2023-2024学年湖南省邵阳市新邵重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省邵阳市新邵重点中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知直线的方程是，则( )
A. 直线经过点，斜率为 B. 直线经过点，斜率为
C. 直线经过点，斜率为 D. 直线经过点，斜率为
3.以为圆心，且经过点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知点在平面内，并且对空间任一点，，则( )
A. B. C. D.
5.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是
( )
A. B.
C. D.
6.若直线过两点，，则直线的一般式方程是( )
A. B. C. D.
7.直线：，：，则直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于直线：，下列说法正确的有( )
A. 过点 B. 斜率为
C. 倾斜角为 D. 在轴上的截距为
10.已知向量，则( )
A. B. 与同向的单位向量为
C. D.
11.如图，正方体的棱长为，设，则下列各式的值为的有( )
A.
B.
C.
D.
12.已知直线：与圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点 B. 圆的圆心坐标为
C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若，直线被圆截得的弦长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知点在直线上，那么的值是______ ．
14.圆的方程为，则该圆的半径为______ ．
15.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则______．
16.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，，．
求，；
求在方向上的投影向量；
若，求，的值．
18.本小题分
回答下面两题．
求过，两点的一般式方程；
求过点且与直线：平行的直线．
19.本小题分
回答下面两题．
求直线：，：的交点坐标；
求点到直线：的距离；
20.本小题分
已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上．
求圆的方程；
已知直线：与圆相交于、两点，求所得弦长的值．
21.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
证明：直线平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
22.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，
点为的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成锐二面角的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：，，且，
，
解得实数．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：根据已知可得出直线的点斜式方程为，
所以，直线经过点，斜率为．
故选：．
将直线的方程化为点斜式方程的形式，即可得出答案．
本题主要考查直线的点斜式方程，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知，圆心是，圆的半径，
所以圆的方程为．
故选：．
利用圆的定义及标准方程计算即可．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为点在平面内，
所以点，，，四点共面，
因为，
所以，
解得：．
故选：．
根据共面向量的推论可得，解方程即可．
本题考查共面向量，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
由题意可得，化简得到结果．
【解答】
解：由题意可得
．
故答案选：．
6.【答案】
【解析】解：因为直线过两点，，
所以直线的方程为，即，
故选：．
由题意，根据已知条件利用直线方程的截距式求解即可．
本题主要考查用两点式求直线的方程，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，由平行线距离公式，
直线与之间的距离为．
故选：．
根据题意，利用平行线之间的距离公式计算即可．
本题考查平行线间的距离计算，注意直线的一般式方程，属于基础题．
8.【答案】
【解析】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，．，
．
故选：．
建立适当空间直角坐标系，利用异面直线求夹角公式，即可得出答案．
本题考查异面直线夹角余弦值的公式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于直线：，取时，，故A错误；
取时，，即直线在轴上的截距为，故D错误；
化直线方程为斜截式：，可得直线的斜率为，故B正确；
设其倾斜角为，则，，故C正确．
故选：．
验证点不适合方程判断；求出直线在轴上的截距判断；化直线方程为斜截式，求得斜率判断；进一步求出直线的倾斜角判断．
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题设，故A正确；
与同向的单位向量为，故B正确；
由数量积的坐标运算得，故C错误；
由，
则，，故D正确．
故选：．
由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角判断各项正误．
本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在正方体中，，，．
对于选项A，，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误；
故选：．
直接利用空间向量的垂直、数量积及其运算律运算即可得解．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：：变形为，故恒过定点，A正确；
：变形为，圆心坐标为，B正确；
令圆心到直线：的距离，整理得：，由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；
若，直线方程为：，圆心在直线：上，
故直线被圆截得的弦长为直径，D错误．
故选：．
选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；
选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；
选项，令圆心到直线的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；
选项，当时，求出圆心在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径，D错误．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由点在直线上，可得，
解得．
故答案为：．
将点坐标直接代入即可．
本题考查直线的一般式方程的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由可得，
所以圆心坐标为，半径．
故答案为：．
将圆的方程化为标准式，即可求出圆的半径．
本题主要考查了圆的方程的应用是，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：直线的方向向量，平面的法向量，
若，则，
即，
解得：，
故答案为：．
由直线的方向向量和平面的法向量，若，则两向量垂直，即两向量的数量积为，进而得到答案．
本题考查的知识点是直线的方向向量，平面的法向量，用向量法研究线面关系，向量的数量积，难度中档．
16.【答案】
【解析】解：构造三棱锥，并且有，
因为，
所以．
设点到平面的距离为，
又因为，
所以，即点到平面的距离为．
故答案为：
利用等体积法，即，求点到平面的距离．
本小题主要考查空间线面关系、点、线、面间的距离计算，利用等体积法求几何体的体积等知识．
17.【答案】解：，，
，．
在方向上的投影向量为．
若，则，
，
，．
【解析】利用向量的夹角公式求解即可；利用向量投影的定义求解即可；利用向量共线定理求解即可．
本题考查了空间向量的坐标运算，主要考查了向量投影的定义，向量共线定理以及向量夹角公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由题意可知，，
则直线的方程为，
化简为一般式直线方程为；
设与直线：平行的直线方程为，
代入点，得，得，
所以直线方程为．
【解析】根据两点求直线的斜率，再根据点斜式直线方程化简为一般方程；
设与直线平行的直线方程，再代入点的坐标，即可求解．
本题考查直线斜率、点斜式方程、直线与直线平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：联立，得，，
所以直线和的交点坐标为；
点到直线的距离，
所以点到直线的距离为．
【解析】联立两直线方程，即可求解；
代入点到直线的距离公式，即可求解．
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：由题意可得，圆心为，半径为．
则圆的方程为．
圆心到的距离为，，
．
【解析】求出圆的圆心与半径，即可得到圆的方程．
利用点到直线的距离，结合半径以及半弦长满足勾股定理，推出结果即可．
本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
21.【答案】解：证明：如图，连接交于点，连接，
由于为的中点，为的中点，则，
又因为平面，平面，所以平面．
以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，
所以，，
设与所成角为，
则，，
所以与所成角的余弦值为．
【解析】根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证；
建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角．
本题考查了空间中线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题．
22.【答案】证明：设，则为的中点，连接，
又为的中点，则，
平面，平面，可得，
四边形为正方形，，而，、平面，
平面；
解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
由，取，则；
由，取，则．
．
平面与平面所成锐二面角的大小为．
【解析】证明，，可得平面；
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的法向量，由法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的大小．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
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