2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修三 第六章 计数原理 单元测试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修三 第六章 计数原理 单元测试卷(含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 479.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-09 17:47:58 | ||
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文档简介
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2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修三 第六章 计数原理 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
2、有2男2女共4名大学毕业生被分配到A，B，C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为( )
A.12 B.14 C.36 D.72
3、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A.种
B.种
C.种
D.种
4、某电视台拍摄宣传片五组进行制作编辑，其中包括美食宣传片、地方风光宣传片各两个，运动场地宣传片一个，所有宣传片时长彼此不同，现将五组宣传片编辑在一起，要求相同题材的不相邻，则不同的排法共有( )
A.24种 B.48种 C.72种 D.120种
5、从集合中任取2个不同的数，作为直线方程的系数，则最多可得到不同的直线的条数为( )
A.18 B.20 C.25 D.10
6、设，且，若能被13整除，则( )
A.0
B.1
C.11
D.12
7、由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有( )
A.36个 B.42个 C.48个 D.120个
8、某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为( )
A.720 B.1440 C.2280 D.4080
9、由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2023的六位数的个数为( )
A.3 B.6 C.9 D.24
10、从集合中任取2个元素，
①相加可得多少个不同的和？
②相除可得多少个不同的商？
③作为椭圆（，）中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？
④作为双曲线（，）中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是( )
A.①②③④ B.②④ C.②③ D.①④
二、填空题
11、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.
12、二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉.由二项式定理可得：，，……，则__________.
13、中国古乐中以“宫”“商”“角”“徵”“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“宫”“商”两音阶不相邻且在“角”音阶同侧的概率为_____________.
14、“十一”假期期间，我校欲安排甲、乙、丙等7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不安排在10月1日和10月2日，同时丙不安排在10月7日，则不同的安排方法共有____________种.（用数字作答）
15、如图，对A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色若有四种颜色可供选择，则共有_____________种不同的染色方法.
16、北京冬奥会期间,小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物,现抽取3个吉祥物送给一位朋友,其中至少有冰墩墩雪容融各1个,则不同的送法有________种.(用数字作答)
三、解答题
17、用0，1，2，3，4这五个数字可以组成没有重复数字的：
（1）三位偶数有多少个？
（2）能被3整除的三位数有多少个？
（3）比210大的三位数有多少个？
18、5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人.
（1）求2名女生相邻而站的概率；
（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.
19、某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌,3个舞蹈,3个曲艺节目,求分别满足下列条件排节目单的方法种数.
（1）一个唱歌节目开头,另一个压台;
（2）两个唱歌节目不相邻;
（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
20、现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）.
（1）求四位“幸福数”的个数；
（2）如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”.
参考答案
1、答案：B
解析：由于题目要求的是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇;偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3种选择),之后十位(2种选择),最后百位(2种选择),共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理:个位(3种情况),十位(2种情况),百位(不能是0,一种情况),共6种,因此总共种情况.
2、答案：B
解析：按A工厂分类，第一类：A工厂仅接收1人有种分配方法；第二类：A工厂接收2人有.综上知不同的分配方法有种.故选B.
3、答案：D
解析：根据分层随机抽样方法，易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生，根据分步计数原理，得不同的抽样结果共有种.故选D.
4、答案：B
解析：五组宣传片的全部排法有种，两个美食宣传片相邻，两个地方风光宣传片不相邻的排法有种，两个地方风光宣传片相邻，两个美食宣传片不相邻的排法有种，两个美食宣传片和两个地方风光宣传片均相邻的排法有种，所以相同题材不相邻的不同的排法共有种.故选B.
5、答案：A
解析：第一步，给A赋值有5种选择，第二步，给B赋值有4种选择，由分步计数原理知，可得到条直线，但，与，表示同一条直线，且，与，也表示同一条直线，最多可得到不同的直线的条数为.
6、答案：D
解析：因为，所以，
又因为52能被13整除，所以只需能被13整除，因为，且，所以，
故选D.
