2022-2023学年广西南宁重点中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁重点中学八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是( )
A. 赵爽弦图 B. 费马螺线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
2.下列式子中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小某种电子元件的面积约为平方毫米，用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.内角和为的多边形是( )
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三边形
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
7.若分式的值为，则的值为( )
A. 或 B. C. D.
8.我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占、面试占计算加权平均数作为总成绩应试者李老师的笔试成绩为分，面试成绩为分，则李老师的总成绩为( )
A. B. C. D.
9.如图，在数轴上点表示的数为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.若关于的分式方程无解，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
11.在如图所示的网格中，在格点上找一点，使为等腰三角形，则点有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
12.如图，已知直线：与轴的夹角是，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点按此作法继续下去，则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是 ．
14.分解因式： ______ ．
15.若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为______ ．
16.如图，在中，，平分，于点，若，，则的长为______．
17.如图，台阶阶梯每一层高，宽，长一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是______．
18.如图，在中，，，以为边在的右侧作等边，点为的中点，点为上一动点，连结，当的值最小时，的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
画出关于轴成轴对称的图形，并写出的坐标；
作出的高，保留作图痕迹，不写作法，并直接写出的长．
22.本小题分
如图，在四边形中，，，．
求证：≌；
若，，求的度数．
23.本小题分
数学源于生活，寓于生活，用于生活在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进什么是数学和古今数学思想若干套，已知元可购买什么是数学的数量比古今数学思想多套，且古今数学思想的单价是什么是数学单价的倍．
求每套古今数学思想的价格；
学校计划用不超过元购进这两套书共套，此时正赶上书城折销售所有书籍，求古今数学思想最多能买几套？
24.本小题分
一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．
求岛在港的什么方向？
25.本小题分
知识生成用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图，是用长为，宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分小正方形的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式：______ ；
知识迁移如图所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：______ ；
成果运用利用上面所得的结论解答：
已知，，，求的值；
已知，，则 ______ ．
26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为轴和轴上的点，且，满足，过点作于点，延长至点，使得，连接、．
点的坐标为______ ；的度数为______ ．
如图，若点在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由．
如图，若点在第一象限，连接，平分，与交于点试判断与的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形定义进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3.【答案】
【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数是，
则，
解得，
故选：．
边形的内角和公式为，由此列方程求．
本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
5.【答案】
【解析】解：、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意；
B、原式，故B不符合题意；
C、原式，故C不符合题意；
D、原式，故D符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算即可求出答案．
本题考查了二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，掌握相应的运算法则是关键．
6.【答案】
【解析】解：、，，，由不能判定≌，符合题意；
B、，，，由能判定≌，不符合题意；
C、，，，由能判定≌，不符合题意；
D、，，，由能判定≌，不符合题意；
故选：．
全等三角形的判定定理有，，，，根据以上内容判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
7.【答案】
【解析】解：，
，
解得，．
故选C．
根据分式的值为零的条件列出方程组，求出的值即可．
解答此题的关键是熟知分式的值为零应同时具备两个条件：
分子为；
分母不为．
这两个条件缺一不可．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
李老师的总成绩是：分，
故选：．
根据题意和加权平均数的计算方法可以解答本题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
9.【答案】
【解析】解：如图，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出的长度，根据弧的半径相等得到的长度，从而求出．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出的长度是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
方程两边同时乘以得，
，
去括号得，，
解得，
原分式方程无解，
，
，
故选：．
解方程得，由方程无解，则，即可求的值．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的条件是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图：
在格点上找一点，使为等腰三角形，则点有个，
故选：．
分情况讨论，即可找到点．
本题考查等腰三角形的判定，关键是分情况讨论．
12.【答案】
【解析】解：与轴的夹角是，
，
，轴，
当时，代入上式得：，
即，，
，，
，
，
，，
同理可得，，，
，
故选：．
根据所给直线解析式可得与轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点，的坐标，通过相应规律得到坐标即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质以及规律型：点的坐标，先根据所给一次函数判断出一次函数与轴夹角是解决本题的突破点；根据含的直角三角形的特点依次得到、、的点的坐标是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于，列不等式求解．
【解答】
解：依题意有，
解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：中间一项为加上或减去的系数和积的倍，
故，
解得，
故答案为：．
这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去的系数和积的倍，故，求解即可．
本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．关键是注意积的倍的符号，避免漏解．
16.【答案】
【解析】解：，
，
平分，且，，
，
，
，
的长为，
故答案为：．
由得，因为角平分线上的点到角两边的距离相等，而，平分，所以，可以求出的长．
此题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，解题的关键是将角转化为垂直，得到与角平分线有关的垂线段．
17.【答案】
【解析】解：如图所示，
它的每一级的高为，宽，长，
，则．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是．
故答案为：．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接交于，连接，
是等边三角形，点是的中点，
是的垂直平分线，
，
当点与重合时，的值最小，
，，
，
，
，
由等边三角形的轴对称性可知：，
，
故答案为：．
连接交于，连接，由等边三角形的轴对称性知是的垂直平分线，得，则当点与重合时，的值最小，即可解决问题．
本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确的最小值为长是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】用被开方数乘除，再求算术平方根即可；
先用完全平方公式和平方差公式，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
20.【答案】解：原式
．
当时，原式．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简时解题的关键．
21.【答案】解：如图所示，即为所求，；
如图所示，线段即为所求；
．

【解析】根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
找出格点连接交的延长线于点，则线段即为所作，在三角形中利用等面积法即可求出的长．
本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
22.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：，
，
，，
．
【解析】由“”可证明≌；
由三角形外角的性质可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明≌是解题的关键．
23.【答案】解：设每套什么是数学的价格是元，则每套古今数学思想的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每套古今数学思想的价格是元；
设可以购进套古今数学思想，则购进套什么是数学，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：古今数学思想最多能买套．
【解析】设每套什么是数学的价格是元，则每套古今数学思想的价格是元，利用数量总价单价，结合元可购买什么是数学的数量比古今数学思想多套，可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出每套什么是数学的价格，再将其代入中，即可求出每套古今数学思想的价格；
设可以购进套古今数学思想，则购进套什么是数学，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、数学常识以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：由题意，
中，，得．
．
．
．
小时．
答：从岛返回港所需的时间为小时．
，，
．
．
．
岛在港的北偏西．
【解析】中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度；
由勾股定理的逆定理推知由方向角的定义作答．
本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
25.【答案】
【解析】解：知识生成：图中阴影部分面积可以表示为：，还可以表示为：．
．
知识迁移：图中几何体的体积为：，还可以表示为：．
．
成果应用：．
．
，
．
，．
．
故答案为：．
知识生成：用两种方法表示同一个图形面积即可．
知识迁移：用两种方法表示同一个几何体体积即可．
成果应用：利用前面得到的关系变形计算．
本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积或体积是求解本题的关键．
26.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：，；
．
理由：设与轴的交点为，与轴的交点为，
，
．
，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
；
．
理由：延长交于点，
≌，
，
，，
≌，
，，
平分，
，
，，
≌，
，
．
将已知式子化为，可得，由等腰直角三角形的性质即可得出答案；
设与轴的交点为，与轴的交点为，证明≌，可得，，再求，可得；
延长交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，再证明≌，即可得．
本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定及性质，二次根式有意义的条件，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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