2023-2024学年新疆和田地区墨玉县高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年新疆和田地区墨玉县高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D. 不存在
2.向量，若，则的值为
( )
A. B. C. D.
3.已知空间点，则点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.若直线与平行，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
5.已知、分别为不重合的两直线、的方向向量，、分别为不重合的两平面、的法向量，则下列所有正确结论个．( )
；；；．
A. B. C. D.
6.已知，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知正方体，点是的中点，点是的三等分点，且，则等于( )
A. B.
C. D.
8.已知直线经过圆的圆心，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知下列四种条件，空间中四点，，，不一定共面的是( )
A. B.
C. D.
11.已知点在圆上，点在圆上，则( )
A. 两圆外离
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 两个圆的一条公切线方程为
12.如图，棱长为的正方体中，动点满足则以下结论正确的为( )
A. ，使直线面
B. 直线与面所成角的正弦值为
C. ，三棱锥体积为定值
D. 当时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.圆心为，半径是的圆标准方程为______ ．
14.向量与共线且满足，则 ______ ．
15.已知是圆的弦，且，则的中点的轨迹方程是______ ．
16.已知，，，若，，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，，，，求实数的值使得
，
．
18.本小题分
已知三点，，，是中点．
求直线的方程；
求过与垂直的直线方程．
19.本小题分
已知圆：．
Ⅰ若直线：与圆相切，求的值；
Ⅱ若圆：与圆无公共点，求的取值范围．
20.本小题分
已知，，，圆经过，，三点．
求圆的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
若经过点的直线与圆交于，两点，求弦长的取值范围．
21.本小题分
已知在三棱柱中，底面是正三角形，底面，，，点，分别为侧棱和边的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
22.本小题分
如图，在直四棱柱中，侧棱的长为，底面是边长为的正方形，是棱的中点．
证明：平面；
Ⅱ求平面与平面的夹角的正切值；
Ⅲ求点到平面的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查根据两点坐标求过两点直线的斜率，属于基础题．
根据两点坐标求出直线的斜率即可．
【解答】
解：直线的斜率，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】
解：向量，，
，
解得．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：已知点，再由空间直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特点：横坐标和竖坐标互为相反数，纵坐标不变，
可得：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
根据空间坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数即可求解结论．
本题考查了空间中的点的坐标，点关于轴，轴及原点对称时横纵坐标的符号，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线平行的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
根据题意，由直线平行的判断方法可得，解得或，验证直线是否平行即可得答案．
【解答】
解：根据题意，因为直线与平行，
所以，解得或，
当时，这两条直线重合，
当时，两条直线平行，
故；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，因为、分别为不重合的两直线、的方向向量，、分别为不重合的两平面、的法向量；
依次分析个命题：
，直线，的方向向量平行等价于直线、平行，正确；
，直线，的方向向量垂直等价于直线、垂直，正确；
，平面，的法向量平行等价于平面，平行，正确；
，平面，的法向量垂直等价于平面，平行垂直，正确．
故选：．
根据题意，根据直线的方向向量与平面向量的法向量的定义判断个命题，即可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面位置关系的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，，
，，
过点的直线与线段相交，
该直线斜率的取值范围是
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图所示，
，，，，，，
．
故选：．
如图所示，，，，，，，代入化简即可得出．
本题考查了向量共线定理、向量三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为表示圆，所以，解得，
因为圆心坐标为，且直线经过圆心，所以，解得．
故选：．
根距圆的表示条件和圆心坐标，即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：向量，，
，
，
，
，
故选：．
通过向量的坐标运算以及向量的数量积求解判断即可．
本题考查向量的加减运算以及向量的数量积，考查计算能力．
10.【答案】
【解析】解：空间中，，，四点共面的充要条件是满足，且，
对于，由，得，则空间中四点，，，不共面；
对于，由，得，则空间中四点，，，共面；
对于，由，得，则向量共面，即四点，，，共面，
对于，由，得，则空间中四点，，，不共面．
故选：．
根据空间中四点，，，共面的充要条件，逐一判断可得选项．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故A正确；
因为在圆上，在圆上，所以，，故B、C正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误．
故选：．
将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，显然，存在满足题意；
证明如下：若为中点，
则，
面，面，所以，
，，平面，面，项正确；
