
7.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知圆：，是坐标原点，是圆上任意一点，若定点满足，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，则( )
A. 若，则 B. 若，则，
C. 若，则 D. 若，则，
11.已知点和，点在轴上，且为直角，则( )
A. 直线的斜率为 B. 点的坐标为
C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的方程为
12.已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，记与的离心率分别为，，在第一象限的交点为，下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线的倾斜角为，且经过点，，则的值为______．
14.已知三个顶点分别为，，，则外接圆的标准方程为______ ．
15.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为，下底直径为，高为，则喉部最细处的直径为______．
16.已知平行六面体中，，与的交点为，，，则 ______ ， ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知双曲线的焦距为，上一点与两焦点的距离差的绝对值等于．
求的标准方程；
若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，求的标准方程．
18.本小题分
已知正方形的中心为点，点在第三象限，边所在直线的方程是．
求边所在直线的方程；
求对角线所在直线的方程．
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点．
求正方体的外接球的球心到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
20.本小题分
已知圆：，直线：．
求圆关于直线对称的圆的标准方程；
是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，求切线长最短时切线的方程．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且平面．
求的长；
为线段上的动点，求直线与平面所成角正弦值的取值范围．
22.本小题分
已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．
求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
若斜率为的直线交曲线于，两点，为线段的中点，为坐标原点，射线交曲线于点，且，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，，可得．
故选：．
根据给定条件，用空间向量的减法运算即可求．
本题考查空间向量的减法运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题可知，所以，
且椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为．
故选：．
根据椭圆上的点及椭圆的长短轴关系即可求得椭圆方程．
本题主要考查椭圆标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为直线：与直线：平行，
所以，解得或，
当时，：，：，两直线平行，
当时，：，：，两直线重合，
所以实数的值为．
故选：．
根据直线平行的充要条件计算即可．
本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，
所以向量在向量上的投影向量．
故选：．
直接根据投影向量的公式计算得到答案．
本题考查投影向量的坐标表示，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，设，圆：的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，则，
当最大时，弦长最小，
在圆内部，故的最大值为，
则的最小值为．
故选：．
根据题意，设，圆：的圆心为，分析圆的圆心以及半径，求出到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当最大时，弦长最小，而的最大值为，据此计算可得答案．
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为直线经过点，所以，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以直线在轴和轴上的截距之和取最小值为，此时，则．
故选：．
根据题意，将点代入直线方程，可得，然后利用基本不等式加以计算，即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程及其应用、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，，
因为直线与线段总有公共点，的倾斜角最小，为锐角，的倾斜角最大，为钝角，
且在变化过程中存在倾斜角为直角的情形，
所以直线的斜率满足或，即．
故选：．
根据题意，先算出直线、的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，判断出直线的斜率的取值范围．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为，设，，
由，得，
化简得，
又因为，即，所以，
因为对于任意恒成立，所以，解得，所以，
所以当点的纵坐标的绝对值最大时的面积最大，此时轴，
所以或，
所以的面积为．
故选：．
设，，由，得，结合，推出，
通过任意恒成立，得到，求出，然后判断的位置，求解三角形的面积的最大值即可．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
9.【答案】
【解析】解：对于，若向量，，共面，
则，即，解得，，
故向量，，共面，故A错误；
对于，若向量，，共面，
则，，无解，
故向量，，不共面，故B正确；
对于，若向量，，共面，
则，
即，方程组无解，
故向量，，不共面，故C正确；
对于，若向量，，共面，
则，解得，
故向量，，共面，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合向量共面的定理，即可求解．
本题主要考查向量共面的定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，则，，
