2022-2023学年山东省泰安市东平县佛山中学九年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含解析）

2022-2023学年山东省泰安市东平县佛山中学九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如下图所示，则其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.若反比例函数的图象在第一、三象限内，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 随的增大而增大
3.在中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
4.将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线必定经过( )
A. B. C. D.
5.下列命题是真命题的个数是( )
直径所对的角是；三点确定一个圆；圆的切线垂直于过切线的半径；相等的弦所对的圆周角相等；三角形的内心是三角平分线交点；三角形外心到三角形三个顶点距离相等；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法错误的是( )
A. B. 图象的对称轴为直线
C. 点的坐标为 D. 当时，随的增大而增大
7.如图，点在轴上，与轴交于点、，与轴交于点、，若，，则线段的长度为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，点、、、都在边长为的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
9.一人一盔安全守规，一人一带平安常在某商店销售一批头盔，售价为每顶元，每月可售出顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶．已知头盔的进价为每顶元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．( )
A. B. C. D.
10.在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
11.某数学课外活动小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为的同学的影长为，由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为，建筑物上的影长为，则树的高度为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
；；；，
其中，正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.点和点是同一个反比例函数图象上的点，则的值为______．
14.如图所示，在扇形中，为弦，，，，则的长为______．
15.已知二次函数的图象顶点坐标是，还经过点，它的图象与轴交于、两点，则线段的长为______ ．
16.如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若，则图中阴影部分的面积是______．
17.如图，经过抛物线与坐标轴交点的圆与抛物线另交于点，与轴另交于点，则______．
18.如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为，顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在双曲线的图象上，边交轴于点，若，则的值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共22分。
19.为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为米，中午时不能挡光．如图，某旧楼的一楼窗台高米，要在此楼正南方米处再
建一幢新楼．已知该地区冬天中午时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米？
20.如图，抛物线经过原点和点，三点．
写出抛物线的对称轴和顶点坐标；
点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由；
点与点关于抛物线的对称轴对称，求直线的函数解析式．
四、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
计算：
；
．
22.本小题分
如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树的高度，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，朝大树方向下坡走米到达坡底处，在处测得大树顶端的仰角是，若坡角，求大树的高度结果保留整数，参考数据：，，，
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，过点作轴于点，点是线段的中点，，，点的坐标为．
求反比例函数和一次函数的函数表达式；
求的面积．
观察图象，直接写出关于的不等式的解集．
24.本小题分
如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．
求证：是的中点；
若，求的长．
25.本小题分
如图，内接于，，，过点作，与的平分线交于点，与交于点，与交于点．
求的度数；
求证：；
求证：是的切线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由实物结合它的俯视图可得该物体是由两个长方体木块一个横放一个竖放组合而成，
由此得到它的主视图应为选项D．
故选：．
由实物结合它的俯视图，还原它的具体形状和位置，再判断主视图．
本题考查了物体的三视图．在解题时要注意，看不见的线画成虚线．
2.【答案】
【解析】解：、反比例函数的图象在第一、三象限内，则，故，故本选项不符合题意；
B、反比例函数的图象在第一、三象限内，则，故，故本选项符合题意；
C、反比例函数的图象在第一、三象限内，则，此时在每一象限内随的增大而减小，故本选项不符合题意；
D、反比例函数的图象在第一、三象限内，则，此时在每一象限内随的增大而减小，故本选项不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
3.【答案】
【解析】解：在中，
，
．
，
．
．
．
故选：．
先利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出，再利用勾股定理求出．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为，
把代入，得，
选项A不符合题意．
把代入，得，
抛物线经过点，选项B符合题意．
把代入，得，
选项C不符合题意．
把代入得，
选项D不符合题意．
故选：．
先求出平移后的函数解析式，然后将选项各点横坐标代入求解．
本题考查二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数图象的平移规律，掌握二次函数与方程的关系．
5.【答案】
【解析】解：直径所对的圆周角的度数是，直径所对其他的角的度数不一定是直角；故错误．
过不在同一直线上的三点确定一个圆，过同一直线上的三点不能确定圆；故错误．
根据切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径；故错误．
相等的弦所对的圆周角也可能互补，因为一条弦对着两个圆周角；故错误．
三角形的内心到三角形的三边的距离相等，是三角形角平分线的交点；故正确．
三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；故正确．
故选：．
根据与圆有关的知识及性质定理，作出准确的判断，直径所对的圆周角是；缺少条件，不在同一直线上的三个点才能确定一个圆；圆的切线垂直于过切点的半径，而不是过切线的半径；相等的弦所对的圆周角也可能互补，因为一条弦对着两个圆周角；是正确的．
本题全面考查了与圆有关的定理，细致的考查了各个易错点，包括定理的条件和定理的内容，应重点区分和掌握．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象，二次函数的性质，属于中档题．
根据二次函数的性质解决问题即可．
【解答】
解：二次函数图象开口向下，则，
由抛物线的解析式可知对称轴为直线，
，，关于对称，
，故A，，C正确，
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；故D错误，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，
；
故选：．
连接，由题意得出，，则，得出，，由垂径定理得出，由勾股定理求出，即可得出结果．
