黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

哈尔滨市第九中学2023-2024学年度
高二上学期12月份考试 数学试卷
（考试时间：120分钟 满分150分）
第I卷（选择题共60分）
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
1.已知点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知平行六面体的所有棱长都为1，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6.若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）
A. B. C.±2 D.
7.直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为（ ）
A.4 B.8 C. D.
8.已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.对于抛物线，下列描述正确的是（ ）
A.开口向上，焦点为 B.开口向上，焦点为
C.准线方程为 D.准线方程为
10.圆和圆的交点为，则（ ）
A.公共弦所在直线的方程为
B.线段中垂线方程为
C.公共弦的长为
D.为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11.《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”.则下列结论正确的是（ ）
A.动点的轨迹方程为
B.动点的轨迹与圆没有公共点
C.直线为成双直线
D.若直线与点的轨迹相交于两点，点为点的轨迹上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则
12.过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，已知的焦点为，且，则（ ）
A.的准线方程是
B.
C.直线过定点
D.当点到直线的距离最大时，直线的方程为
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知空间向量，且.则__________.
14.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点.且，则__________.
15.已知点为椭圆上任意一点，是圆的一条直径，则的最大值是__________.
16.已知为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为__________.
四 解答题（本大题共6题，满分70分解答应写出必要的文字说明 证明过程和演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为.
（1）求该圆的方程；
（2）求过点的该圆的切线方程.
18.（本小题满分12分）
已知抛物线.当过焦点且斜率为1的直线交于两点时，.
（1）求的标准方程：
（2）若过点的直线与交于两点，当时，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）
如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接.
（1）求证：平面：
（2）若是的中点，连接，当，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为到双曲线的渐近线的距离为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程.
21.（本小题满分12分）
已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于.
（1）求动点的轨迹的方程：
（2）若，过作直线与轨迹交于两点（不与重合），记直线与的斜率分别为，证明：为定值.
22.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.
高二上学期12月份考试数学试卷参考答案
1-8ADCDCDAB
9.BD 10.AB 11.CD 12.BCD
13. 14. 15.24 16.
17.（1）设圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
又圆被直线截得的弦长为，
圆的方程为：
（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，
即由得：，
切线方程为，即，
综上所述：过点的圆的切线方程为或.
18.（1）由题知，则直线方程为，
代入得，
设，
则，因为，所以，即，
所以抛物线方程为
（2）由题可设直线的方程为
由，得
则，解得或，
设点，则，
当则，即
即，
，
解得或
（舍去）
又，所以直线存在，其方程为
19.（1）是圆的直径，与圆切于点，
底面圆底面圆，
平面平面，
又平面，
在中，，则，
，
平面，
平面
（2）如图以为原点，在底面圆内过点作的垂线为轴，
分别为轴建立空间直角坐标系，
易知，由
则，，
由（1）知为平面的一个法问量，
设平面的法向量为，
，令，得，
故平面的一个法向量为，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20.（1）双曲线的一条渐近线为，
又抛物线的焦点的坐标为，
由题可得：，解得，
故抛物线方程为：
（2）设过点与抛物线相切的直线方程为，
联立抛物线方程可得，
则，又，则，
且，
设点的坐标为，则，
即，代入，
可得，又，故；
则点的轨迹方程为：
21.（1）圆，圆心，半径
因为线段的垂直平分线和半径相交于，
所以，所以，
所以点H的轨迹是以，为焦点，且长轴长为4的椭圆.
故，
所以点H的轨迹L的方程是.
（2）证明：因为直线l不与重合，所以直线l斜率不为0，
故设.
所以
，
所以为定值.
22.（1）因为椭圆的右焦点，，∴.
∵在椭圆上，.
由得，，所以椭圆的方程为.
（2）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，
当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，，.
由消去得，所以，，
则，
又圆心到的距离得，
又，，所以点到的距离点到的距离.
设为，即，
所以面积，
令，则
，，
综上，的面积的取值范围为.