2023-2024学年人教A版（2019）必修一 第二章 一元二次方程 函数 和不等式单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年人教A版（2019）必修一 第二章 一元二次方程 函数 和不等式单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知,且,则的最小值是( )
A.2 B.4 C. D.
2、若,则的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
3、已知命题，命题，，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为( )
A. B.
C. D.
4、已知,,,则的最小值为( )
A.7 B. C. D.
5、若不等式对一切实数x都成立,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.或
6、已知,,,则xy的最大值为( )
A. B. C. D.
7、不等式的解集是( )
A. B. C.或 D.
8、若,则的最小值是( )
A. B. C. D.
9、某品牌手机为了打开市场,促进销售,准备对其特定型号的产品降价,有四种降价方案:①先降价a%,再降价b%:
②先降价,再降价a%;
③先降价,再降价;
④一次性降价.其中,则最终降价幅度最小的方案是( )
A.① B.② C.③ D.④
10、已知,且,则的最小值为( )
A. B.10 C.9 D.
二、填空题
11、已知,且,则的最小值为____________.
12、已知正数a,b满足,则的最小值是____________.
13、若,且,的最小值为m,的最大值为n,则mn为___________,
14、已知正实数x,y满足,则的最小值为______.
15、已知,若,求的最小值是_______________.
16、若,则关于x的不等式的解集为______________.
三、解答题
17、已知,,.
(1)求的最小值;
(2)求的最大值.
18、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,.
（1）证明:;
（2）证明:;
（3）设,求S的最大值.
19、2021年为抑制房价过快上涨,各大城市相继开启了集中供地模式,某开发商经过数轮竞价,摘得如图所示的矩形地块AMPN,,,现根据市政规划建设占地如图中矩形ABCD的小区配套幼儿园,要求顶点C在地块的对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上.
（1）要使幼儿园的占地面积不小于,AB的长度应该在什么范围内
（2）如何设计方能使幼儿园的占地面积最大 最大值是多少平方米
20、为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业.小李承包的土地需要投入固定成本36万元，且后续的其他成本总额y（单位：万元）与前年的关系式近似满足.已知小李第一年的其他成本为3万元，前两年的其他成本总额为8万元，每年的总收入均为22万元.
（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？
（2）求小李承包的土地的年平均利润的最大值.
参考答案
1、答案：A
解析：因为,所以,,
又,所以,
所以,
当且仅当即时,等号成立,所以的最小值是2.
故选：A.
2、答案：B
解析：因为,所以,,
因此,
当且仅当,即时,等号成立.
故选：B.
3、答案：A
解析：命题，，则，所以，解得或，
又p是q成立的必要不充分条件，所以，
所以区间D可以为.
4、答案：A
解析：,,,
,
当且仅当,即时取得等号.
故选:A
5、答案：B
解析：若,则恒成立,故符合,
若,则即,
综上,,
故选：B.
6、答案：B
解析:因为,,,
所以,当且仅当即,时取等;
故,即.
故选:B.
7、答案：B
解析：由不等式,则,解得.
故选：B.
8、答案：B
解析：由,可得,
,
当且仅当,即 时取等号,
所以的最小值为.
故选:B.
9、答案：C
解析:设原价为1,
对于①,降价后的价格为:,
对于②,降价后的价格为:,
对于③,降价后的价格为:,
对于④,降价后的价格为:一次性降价.
,所以①④,
因为,所以
,所以①③
因为,所以,,
,所以②③,
则最终降价幅度最小的方案是③.
故选:C.
10、答案：C
解析:由可得,,
所以,
当且仅当,即时取得等号,
所以的最小值为9,
故选:C.
11、答案：
解析：由题意得：,
当且仅当,时取得等号,
故答案为：.
12、答案：9
解析：因为,则,
设,则,
由,
当且仅当即时等号成立,
由即,解得：或（舍）
所以,的最小值是9,
故答案为：9.
13、答案：
解析：由可得,
由可得,,
所以
,
当且仅当,时,等号成立；
即的最小值为；
,
所以,即；
当且仅当,时,等号成立；
即的最大值为；
所以.
故答案为：.
14、答案：8
解析：因为,,所以,即,当且仅当,时,等号成立,
所以.
即的最小值为.
故答案为:
15、答案：
解析：由得,
由于,所以,
当且仅当,即,时,等号成立,
故最小值为,
故答案为：.
16、答案：或
解析：,,则,,或.
故答案为：或.
17、答案：(1)6;
(2).
解析：（1）因为,所以,
当且仅当,时取等号,所以的最小值为6.
（2）因为,所以,
当且仅当,即,时取等号,所以的最大值为.
18、答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）
解析:（1）证明:因为关于x的方程有两个不相等的实数根,
所以,
则,
所以;
（2）证明:由题意得,
因为,
所以,
因为,所以,
所以;
（3）由题意,,
则
,
因为,
所以,
当且仅当,即时,取等号,
所以S的最大值为.
19、答案：（1）;
（2）,时,幼儿园的占地面积最大,最大值是.
解析:（1）设,依题意,,
即,则.
故矩形ABCD的面积.
要使幼儿园的占地面积不小于,
即,化简得,
解得,故AB的长度范围(单位:m)为.
（2）解法一:,
当且仅当,即时等号成立.
此时.
故,时,幼儿园的占地面积最大,最大值是.
解法二:,当时,.
此时.
故,时,幼儿园的占地面积最大,最大值是.
20、答案：（1）第3年
（2）最大为8万元
解析：（1）由题意得，解得，所以.
设小李承包的土地到第x年的利润为万元，
则，
由，得，解得.
故小李承包的土地到第3年开始盈利.
（2）设年平均利润为万元，
则，
当且仅当时，等号成立.
故当小李承包的土地到第6年时，年平均利润最大，最大为8万元.
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