即，A正确，B错误；
，则，，解得，，C错误，D正确．
故选：．
由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的垂直与平行．
本题考查了直线的方向向量与平面的法向量问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：已知点和，则，故A不正确；
点在轴上，且为直角，
设，则，所以，故点的坐标为，故B正确；
则直线的一个方向向量为，则也是直线的一个方向向量，故C正确；
，则直线的方程为，即，故D正确．
故选：．
根据直线斜率，直线垂直，直线方向向量，直线方程逐项判断即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，所以，A正确，
不能得出错误；
设，，则，解得，
若，则，即，
所以，
，，即，所以，错，D正确．
故选：．
由离心率公式判断，利用椭圆与双曲线的定义及余弦定理得出，，的关系，从而得出，关系判断．
本题考查了椭圆与双曲线的定义及余弦定理，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由于直线的倾斜角为，且经过点，，
故有，，
故答案为：．
由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，以及直线的斜率公式，求得的值．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，斜率公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由于三个顶点分别为，，，
所以圆心的横坐标，圆心的纵坐标为，
所以半径；
故圆的方程为．
故圆的方程为：．
直接利用点的坐标求出圆心的坐标，进一步求出半径和圆的方程．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
设双曲线方程为，
由已知可得，，且，
所以，所以双曲线方程为，
底直径为，所以双曲线过点，
下底直径为，高为，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：，解得：，，
所以喉部最细处的直径为．
故答案为：．
由已知，根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出，之间的关系，由题意底直径为，所以双曲线过点，下底直径为，高为，所以双曲线过点，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部最细处的直径．
本题主要考查了双曲线的性质在实际问题中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：已知平行六面体中，，与的交点为，，，
则；
又，
则，
即．
故答案为：；．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
17.【答案】解：双曲线的焦距为，
所以半焦距，
因为上一点与两焦点的距离差的绝对值等于，
所以，，，
所以的标准方程为．
双曲线与双曲线有共同的渐近线，
设，
将点代入到方程，
可得，
所以的标准方程为．
【解析】由双曲线定义可得答案；
由题可设，代入可得答案．
本题考查了双曲线的定义，重点考查了双曲线的性质，属中档题．
18.【答案】解：正方形中，，设边所在直线的方程为，
因为正方形的中心为点，则与交于点，
所以点到直线和的距离相等，
所以，解之得或，
经验证时，点不在第三象限，
所以边所在直线的方程为；
由联立，解得，即，
又，，
所以对角线所在直线的方程为．
【解析】由题意可得，设边所在直线的方程为，再根据点到直线和的距离相等，结合点到直线的距离公式求出，即可得解；
先求出点的坐标，再求出直线的方程即可．
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：如图，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，由，，
则有，即，
取，则平面的一个法向量为，
又因为，
所以点到平面的距离为；
平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得到平面的距离；
利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值．
本题考查利用空间向量法求点到平面的距离即二面角的夹角余弦值，属中档题．
20.【答案】解：圆：的圆心，半径，
记圆关于直线对称的圆的圆心为，则，
解之得，圆的半径为，所以圆的标准方程为；
是直线上的动点，是圆的切线，所以，
易知切线长最短时，也最短，当时，最短，此时，
所以直线的方程为：，联立直线的方程，则，
解得，可得，设直线的方程为：，
所以，解之得或，
所以切线的方程为或．
【解析】圆关于直线对称的圆的圆心为，根据点关于直线对称列方程可得，的值，从而得对称圆的标准方程；
根据切线长的几何性质从而得切线长最短时点的坐标，设切线方程求解斜率，从而得此时切线方程．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：因为平面，，，
所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
则，，，，
因为为线段上一点，所以设，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
因为平面，
所以，即，解得，
所以的长为；
由知，平面的一个法向量为，
因为为线段上的动点，设，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，所以当时，有最大值，当时，有最小值，
所以直线与平面所成角正弦值的取值范围为
【解析】建立空间直角坐标系，设由线面平行的向量表示可建立关于的等量关系，求出即可；
设，由直线与平面所成角可得，结合二次函数的最值求值域即可．
本题考查直线与平面所成角和线面平行，属于中档题．
22.【答案】解：设点，则，，
由已知，得，
化简可得点的轨迹方程为，
所以点的轨迹是除去，两点的椭圆．
设直线的方程为，由，联立消可得：，
设，，由韦达定理得，
所以，
又，
因为点在上，所以，化简得，
又，
点到的距离，
所以．
【解析】设点，由两直线斜率之积是列式化简即可得；
设直线方程，直曲联立，设而不解，利用弦长公式和点到直线距离求出三角形的底和高，进而求面积．
本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．
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