2023-2024学年必修二 第十三章 立体几何初步 章节测试题(含答案)

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2023-2024学年必修二 第十三章 立体几何初步 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知异面直线a,b分别为平面,的垂线,直线m满足,,,,则( )
A.与相交,且交线与m平行 B.与相交,且交线与m垂直
C.与平行,m与平行 D.与平行,m与垂直
2、在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线，E是的中点，F是AB的中点，则( )
A.，AC与EF是共面直线
B.，AC与EF是共面直线
C.，AC与EF是异面直线
D.，AC与EF是异面直线
3、已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆,且该圆锥的体积为,则( )
A. B. C. D.3
4、已知一个圆锥的母线长为2,其侧面积为,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5、今年入夏以来,南方多省市出现高温少雨天气,持续的干旱天气导致多地湖泊及水库水位下降.已知某水库水位为海拔时,相应水面的面积为；水位为海拔时,相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔下降到时,减少的水量约为（）( )
A. B. C. D.
6、四面体ABCD顶点都在半径为2的球面上,正三角形ABC的面积为,则四面体ABCD的体积最大为( )
A. B. C. D.
7、如图,一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内,容器与地面所成的角为,液面呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是12和18,则容器内液体的体积是( )
A. B. C. D.
8、正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体.若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积为36，则生成它的正方体的棱长为( )
A.8 B.6 C.4 D.3
9、已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
10、已知在直三棱柱中,E,F分别为,的中点,,,,,如图所示,若过A,E,F三点的平面作该直三棱柱的截面,则所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11、在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,点M,N分别为棱CD,PC的中点,平面AMN交PB于点F,则___________.
12、《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图,现有一方亭,其中上底面与下底面的面积之比为,,方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形,已知方亭四个侧面的面积之和为,则方亭的体积为______.
13、在空间直角坐标系中,点A,B,C,M的坐标分别是,,,,若A,B,C,M四点共面,则___________.
14、若甲、乙两个圆柱形容器的容积相等，且甲、乙两个圆柱形的容器内部底面半径的比值为2，则甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为___________.
15、已知圆柱的底面积为,侧面积为,则该圆柱的体积为____________.
16、已知圆锥表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面半径是__________.
三、解答题
17、在边长为a的正方体上选择四个顶点,然后将它们两两相连,且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体,记为四面体.
（1）请在给出的正方体中画出该四面体,并证明;
（2）设的中心为O,关于点O的对称的四面体记为,求与的公共部分的体积.(注:到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心)
18、如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，E、F分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19、如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,,O为AC与BD的交点.
（1）证明：平面PAC.
（2）若M为PD的中点,求三棱锥的体积.
20、如图，在直棱柱ABCD-EFGH中，底面ABCD是边长为2的正方形，N是CG上的一点平面FHN.
（1）请确定点N的位置；
（2）若直线BG与平面FHN所成的角为求AE.
参考答案
1、答案：A
解析：若与平行,由,可得,与条件矛盾,不符合题意,故C,D错误;
所以与相交,如图所示,作,且与直线a相交,
设,a,,则由题意,故,同理,
因为,,所以,故A正确.
2、答案：D
解析：连结BE，CE，如图，
易知BC是圆O的直径，所以，又因为E是的中点，故，
所以在等腰中，，则，
因为AB是圆柱的母线，所以面，又BE，面BCE，故，，
所以在中，，
在中，由F是AB的中点得，故，所以，
可以看到，面，面，由异面直线的定义可知，AC与EF是异面直线.
故选：D.
3、答案：C
解析：令圆锥底面圆半径为,则,解得,
从而圆锥的高,
因此圆锥的体积,解得.
故选:C
4、答案：A
解析：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为,
由,则,
则圆锥的体积为.
故选:A
5、答案：C
解析：台体体积公式:,
由题意可得，
代入计算得
故选:C.
6、答案：B
解析：设正三角形ABC的边长为a,,
所以,
由正弦定理(r为的外接圆的半径)
所以,
所以球心到平面ABC的距离,
则四面体体积最大为.
