2023-2024学年陕西省咸阳市礼泉县高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省咸阳市礼泉县高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.圆心为且过原点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5.若平面，的法向量分别为，则( )
A. B.
C. ，相交但不垂直 D. 以上均不正确
6.直线被圆截得的弦长等于( )
A. B. C. D.
7.在双曲线中，离心率，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
8.如图，在底面为正三角形的三棱柱中，平面，，则异面直线与所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
10.已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
11.已知圆：，圆：，则( )
A.
B. 圆与圆的公共弦所在直线方程为
C. 圆与圆相离
D. 圆与圆的公切线有条
12.如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则以下说法正确的有( )
A. 平面
B. 点到平面的距离为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 正方体的内切球半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线：和：的交点的坐标为______．
14.经过，两点的直线的方程为______ ．
15.已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点，到直线的距离为______．
16.已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，是椭圆上的一动点，则的最小值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知椭圆：的一个焦点为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ求椭圆的离心率及其长轴长．
18.本小题分
已知直线：．
若直线在轴上的截距为，求实数的值；
若直线与直线：平行，求两平行线之间的距离．
19.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点．
求的值；
证明：，，，四点共面．
20.本小题分
如图，底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知圆过三个点，，，过点引圆的切线，求：
圆的一般方程；
圆过点的切线方程．
22.本小题分
已知双曲线：的右顶点为，且双曲线的一条渐近线恰好与直线垂直．
Ⅰ求双曲线的方程；
Ⅱ若直线：与双曲线的右支交于，两点，点为双曲线的右焦点，点在双曲线上，且轴求证：直线过点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率为：
倾斜角是，则，
可得．
故选：．
求出直线的斜率，然后求解倾斜角．
本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．
2.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点到准线的距离为：．
故选：．
直接利用抛物线方程求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的模的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出，由此能求出．
【解答】
解：，，
，
则．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查求圆的标准方程，已知圆心，先求出圆的半径，可得圆的方程．属于基础题．
【解答】
解：圆心为且过原点的圆的半径为，
故圆心为且过原点的圆的方程为，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：假设存在实数满足，则无解，说明与不共线，因此与不平行．
又，
平面，相交但不垂直．
故选：．
利用平面，的法向量，再判断是否存在实数满足，即可判断出位置关系．
熟练掌握利用两个平面的法向量的数量积与的关系、法向量是否共线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质，属于基础题．
根据题意，求出圆的圆心与半径，计算圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆即，
其圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则直线被圆截得的弦长，
故本题选A．
7.【答案】
【解析】解：椭圆的方程可化为：，
故，，，且焦点在轴上，故焦点为，
即双曲线的焦点为，
又，解得，故，
故双曲线的标准方程为：．
故选：．
将椭圆的方程化成标准方程，求出焦点坐标，然后结合双曲线，，的关系求出系数，即可．
本题考查椭圆与双曲线的标准方程和求法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：建立空间直角坐标系以所在的直线为轴，所在的直线为轴，过垂直于的直线为轴，如图所示：
因为，设，
则，可得，，，，
可得，，
所以，可得，
即，即与所成的角为．
故选：．
建立空间直角坐标系，由向量的方法，求出两条异面直线垂直，进而可得异面直线的夹角．
本题考查用空间向量的方法求出异面直线所成的角，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：直线与轴的交点为，
则，抛物线的标准方程为，
直线与轴的交点为，
则，抛物线的标准方程为．
故选：．
分别求出直线与轴，轴的交点，再结合抛物线的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，考查分类讨论的思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，共面，，共面，故A，D错误；
不存在，，使得，所以，不共面，故B正确；
不存在，，使得，所以，构不共面，故C正确．
故选：．
根据空间基底、空间向量共面等知识即可求得．
本题考查空间基底的概念、空间向量共面等知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由已知，，故，故A正确；
