2023-2024学年河南省焦作市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省焦作市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，若与是共轭复数，则( )
A. B. C. D.
4.图所示的明矾晶体可近似看作一个正八面体图，其中，均为所有棱长都相等的正四棱锥，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线：与圆：交于，两点，且点到直线的距离等于，则的值为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点，，若在直线上有唯一点满足，且有唯一点满足，则符合条件的有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
8.已知正六边形，把四边形沿直线翻折，使得点，到达，且二面角的平面角为若点，，，，，都在球的表面上，点，，，，都在球的表面上，则球与球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，当变动时，下列结论正确的是( )
A. 的焦点恒在轴上
B. 的焦距恒大于
C. 的离心率恒大于
D. 的一个焦点到其中一条渐近线的距离不变
10.已知在平面直角坐标系中，点，是不重合的两点，则下列结论错误的是( )
A. 直线的方程为
B. 若，，则直线的方程为
C. 若，，则的值可以是
D. 若，且是定值，则直线有条
11.已知空间直角坐标系中，点，，，则下列结论正确的是( )
A. 直线的一个方向向量的坐标为
B. 直线与平面的交点坐标为
C. 点关于平面的对称点为
D. 为钝角
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 在区间上单调递增
B. 若，则有个不同的取值
C. 的图象关于点对称
D. 若在区间上有且仅有个零点，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数是偶函数，则实数 ______ ．
14.已知点，，，则的面积为______ ．
15.著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为，，的三个圆两两外切，同时又都与半径为的圆外切，则已知，，若圆，，两两外切，且都与圆外切，其中圆，的半径相等，则圆的标准方程为______ ．
16.已知椭圆：与抛物线：交于点，，直线与轴的交点既是的右焦点，也是的焦点，点，关于原点的对称点分别为，，点是上与，，，均不重合的点，记直线，的斜率分别为，，则 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某沙漠地区每年有个月属于雨季，个月属于旱季经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量单位：依次达到，，，，，，，，，记这组数据的第百分位数与平均数分别为，．
求，；
已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲、乙两种植物，当月降水量低于时甲种植物需要浇水，当月降水量低于时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲、乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点到的距离等于设动点的轨迹为曲线．
求的方程；
若直线与曲线交于，两点，证明：为定值．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，记．
用表示，并证明；
若为棱的中点，求线段的长．
20.本小题分
在中，点是边上一点，，．
求证：；
若是锐角，且，的面积为，求．
21.本小题分
如图，在四棱台中，四边形是边长为的正方形，，，平面，为的中点．
求直线与平面所成角的正弦值；
若平面经过且与平行，求点到平面的距离．
22.本小题分
已知椭圆：经过中的个点．
求的方程．
若直线与交于点，，点关于轴的对称点为，点是的外接圆圆心，判断在轴上是否存在定点，使得为定值若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为不等式可化为，
解得，则，
所以．
故选：．
化简集合，结合交集的运算，求解即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题设，双曲线渐近线为，其中一条与平行，
所以．
故选：．
由双曲线写出渐近线方程，将已知直线写成斜截式，根据两直线平行有，即可求参数．
本题主要考查双曲线的基本性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题设，与是共轭复数，
所以．
故选：．
利用复数除法化简，根据共轭复数的定义列方程求参数．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：连接，交于点，如图所示：
则，
．
故选：．
根据空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆：即，
所以圆心，半径，
则圆心到直线：的距离，
因为点到直线的距离等于，所以，
即，
解得或．
故选：．
将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，依题意可得，解得即可．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：设为椭圆的左焦点，
则，
由椭圆的定义可得，
则，
即，
又，
则，
则，当且仅当点在的延长线上时取等号，
即的最小值为．
故选：．
由椭圆的性质，结合椭圆的定义求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：若，则在以为直径的圆上，对应方程为，
令，由题设有，整理得，
所以直线与圆、均有且只有一个交点，即直线与两圆都相切，
又两圆圆心距离为，半径之和为，故两圆相交，它们的公切线有条，
所以符合条件的有条．
故选：．
根据题设确定、的轨迹圆的方程，并判断两圆的位置关系，由题意直线是两圆的公切线，即可判断条数．
本题主要考查两点之间的距离公式，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题设，若为中点，则，
令正六边形的边长为，则球的半径，

过作于，连接，由正六边形性质，，都为等边三角形，
所以为的中点，故EG，则二面角的平面角为，
，故C，
又，，面，故D面，即面，
面，则，而，故B，，
由，故B为矩形，其对角线长为，
由是外接球球心，故必在与底面中心的连线上，
设球的半径，如上图示，
所以，即，
故，
所以球与球的表面积之比为．
故选：．
根据已知球的球心为中点，令正六边形的边长为，则球的半径，线面垂直的判定、性质证为矩形，确定在与底面中心的连线上，再应用已知求球的半径，即可得结果．
本题主要考查球的表面积，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由双曲线，焦点在轴上，对；