故选:B
7、答案：C
解析:如图为圆柱的轴截面图,过M作容器壁的垂线,垂足为F,
因为MN平行于地面,故,
椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是12和18,
故,
在中,,即圆柱的底面半径为,
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为,高为的圆柱体积的一半,
即为,
故选:C.
8、答案：B
解析：设正方体棱长为，可得正八面体是由两个四棱锥构成，
四棱锥的底面为边长为的正方形，高为a，
则正八面体体积为，解得，.
故选：B.
9、答案：A
解析：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为矩形ABCD的对角线长度的一半，因为，，所以矩形ABCD所在截面圆的半径，由矩形ABCD的面积，设O到平面ABCD的距离为h，所以，解得，所以球O的半径，所以球O的表面积.故选A.
10、答案：B
解析:延长AF,且AF与相交于G,连接EG,并与相交于D,连接FD,则四边形AEDF为所求的截面.
在中,由,,得.
在中,由,,得.
因为F为的中点,所以由平面几何知识可知,.
所以,,即G为AG的中点,所以.
又由,可得,
又,,所以.
在中,由,,得,所以.
所以在中,有,,,
即,所以.又注意到,
,
则四边形AEDF的面积为.
故选:B.
11、答案：或1:12
解析：延长BC,交AM的延长线于点E,连接EN并延长,交BP于点F,连接AF,
因为M为CD中点,由三角形相似可得:,
即C为BE中点,
设
因为N是PC中点,
所以
,
因为F,N,E三点共线,所以存在a使得,即,
整理得,其中,
所以,解得:,
所以.
故答案为:
12、答案：
解析：由题意得,设,则,.
过点E,F在平面ABFE内分别作,,垂足分别为点M,N,
在等腰梯形ABFE中,因为,,,则四边形MNFE为矩形,
所以,,则,
因为,,,
所以,所以,
在中,由勾股定理得,
所以等腰梯形ABFE的面积为,所以.
所以,,方亭的高,
故方亭的体积为.
故答案为:
13、答案：6
解析:由题意,得,,,
又A,B,C,M四点共面,则存在x,,使得,
即,即,解得,
所以.
故答案为:6.
14、答案：
解析：由圆柱形容器的容积，得，所以甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为.
15、答案：
解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,由已知可得,,
,
该圆柱的体积为.
故答案为:.
16、答案：
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
因为圆锥的表面积为，
所以，即，
又圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以，即，
所以.
故答案为：.
17、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）如图,取A,,C,四点并顺次连接四点,
构成四面体,
设正方体的边长为a,
则该四面体的每一条边长为,
所以证得四面体为正四面体;
（2）连接,交于点O,
则O为正方体的中心,
所以O到正方体的各个顶点的距离相等,
故O为四面体的中心,
可得A关于O的对称点为,关于O的对称点为D,
C关于O的对称点为,关于O的对称点为B,
如图所示,得到四面体为,
,
设,,分别为CA,,的中点,
所以.
18、
（1）答案：见解析
解析：连接，
是正方形，E是的中点，
E是的中点，F是的中点，
，平面，平面，
平面.
（2）答案：
解析：建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，设与平面所成角为，
则.
19、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：底面ABCD,
.
底面ABCD是正方形,
.
PA,平面PAC.,
平面PAC.
（2）O为AC与BD的交点,
O为AC与BD的中点,
.
M为PD的中点,点M到平面OCD的距离为.
20、答案：（1）点N为CG的中点
（2）或
解析：（1）
如图，连接EG与HF相交于点O，
平面平面，
平面FHN，平面FHN，平面FHN，
，
为正方形EFGH的对角线的交点，，，
，，，
点N为CG的中点；
（2）设，如图，连接ON，记FN和BG的交点为T，过点G作ON的垂线，垂足为P，连接PT，四边形EFGH为正方形，O为对角线的交点，，
，，，，
，，，
，，OG，平面OGN，，平面OGN，
平面OGN，平面OGN，，
，，FH，平面FHN，，平面FHN，
平面FHN，直线BG与平面FHN所成的角的平面角为，
，
在正方形EFGH中，由，可得.
在中，，有，在长方形BCGF中，由，，有，
可得，
在中，，
又由，有，解得或，故或.
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