山东省莱西市2023-2024学年高一上学期1月月考统一检测数学试题（含解析）

莱西市2023级高一月考统一检测
数学试题
2024.01
本试卷第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
2.记，那么（ ）
A. B. C. D.
3.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.在直角坐标系中，已知圆的圆心在原点，半径等于1，点从初始位置开始，在圆上按逆时针方向，以角速度均速旋转后到达点，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，碳14的半衰期为5730年，，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（ ）
A.3500年 B.2900年 C.2600年 D.2000年
6.已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若方程有4个不相同的解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，记，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知为第一象限角，下述正确的是（ ）
A. B.为第一或第三象限角
C. D.
11.已知函数，下述正确的是（ ）
A.函数为偶函数
B.函数的最小正周期为
C.函数在区间上的最大值为1
D.函数的单调递增区间为
12.已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：①是奇函数；②；③当，时，；则下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期
B.在上单调递增
C.的图象关于直线对称
D.当时，
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.若，则（1）__________；（2）__________.
14.已知为第二象限角，，则__________.
15.和角度制 弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“4-69”1周角等于6000密位，记作“”.如果一个扇形的半径为2，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为__________.
16.已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则实数__________.
四 解答题：（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明 证明过程和演算步骤.）
17.（本小题10分）
已知全集，集合，集合，集合.
（1）求集合；
（2）求集合.
18.（本小题12分）
已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值.
19.（本小题12分）
已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
20.（本小题12分）
设，函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值；
（2）在给定坐标系中作出函数在上的图像；
（3）若，求的取值范围.
21.（本小题12分）
已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
22.（本小题12分）
已知函数且，函数.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围；
（3）设的反函数为，若对任意的，均存在，满足，求实数的取值范围.
莱西市2023级高一月考统一检测数学试题
参考答案
2024.01
1.A 2.B 3.D 4.D
5.B 【详解】根据题意设原来的量为1，经过年后则变成，可得，两边取对数，可得，即，
又由，所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前2900年.故选：B.
6.D 【详解】函数中，定义域为，
设，则，故，
故.由知，，故
，而，故.故选：D.
7.A 【详解】在一个坐标系内分别作出和的图像如上图示：
要使方程有4个不相同的解，只需和
的图像有4个交点，
所以.故选：A.
8.A 解：任取
，因为，所以，则，所以，即，所以函数在区间上为增函数；
对于，由，则，即，
对于，由，则，即，
对于，由，得，对于，由，
则，即，
所以，因为函数在区间上为增函数，
所以.
9.AC
10.BCD 【详解】解：因为为第一象限角，所以，故A错误；
，当时，，为第一象限角，
当时，，为第三象限角，所以为第一或第三象限角，故B正确；
，所以，故C正确；，故D正确.
故选：BCD.
11.ACD 【详解】解：因为，所以
对于A，，又，所以函数为偶函数，故A正确；
对于，函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故不正确；
对于C，当时，，所以，所以，所以函数在区间上的最大值为1，故C正确；
对于，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故D正确，故选：ACD.
12.ABD 【详解】定义在上的函数是奇函数，则.
选项A中，，将代换，则，即，故的最小正周期，正确；
选项B中，结合知，当时，，易见在上单调递增，又由函数是奇函数，图象关于原点中心对称可知，在上也是单调递增，即在上单调递增，B正确；
选项C中，，则将代入得，即是函数的对称轴，又在上单调递增，，故函数的对称轴为，故不是对称轴，故C错误；
选项中，是奇函数，对称轴为，可知，对称中心为，即当时，，故D正确.故选：ABD.
13.； 【详解】（1）由，可得；
（2）由可得：，故，故答案是：
14. 【详解】依题意可得，，即，解得，
又为第二象限角，，则.故答案为：.
15.
【详解】设圆心角为，则扇形面积公式，其中，代入公式得：，其中1密位，故，所以其圆心角可以用密位制表示为.
故答案为：.
16.0 【详解】根据解集易知：为偶函数，可得：
则有：
易知的两根为，则根据韦达定理可得：解得：故答案为：0
17.【详解】（1），
，即，
，
；
（2），
，又，
或，
18【详解】（1）由得；，
所以，即，解得；
（2）由得：①，
所以，则，
所以，
则，
而，所以②，
由①②联立可得，故，
所以
19.【详解】（1）由题意知：且解得：所以的定义域为
（2）因为，
且所以是偶函数
（3）因为
所以
因为（当且仅当时等号成立）
所以
因为恒成立，所以实数的取值范围为
20.【详解】（1）函数的最小正周期.
，
且.
（2）由（1）知，列表如下：
0
0
1 0 -1 0
在上的图像如图所示：
（3），即，
，则，即.
的取值范围是
21.【详解】（1）解：因为函数
，
因为，所以，令，则.
则.
又因为，所以.
当，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
故在上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，
故在上的最小值为.
综上所述，.
（2）解：因为关于的方程在上有解，
即关于的方程在上有解，
所以在上有解.
因为，所以，令，则，
因为函数在上单调递增，则，
故的取值范围是.
22.【详解】（1）由，可得：解得：
则有：故的解析式为：
（2）由，可得：
不妨设则有：
又则有：
故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为12故
故实数的取值范围为：
（3）的反函数为：
若对任意的，均存在，满足
则只需：恒成立
不妨设，则设
，则
在上可分如下情况讨论：
①当时，，此时，不满足恒成立
②当时，，此时只需：在上恒成立
则只需：在上恒成立
则只需：时，不等式成立
解得：，与矛盾；
③当时，，此时，只需保证：
则只需：在上恒成立
当时，只需保证：当时，成立
则有：解得：
又，故有：
当时，只需保证：当时，成立此时解得：
又故有：故当时，
综上所述，解得：实数的取值范围为：