，故焦距，对；
离心率，错；
由渐近线为，即，焦点坐标为，
所以一个焦点到其中一条渐近线的距离，对．
故选：．
根据双曲线方程判断焦点位置，求焦距、离心率范围，应用点线距离求焦点到渐近线距离判断各项正误．
本题主要考查双曲线的简单性质应用，考查计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：：当时，直线方程不能用表示，错；
：由题设，不重合的点，在直线上，故直线的方程为，对；
：由题设，，，则，
所以，错；
：由题设，不重合的点，在圆上，且与点所成直线斜率相同，
所以，，共线，而在圆外，
只需过的直线与圆有两个交点即可，如下图示，
若是定值且为时，结合圆的性质知：此时直线有条，而定值不为时有条，错．
故选：．
注意对应直线不能用表示；显然，在直线，即可确定直线；由题意，，应用两点距离公式求的范围；由题设，在圆上，且与共线，得过的直线与圆有两个交点，结合是定值及圆的性质判断．
本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于中档题也是易错题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由，而，
故直线的一个方向向量为，故A正确；
对于，由，令直线与平面的交点，
则，
，即交点，故B错误；
对于，点关于平面的对称点为，故C正确；
对于，由，故为锐角，故D错误．
故选：．
对于，求得，判断是否与共线即可；对于，设直线与平面的交点，根据与共线求坐标；对于，由空间直角坐标系中点关于平面对称的性质写出对称点判断；对于，由的符号判断．
本题考查对称、点到坐标轴的距离等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：当时，，
，
所以，
当，时，也成立，
故是周期为的函数，
，
当时，，则单调递增，且，故A正确；
当时，，则单调递增，且，
当时，，则单调递减，且，
当时，，则单调递减，且，
且，
又，时，，则，
可得函数的图象如图所示，
若，
则，解得或舍，
故只有一个值，故B错误；
当，时，，
当，时，也成立，
所以的图象关于点对称，故C正确；
因为，所以在上只有四个零点，
若在区间上有且仅有个零点，则的取值范围是，故D错误．
故选：．
根据题意，由函数解析式可得，求导得其单调性，即可得到函数的大致图象，结合函数图象对选项逐一判断，即可得到结果．
本题考查分段函数的应用，考查三角函数的图象及性质，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：的定义域为，
所以，
故，
进而，
所以，解得．
故答案为：．
根据偶函数的性质，结合对数运算即可求解．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，
显然，
故的面积为．
故答案为：．
利用空间向量的坐标运算及三角形面积公式计算即可．
本题考查三角形的面积，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设圆，，，的半径分别为，，，，
由题意可得：，解得，
又因为，
即，解得，
由，可知点在线段的中垂线上，即轴上，设，
由题意可得，解得，
即圆的圆心，半径，所以圆的方程为．
故答案为：．
根据题意结合两圆的位置关系可得，代入题中公式可得，进而可求圆心的坐标，即可得方程．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，
令椭圆半焦距为，由的右焦点，也是的焦点，得，
又直线过点，由椭圆、抛物线的对称性知，点，关于轴对称，即直线轴，
由，得，由，得，
于是，即，则，解得，
不妨令，则，设，
显然，
所以
，
所以．
故答案为：．
椭圆半焦距为，根据给定条件，结合椭圆、抛物线的对称性求出及点的坐标，再利用斜率坐标公式计算即得．
本题考查直线与椭圆和抛物线位置关系的综合应用，属于中档题．
17.【答案】解：由数据从小到大为，，，，，，，，，，
又，则第百分位数为，
平均数．
由数据及题设知：个月中降水量低于有个月，
降水量低于有个月，
所以甲、乙两种植物都需要浇水的概率为，
二者中有植物需要浇水的概率为．
【解析】由百分位数、平均数求法求；
根据数据的频率估计所求概率即可．
本题考查百分位数、平均数、概率的求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：由点，直线：，动点到的距离等于，
可得，即为，
化为；
证明：联立，可得，
设，，则，
，即为定值．
【解析】由点到直线的距离和两点的距离公式，化简整理，可得所求轨迹方程；
联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，可得定值．
本题考查轨迹方程的求法，以及抛物线的定义、方程和性质和直线与抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意可得：
，
，
证明：
，
；
为棱的中点，根据题意可得：
，
，
．
【解析】根据向量的线性运算，向量数量积的运算，即可求解与证明；
根据向量的线性运算，向量数量积的性质与定义，即可求解．
本题考查向量法证明线线垂直，向量法求解空间中两点之间的距离，向量的线性运算，向量数量积的性质与定义，属中档题．
20.【答案】解：由题设，令，则，，
中中，
又，故，
所以，即，
则，得证．
设，在中，在中，
而，故，则，
又，故AB，，又，所以，
由为锐角，则，
由．
【解析】令得，，在应用余弦定理并结合列方程得，即可证；
设，在中应用正弦定理可得，结合已知求得，，应用三角形面积公式得，应用三角恒等变换可得且，即可求．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：根据题意，可建系如图，
则，，，，，，，
，，，，
设平面面所的法向量为，
则，取，
直线与平面所成角的正弦值为：
，；
平面经过且与平行，
又根据可知，，，
设平面的法向量为，
则，取，
点到平面的距离为：
，．
【解析】建系，利用向量法，向量夹角公式，即可求解；
建系，利用向量法，向量数量积的运算，即可求解．
本题考查向量法求解线面角问题，向量法求解点面距问题，属中档题．
22.【答案】解：因为，关于轴对称，
所以这个点在椭圆上，
此时，
当在椭圆上时，
，
由知，方程无解；
当在椭圆上时，
，
联立，
解得，，
因为，
所以，，
则椭圆的方程为；
不妨设，，
可得，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
由外接圆的定义知，点为线段，垂直平分线的交点，
因为线段的垂直平分线为轴，
所以线段垂直平分线为，
令，
解得
，
不妨设，
此时，
所以当，
即时，为定值，定值为，
故当在轴上存在定点，使得为定值，定值为．
【解析】由题意，根据对称性将，和代入椭圆方程中，求出和的值，进而可得的方程；
将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公得到，分别表示出线段的垂直平分线与线段的垂直平分线，联立方程求得点坐标，从而探求为定值的条件即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
第1页，共1页