2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若向量,,且,则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
2、如图,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,点N为BC中点,则等于( )
A. B.
C. D.
3、已知,,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4、正三棱锥的侧棱两两垂直,D,E分别为棱PA,BC的中点,则异面直线PC与DE所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5、如图,平行六面体中,E为中点.设,,,用基底表示向量,则( )
A. B. C. D.
6、如图,二面角的大小为,四边形ABFE、CDEF都是边长为的正方形,则B、D两点间的距离是( )
A. B. C. D.
7、已知四面体的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
8、如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
9、如图,矩形ABCD中,,E为边AB的中点,将沿直线DE翻折成.在翻折过程中,直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为( )
A. B. C. D.
10、在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的法向量可以是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11、在正方体中,E,F分别为棱AD,的中点,则异面直线与DF所成角的正弦值为________.
12、如图，在三棱柱中，，，，，，点D，E分别在棱，上，且，，则二面角的正切值为__________.
13、如图，在正方体中，O是的中点，点P在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是__________.
14、已知,,若,则m的值为______.
15、如图,在四棱锥中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD,,,点Q是侧棱PD的中点,点M,N分别在边AB,BC上,当空间四边形PMND的周长最小时,点Q到平面PMN的距离为______.
16、如图，在三棱柱中，D是的中点，，，_________.
三、解答题
17、如图,在四棱锥中,是边长为2的正三角形,,,,,平面平面.
（1）设平面平面,问：线段PB上是否存在一点E,使平面ADE
（2）平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.
18、如图,在四棱锥中,底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,,,,点E在棱PB上.
(1)证明：平面平面PBC;
(2)当时,求二面角的余弦值.
参考答案
1、答案：C
解析：,,,
,,解得,,
在方向上的投影向量为.
故选：C.
2、答案：B
解析：由题意可得,.
故选：B.
3、答案：C
解析：设,即,则,此方程组无解,故,不平行,故A错误;
设,即,则,此方程组无解,故,不平行,故B错误;
,则,故C正确;
,则,不垂直,故D错误.
故选:C.
4、答案：D
解析：设,以A为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向,
建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
则.从而异面直线PC与DE所成角的余弦值为.
故选D.
5、答案：B
解析：.
故选：B.
6、答案：C
解析：因为四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则,,
又因为二面角的大小为,即,则,
因为,由图易知,,
所以,
.
故选：C.
7、答案：A
解析：取的中点E，连接，，为等边三角形，，
，，平面，
又平面，，
由题意得，，，又，
，，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
易知，则，故为等腰直角三角形，
综上，四面体的球心O为的中心，即点O是上靠近E的三等分点.
以E为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，，
又平面的一个法向量，二面角的余弦值为，
二面角的正弦值为，故二面角的正切值为.
8、答案：D
解析：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，
所以，
所以，，，
故直线与平面所成角的正弦值为.故选D.
9、答案：A
解析：分别取DE,DC的中点O,F,则点A的轨迹是以AF为直径的圆,
以OA,OE为x,y轴,过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系,
则,平面ABCD的其中一个法向量为,
由,设,则,
记直线与平面ABCD所成角为,则,
设,,
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为,
故选：A.
10、答案：A
解析：由题意，得，，，则，，设平面的一个法向量是，则即令，则，，所以，故选A.
11、答案：
解析：如图所示,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则,,,,
则,,
,
所以与DF所成角的正弦值为.
故答案为:.
12、答案：
解析：因为，，，且，平面，所以平面，所以向量为平面的一个法向量，分别以，所在直线为x轴，y轴，垂直于平面且过点C的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，，，
设平面的一个法向量为，则
令，则，，所以.
设二面角的大小为，易知为锐角，所以，
因此，
所以.
13、答案：
解析：以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，所以，，设，则，
设平面的一个法向量为，则即令，则，，所以，所以
因为，所以，即，
即，
所以，
所以，又，
所以.
14、答案：6
解析：,
,即,
,解得.
故答案为:6.
15、答案：或
解析：要使得空间四边形PMND周长最小,只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面,
延长DC至,使得,
于是点N在线段的垂直平分线上,所以,
因为PD为定值,故当点P,M,N和共线时,空间四边形PMND的周长最小,
易得,即得,即,
所以,,,
以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,由题意可得,,,
则,,
设是平面PMN的一个法向量,则.即得,
令,得,,,,
所以点Q到平面PMN距离.
故答案为:.
16、答案：
解析：因为，所以
，又，
所以，，，所以.
17、答案：（1）存在E为PB的中点,使平面ADE
（2）
解析：（1）存在E为PB的中点,使平面ADE.
分别取PB、PC的中点E、F,连接AE、EF、DF,,,
,,,,四边形EFDA为平行四边形, ,
AE平面,DF平面PAB,DF平面PAB,
平面PAB平面PCD,平面,,,
平面,平面,l平面ADE.即线段PB上存在一点E,使l平面ADE.
（2）分别取AB、CD中点O、M,连接PO、OM, ,
,,,,
平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD,PO平面PAB,PO平面ABCD
以O为原点,以OA,OP,OM分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,,
设向量为平面PDC的一个法向量,则,
取,得,又为平面PAB的一个法向量,
设平面PAB与平面PCD的夹角为,,
平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为.
18、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为底面ABCD,平面ABCD,
所以.
因为,,所以.
所以,所以.
又因为,平面PBC,平面PBC,
所以平面PBC.
又平面EAC,
所以平面平面PBC.
（2）解法一：以点C为原点,CB,CA,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,.
设点E的坐标为,因为,所以,
即,,,所以.
所以,.
设平面ACE的一个法向量为,则.
所以,取,则,.
所以平面ACE的一个法向量为.
又因为平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为.
设平面PAC与平面ACE的夹角为,
则.
所以,平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为.
解法二：
取AB的中点G,连接CG,以点C为原点,CG,CD,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示
的空间直角坐标系,则,,,.
设点E的坐标为,因为,所以,
即,,,所以.
所以,.
设平面ACE的一个法向量为,则.
所以,取,则,.
所以,平面ACE的一个法向量为.
又因为平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为.
设平面PAC与平面ACE的夹角为,
则.
所以,平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为.
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