2022-2023学年四川省宜宾市江安县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省宜宾市江安县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的平方根是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知是等腰三角形，其中两边长分别是和，则它的周长是( )
A. B. C. 或 D. 以上都不对
4.如图，已知，，那么要得到≌，还应给出的条件是( )
A. B. C. D.
5.如图，两个边长为的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是( )
A.
B.
C.
D.
6.若是完全平方式，则的值是( )
A. B. C. D.
7.下面四个命题：
全等三角形的对应边相等；
角平分线上的点到角两边的距离相等；
在中，，，的对边分别记为，，，如果，那么是直角三角形；
在中，，，的对边分别记为，，，如果：：：：，那么是直角三角形．
其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知，，，，，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9.若，，则( )
A. B. C. D.
10.如图，直线上有三个正方形，，，若正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的面积为( )
A. B. C. D.
11.已知，，则( )
A. B. C. D.
12.如图，在直线的同一侧作两个等边和，连接与，与交于点，与交于点，与交于点，连接、过点作、的垂线段、，垂足分别为、．
；
；
≌；
；
；
．
以上个结论中，正确的个数有个．( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.因式分解：______．
14.实数、满足，则 ______ ．
15.在中，，，作的垂直平分线交、于点、，连结，则的周长为______ ．
16.对于“新运算”#替#换#丁#换#替与#有：，，则 ______ ．
17.如图，正方形卡片类、正方形卡片类和长方形卡片类各有若干张，如果要这三类卡片拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片______ 张
18.如图，在矩形中，，，点是边上的一点，连结，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______ ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
计算：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
如图，，求证：≌，．
22.本小题分
某校开展课后服务，同学们积极参加各种社团活动小明在全校随机抽取了一部分同学就“我最喜爱的社团项目”进行了一次抽样调查，下面是他通过收集的数据绘制的两幅不完整的统计图象棋社团，国画社团，气排球社团，创意动漫社团，其它社团请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
小明共抽取了______ 名学生；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，“象棋社团”部分对应的圆心角的度数是______ ；
若全校共有名学生，请你估算该校“其它社团”部分的学生人数．
23.本小题分
在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇、，城镇到轨道的垂直距离为千米，城镇到轨道的垂直距离为千米，长度为千米现要在之间修建一个货运中转站，使得中转站到城镇与中转站到城镇的距离相等，则中转站应该修建在离点多远处？
24.本小题分
探索规律：，，
根据规律，回答下列问题．
______ ；
______ ；
求的值；请写出解题过程
若，请直接写出的值，并直接写出的值的个位数字．
25.本小题分
如图，在中，，，直线经过点，且于，于．
当直线绕点旋转到的位置时，
求证：≌； ；
当直线绕点旋转到的位置时，求证：；
当直线绕点旋转到的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的平方根是．
故选：．
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，故不正确；
B.，正确；
C.，故不正确；
D.，故不正确；
故选B．
根据幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法法则，以及积的乘方法则逐项分析即可．
本题考查了整式的计算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法法则，以及积的乘方法则是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：当三角形的三边分别为、、时，，不符合三角形三边关系，舍去；
当三角形的三边分别为、、时，周长为，故B正确．
故选：．
分为腰和为腰两种情况进行计算，注意满足三角形三边关系．
本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论思想的应用．
4.【答案】
【解析】解：
又，
≌
，
故选：．
判定≌已经具备的条件是，，再加上两角的夹边对应相等，就可以利用来判定三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定；判定三角形的全等首先要找出已经具备哪些已知条件，即相等的边或相等的角，根据三角形的判定方法判定缺少哪些条件．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，．
以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，分别为和．
在数轴原点的右侧，
表示的数为．
故选：．
根据勾股定理求得，再根据数轴上的点表示的数解决此题．
本题主要考查勾股定理、数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理、数轴上的点表示的数是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为是一个完全平方式，
所以，
由完全平方式的特点，得，
所以．
故选：．
分析题目信息，可先将原式变形为，结合完全平方式的特征可得：，据此即可解．
本题考查完全平方，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：全等三角形的对应边相等，此命题为真命题，故符合题意；
角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题为真命题，故符合题意；
在中，，，的对边分别记为，，，如果，即，那么是直角三角形，此命题为真命题，故符合题意；
在中，，，的对边分别记为，，，如果：：：：，那么，则不是直角三角形，故不符合题意；
综上分析可知，真命题的个数是个，故C正确．
故选：．
根据全等三角形的性质，即可判断为真命题；
根据角平分线的性质，即可判断为真命题；
根据勾股定理的逆定理，即可判断为真命题；
根据勾股定理的逆定理，可以判判为假命题．
本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理．
8.【答案】
【解析】解：，，，
在中，由勾股定理可知：，
又，
是直角三角形，
，故B正确．
故选：．
利用勾股定理求出，证明是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积．