对于，两圆半径，，，故两圆相交，故C错误；
对于，将两圆方程与相减得公共弦所在直线方程，故B正确；
对于，两圆相交则两圆的公切线有条，故D正确．
故选：．
对：求得两圆心坐标，计算两圆心之间距离；
对：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程；
对：判断，与大小关系判断两圆位置关系；
对：根据两圆的位置关系判断公切线的条数．
本题考查圆与圆的位置关系，两圆的公共弦直线的求解，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：建系如图，则根据题意可得：
，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，取，
，，平面，选项正确；
点到平面的距离为：
，选项正确；
又易知平面的法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为：
，，选项正确；
正方体的内切球的直径为正方体的棱长，
正方体的内切球半径为，选项错误．
故选：．
建系，利用向量法，向量夹角公式，向量数量积的运算，分别求解即可．
本题考查向量法证明线面垂直问题，向量法求解点面距问题，向量法求解面面角问题，正方体的内切球问题，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，
解得，．
所以直线和直线的交点坐标是．
故答案为：．
直接联立直线和直线的方程，解方程组求解交点的坐标．
本题考查了两条直线交点的坐标，考查了二元一次方程组的解法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，可得斜率为，
所以直线的方程为：．
故答案为：．
由，的坐标，可得直线的斜率，代入直线的方程，可得直线的方程．
本题考查过两点的方程的求法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，点，点，则，，
且为直线一个方向向量，，
设与的夹角为，
则，
则点到直线的距离；
故答案为：．
根据题意，求出向量的坐标以及模，设与的夹角为，求出的值，又由点到直线的距离，计算可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及空间点到直线的距离的计算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：椭圆方程为：，
，，，，，又，
，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，
的最小值是．
故答案为：．
根据椭圆的几何性质，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
17.【答案】解：Ⅰ因为椭圆的焦点坐标为，
所以椭圆的焦点在轴上，
此时，
又，
则椭圆的方程为；
Ⅱ由Ⅰ知，，
故椭圆的离心率为，长轴长为．
【解析】Ⅰ由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系再进行求解即可；
Ⅱ结合Ⅰ中所得信息，进而可得椭圆的离心率和长轴长．
本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：若直线：，令，求得在轴上的截距为，
实数．
若直线：与直线：平行，
则，求得，故：，即，
求两平行直线与之间的距离为．
【解析】由题意利用直线在坐标轴上截距的定义，求得的值．
利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
本题主要考查直线在坐标轴上的截距的定义，两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
19.【答案】解：以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．，．
．
证明：．
令，根据向量的坐标的对应关系，整理得，
解得，所以．
故C，，，四点共面．
【解析】首先建立空间直角坐标系，进一步求出结果；
利用向量的坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：平面，，平面，
，，
又底面是正方形，则，
可以建立如图所示以为原点，、、所在直线对应、、轴的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
易知是平面的一个法向量，
，平面，
平面．
Ⅱ由知，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，
故平面的一个法向量为，
设直线与平面夹角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ利用空间向量法可求，从而可解；
Ⅱ根据空间向量法可解．
本题考查空间向量法在线面平行以及线面角中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：设圆的一般方程为，
代入三个点，，得，解得
所以圆的一般方程为．
圆的一般方程化为标准形式为．
当切线斜率不存在时，易知切线方程符合题意．
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则依题意可得，解得，
此时切线方程为，即．
综上所述，圆过点的切线方程为和．

【解析】设圆的一般方程为，代入三点的坐标，求解即可；
分斜率不存在和斜率存在两种情况，再结合点线距离公式即可求解．
本题主要考查圆的切线方程，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：由右顶点为，得，
由双曲线：的一条渐近线恰好与直线垂直，
得，即，，
双曲线的方程为．
证明：Ⅱ由可知，右焦点的坐标为，
由题意可知直线的斜率存在且不为，，
设，，则，
由可知，双曲线的渐近线方程为，
又直线与双曲线的右支交于，两点，
则，即，且直线过定点，
联立与消去得，
则，得，
，，
则，
又，，，
，
，又，有公共点，，，三点共线，
直线过点．
【解析】Ⅰ由已知结合双曲线的性质及直线垂直的斜率关系即可求解；
Ⅱ联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系及向量平行的坐标表示可证，再由向量平行与点共线的转化即可．
本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，直线与曲线位置关系的应用，还考查了向量共线与点共线转化关系的应用，属于中档题．
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