对于选项，以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，故，
设直线与面所成角为，
则，故B项错误；
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又为线段上动点，所以到平面距离为定值，
故三棱锥体积为定值，
当点与重合时，，故C正确；
当点为中点时，，由选项A已证得平面，
易得，
所以，
的外接圆半径为，
故所求问题等价于求以为半径的底面圆，
高为的圆柱的外接球表面积，
设三棱锥的外接球半径为，则，
故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确．
故选：．
当为中点，证明，，利用线面垂直的判定定理即可；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用线面夹角的空间向量法即可；证明平面，则到平面距离为定值，则体积为定值，计算即可；利用余弦定理得到，问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，计算即可．
本题考查了立体几何的综合问题，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆心，半径是的圆标准方程为
．
故答案为：．
由圆的标准方程可得．
本题考查圆的标准方程，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为向量与共线，所以设，
因为，所以，
因为，
所以．
所以．
故答案为：．
利用两个向量共线，设，然后利用数量积求出即可．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设圆心到的距离为，则由弦长公式可得 ，
即的中点到圆心的距离等于，的中点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆，
故BC的中点的轨迹方程是，
故答案为．
由弦长公式求得圆心到的距离，可得的中点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆，从而写出圆的标准方程，即为所求．
本题考查求点的轨迹方程的方法，弦长公式的应用，判断的中点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆，是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：因为，，，且，，
所以，解得．
则为，，，
则，，
则，，
则．
故答案为：．
先根据，，求出，的值，再进行求解即可．
本题主要考查向量的垂直和平行，属于基础题．
17.【答案】解：向量，，
，
，
，
，
解得．
，
，
，解得．
【解析】求出，，由，得，由此能求出．
由，能求出实数的值．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直、平面向量平行性质的合理运用．
18.【答案】解：因为，，且是中点，
所以．
而，所以由两点式可得的直线方程为，
整理得．
直线的斜率，
所以与垂直的直线的斜率，
所以过与垂直的直线为，
整理得．
【解析】根据是中点，得到坐标，然后根据点坐标，利用两点式写出直线方程，整理得到答案；
根据与垂直，得到所求直线的斜率，再由直线过点，点斜式写出直线方程，整理得到答案．
本题考查两点式方程、点斜式方程、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：
Ⅰ根据题意，圆：的方程为，其圆心，半径，
若直线与圆相切，则有，
解可得：或，
故的值为或；
Ⅱ根据题意，圆的圆心为，圆的圆心，则，
若圆与圆无公共点，则有或，
解可得：或，
故的取值范围为：或
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．
Ⅰ根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得，解得的值，即可得答案；
Ⅱ根据题意，求出两圆的圆心距，结合圆与圆的位置关系分析可得或，解可得的值，综合即可得答案．
20.【答案】解：由题意，点，，，且圆经过，，三点，
可得圆是以为直径的圆，
设圆的圆心坐标为，半径为，
可得，即圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为．
解：由圆的性质得，当直线过圆心，此时弦长取得最大值，最大值为，
当为中点的弦最短，其中，所以最短弦长为，
所以弦长的取值范围．
【解析】根据题意得到圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求得圆的方程；
根据圆的性质，当直线过圆心弦长最长，当为中点的弦最短，结合弦长公式，即可求解．
本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
21.【答案】解：证明：取的中点，连接，，则，
又为边的中点，则，且平面，
所以平面，
如图，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴建立空间直角坐标系：
依题意，可得：，，，
，，，
，，，
，
，
即，，
又，，平面，
平面．
由知平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】建立空间直角坐标系，由向量数量积公式证明，，由线面垂直的判定定理可证明平面；
根据向量法计算线面夹角的正弦值．
本题考查直线与平面的位置关系，线面所成角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
22.【答案】解：根据题意，建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，
因为侧棱的长为，底面是边长为的正方形，
所以，，，，
因为是棱的中点，
所以，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，得，，
所以，
因为，
所以，
因为平面，
所以平面．
Ⅱ由得平面的一个法向量为，
由题可设平面的一个法向量为，
所以，
所以，
所以，
所以平面与平面的夹角的正切值为．
Ⅲ由得平面的一个法向量为，
所以，
所以点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为．
【解析】建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据即可解决；
Ⅱ设平面的一个法向量为，根据空间向量方法解决面面角即可；
Ⅲ由题得，由点到平面的距离为解决即可．
本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
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