本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意，扇形的半径，，
扇形的面积．
故选：．
利用扇形的面积公式，求出扇形的半径，圆心角即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】
【解析】解：每顶头盔降价元，利润为元，
由题意可得，，
当时，取得最大值，此时，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元，
故选：．
根据题意，可以先设出每顶头盔降价元，利润为元，然后根据题意可以得到与的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
10.【答案】
【解析】解：当时，反比例函数的图象经过二、四象限，二次函数图象的对称轴在轴右侧，并与轴交于负半轴，则选项不符合题意，选项符合题意；
当时，反比例函数的图象经过一、三象限，二次函数图象的对称轴在轴左侧，并与轴交于正半轴，则、选项都不符合题意；
故选：．
根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，结合图形进行判断即可．
本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论当时和当时，注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
11.【答案】
【解析】解：如图，米，米，
同一时刻测得一身高为米的同学的影长为米，
：：，即：：，
，
，
：：，即：：，
米．
故选：．
如图，利用同一时刻测得一身高为米的同学的影长为米得到：：，即：：，求出，然后根据得到比例线段：：，把数据代入计算即可得到树高．
本题考查了比例线段：一组平行线被其它直线所截，截得的线段对应成比例．
12.【答案】
【解析】解：由图知：抛物线与轴有两个不同的交点，则，故正确；
抛物线开口向上，得：；
抛物线的对称轴为，，故；
抛物线交轴于负半轴，得：；
所以；
故正确；
根据可将抛物线的解析式化为：；
由函数的图象知：当时，；即，故正确；
根据抛物线的对称轴方程可知：关于对称轴的对称点是；
因为当时，，所以当时，也有，即；故正确；
所以这四个结论都正确．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数与一元二次方程，会利用对称轴求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：点和点是同一个反比例函数图象上的点，
，
．
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
14.【答案】
【解析】解：连接．
，，
是等边三角形，
，
，
的长，
故答案为：．
连接，证明是等边三角形，求出，再利用弧长公式求解．
本题考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
15.【答案】
【解析】解：抛物线顶点坐标为，
抛物线解析式为，
将代入得，
解得，
，
令，
解得，，
．
故答案为：．
设抛物线解析式为顶点式，将代入解析式求解．
本题考查二次函数与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数解析式的三种表示形式，掌握二次函数与方程的关系．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
先利用圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，接着判断和都是等腰直角三角形，于是得到，进而得出，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【解答】
解：为直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
和都是等腰直角三角形，且直角边都相等，
，，
．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：连接，作于，
在抛物线中，令，则，解得或，
，，
令，则，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，，
，
，
．
故答案为．
连接，作于，根据抛物线的解析式求得与坐标轴的交点坐标，进而求得的坐标，即可得到，从而求得，根据圆周角定理即可求得的度数．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：正方形的面积为，
，
，
，，
∽，
，即，，
，即，
，，
，，
过点作轴，垂足为，
轴，
，
为三角形的中位线，
，，
，将点坐标代入反比例函数关系式得，，
故答案为：．
根据正方形的面积可求出正方形的边长，再根据，可得：：：，进而求出、，再根据中点可求出、，确定点的坐标，确定的值．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质等知识，求出点的坐标是解决问题的关键．
19.【答案】解：过点作于．
米，
米，
阳光入射角为，
，
在中．
，
米，
米，
米．
答：新建楼房最高为米．
【解析】在不违反规定的情况下，需使阳光能照到旧楼的一楼；据此构造，其中有米，，解三角形可得的高度，再由可计算出新建楼房的最高高度．
本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．需注意通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求解或解直角三角形．
20.【答案】解：抛物线经过原点和点，
，
，，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为，顶点坐标
该抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，而，
故，
点在该抛物线上，点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
设直线的函数解析式为，则
，
解得
直线的函数解析式为．
【解析】根据图示可以直接写出抛物线的对称轴，求出抛物线的解析式即可求得顶点坐标；
根据抛物线的对称轴与轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是直线，然后根据函数图象的增减性进行解题；
根据已知条件可以求得点的坐标是，所以根据点、的坐标来求直线的函数关系式．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】将特殊锐角的三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确计算的前提．
22.【答案】解：如图，过点作，，垂足分别为，．
则四边形为矩形．
在直角三角形中，，，
设，则
在直角三角形中，，
解得，
答：大树的高度约为米．
【解析】根据矩形性质得出，，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．
本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：轴于点，，，
，
，
，
点是线段的中点，
，
，
反比例函数解析式为：，
将的坐标代入得：，
，
将，代入得：
，
解得．
一次函数解析式为：；
由知：，、，
的面积为：，的面积为：，
；
的取值范围是或．
【解析】利用锐角三角函数关系得出的长，由点是线段的中点得出点横坐标，再根据勾股定理得出点坐标，将点坐标代入，求出反比例函数解析式；进而将、两点坐标代入，即可得出一次函数解析式；
根据三角形面积公式列式即可得出的面积；
观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求函数的解析式，锐角三角函数定义，三角形的面积，正确得出点坐标是解题关键．利用了数形结合思想．
24.【答案】证明：连接，如图
直径垂直于弦于点，
，
，
过圆心的线，
，即是的中垂线，
，
．
即：是等边三角形，
，
在中，，
，
点为的中点；
解：在中，，
，
又，
，
，
．
【解析】要证明：是的中点，只要求证，即证明即可．
在直角中，根据勾股定理就可以解得的长，进而求出的长．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
证明：，，
，
，
∽，
，
；
证明：连接、，
，
，
，
，
由知，
，
即，
为半径，
是的切线．
【解析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
求出、、的度数，求出度数，根据三角形内角和定理求出和度数，即可求出答案；
求出∽，根据相似三角形的性质得出即可；
连接，求出即可．
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