本题主要考查了直角三角形面积公式、勾股定理以及逆定理的应用．解题的关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据完全平方公式变形求解即可．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，都是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，
正方形的面积为，故C正确．
故选：．
根据正方形的性质，证明≌，得出，根据勾股定理求出，即可得出正方形的面积．
本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明≌．
11.【答案】
【解析】解：，，
，故D正确．
故选：．
直接利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则求出答案即可．
本题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是正确掌握运算法则，准确计算．
12.【答案】
【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
≌，
，故正确；
≌，
，
，
，故正确；
≌，
，
，
，
，
，
≌，故正确；
≌，
，，
，，
，
，故正确；
，，，
平分，
，故正确；
≌，
，
，
为等边三角形，
，
，
，故正确；
综上分析可知，正确的有个，故A正确．
故选：．
根据证明≌，得出，即可判断正确；
根据≌，得出，根据，得出，即可判断正确；
根据≌，得出，证明，根据证明≌，即可判正确；
根据≌，得出，，即可得出，判断正确；
根据角平分线的判定即可判定正确；
根据角平分线的判定即可判定正确．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明≌，≌．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
解得，，，
则，
故答案为：．
根据非负数的性质列出算式求出、的值，计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
，，
的周长．
故答案为：．
根据垂直平分线的性质可得，进而可求出的周长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意得：
．
根据题目中给出的信息，列出算式进行计算即可．
本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，列出相应的算式，准确计算．
17.【答案】
【解析】解：长为，宽为的大长方形的面积为：，
类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为，
需要类卡片张，类卡片张，类卡片张．
故答案为：．
由图得类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为，由可求出各类卡片的数量．
本题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
18.【答案】或
【解析】解：当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如图，连接，
在中，，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，，
，
设，则，
在中，
，
，
解得，
；
当点落在边上时，如图，
此时为正方形，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
当点落在矩形内部时，连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出；当点落在边上时，根据此时四边形为正方形解答．
本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】根据同底数幂乘除法进行计算即可；
根据算术平方根定义，立方根的定义，绝对值的意义，乘方运算法则，进行计算即可．
本题主要考查了幂的运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘除法，算术平方根定义，立方根的定义，绝对值的意义，乘方运算法则．
20.【答案】解：原式
，
将代入上式得：
原式．
【解析】利用完全平方公式展开并去括号合并同类项求出即可．
此题主要考查了整式的化简求值，熟练利用公式去括号并进行合并同类项是解题关键．
21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
．
【解析】根据证明≌即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：根据题意得：调查的人数为名，
故答案为：；
创意动漫社团学生数：名，
国画社团学生数：名，
象棋社团学生数：名，
补全的图如下：
“象棋社团”部分对应的圆心角的度数是：，
故答案为：；
该校“其它社团”部分的学生人数：名．
根据参加气排球社团的人数占全部社团学生人数的，即可得到调查总人数．
根据可知总人数，分别求出各社团人数即可补全条形统计图．
先求出想象棋社团的学生人数所占百分比，然后乘即可
根据参加其它社团的人数所占百分比，即可估计该校“其它社团”部分的学生人数．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要信息是解题的关键．
23.【答案】解：在上取点，使千米，连接、，如图所示：
千米，
千米，
千米，千米，
，，
，，
，
≌，
，
此时到城镇与中转站到城镇的距离相等，
中转站应该修建在离点千米的地方．
【解析】在上取点，使千米，连接、，求出千米，得出，，证明，根据证明≌，得出，从而得出当中转站应该修建在离点千米的地方．
本题主要考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，解题的关键是找出点的位置，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
24.【答案】
【解析】解：根据题意得：；
故答案为：；
；
故答案为：．
令，
则，
，
，
．
，
，的末位数字是，的末位数字为，的末位数字是，的末位数字是，的末位数字是，
的末位数字是以，，，四个数字一循环，，
的末位数字是，的末位数字是，
即的个位数字为．
根据题目中给出的规律进行计算即可；
根据题干给出的规律进行计算即可；
令，则，根据，得出，即可得出答案；
先求出，根据的末位数字是，的末位数字为，的末位数字是，的末位数字是，的末位数字是，得出的末位数字是以，，，四个数字一循环，求出的末位数字是，即可得出答案．
本题主要考查了有理数的运算，乘方的末位数字规律，尾数特征，解题的关键是从简单情形入手，发现规律，解决问题．
25.【答案】证明：，，
，，
，
在与中，
，
≌；
由知，≌，
，，
，
；
证明：于，于．
，
，．
．
在和中，
，
≌．
，．
．
解：同，易证≌．
，
，即；
当旋转到图的位置时，、、所满足的等量关系是或，等．
【解析】证明≌即可：已知已有两直角相等和，再由同角的余角相等证明即可；
根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证出和全等即可；
同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．
本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．题型较好．
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