7、答案：B
解析：分两类：第一类，五位数的个位数字是0，有种情形；第二类，五位数的个位数字是2，由于0不排首位，因此首位只有1，3，5这3种情形，中间任意排，故有种情形.由分类计数原理可得，无重复数字的五位偶数的个数为，故选B.
8、答案：C
解析：由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有种，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有，故得到的数字大于3.14的不同情况有种.
9、答案：B
解析：因为六位数是由3个2，1个0，2个3组成的，所以除去2023，还剩1个2和1个3，所以将2023进行捆绑，对2023，2，3进行全排列，共有个满足题意的六位数.故选B.
10、答案：B
解析：加法满足交换律，①不是排列问题；除法不满足交换律，如，②是排列问题；若方程（，）表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，即a，b的大小一定，故③不是排列问题；在双曲线（，）中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题.故选B.
11、答案：64
解析：选修2门课，体育类和艺术类各选1门，共有种选课方案；
选修3门课，分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况，共有种选课方案.
因此不同的选课方案共有种.
12、答案：
解析因为，
所以，，，……，，
所以，
因为，所以，
令，得，即，
所以
.
13、答案：
解析：由题意得，只被一个音阶隔开的情况为“宫徵商”或“宫羽商”，有种排法，被两个音阶隔开的情况为“宫徵羽商”，共有种排法，故“宫”“商”两音阶不相邻且在“角”音阶同侧的概率.
14、答案：2112
解析：当甲、乙两人中有一人排在10月7日，另一人排在3、4、5、6日时，剩余5人全排列，共有种排法；当甲、乙两人均排在3、4、5、6日时，丙只有种排法，剩余4人全排列，共有种排法，则不同的安排方法共有种.
15、答案：96
解析：要完成给题图中的A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，可将染色方法分为两类，第一类，仅用三种颜色染色，则A、F同色，B、D同色，C、E同色，即从四种颜色中取三种，有4种取法，用三种颜色染三个区域有种染法，共有种染法；第二类，用四种颜色染色，即A、F，B、D，C、E三组中有一组不同色，有3种方案（A、F不同色或B、D不同色或C、E不同色），从四种颜色中取两种染同色区域，有种染法，剩余两种染在不同色区域，有种染法，共有种染法.由分类计数原理可得，不同的染色方法种数为.
16、答案：30
解析：若选1个冰墩墩和2个雪容融,则有种;
若选2个冰墩墩和1个雪容融,则有种;
综上可得一共有种;
故答案为:
17、
（1）答案：30
解析：当个位是0时，有个；
当个位是2时，有个；
当个位是4时，有个.
故共有个没有重复数字的三位偶数.
（2）答案：20
解析：没有重复数字的能被3整除的三位数的数字组成共有0，1，2；0，2，4；1，2，3；2，3，4四种情况，故共有个.
（3）答案：32
解析：当百位是2时，共有个；
当百位是3时，共有个；
当百位是4时，共有个.
故共有个比210大的没有重复数字的三位数.
18、
（1）答案：
解析：5名师生站成一排照相留念共有种站法.
记“2名女生相邻而站”为事件A，将2名女生“捆绑”视为一个整体与其余3个人全排列，有种排法，
再将2名女生排序，有种站法，所以共有种不同的站法，
则，
故2名女生相邻而站的概率为.
（2）答案：
解析：5名师生站成一排照相留念共有种站法.
记“教师不站中间且女生不站两端”为事件B，
事件B分两类：
①教师站在一端，另一端由男生站，有种站法；
②两端全由男生站，教师站除两端和正中间外的2个位置之一，有种站法，
所以事件B共包含种站法，
则，
故教师不站中间且女生不站两端的概率为.
19、答案：（1）1440
（2）30240
（3）2880
解析：（1）种排法.
（2）种排法.
（3）种排法.
20、答案：(1)126
(2)5789
解析：(1)根据题意, 可知四位“幸福数”中不能有0,故只需在数字 1,2,3,···,9中任取4个,将其从小到大排列, 即可得到一个四位“幸福数”,
每种取法对应1个“幸福数”,则四位“幸福数”共有个
(2)对于所有的四位“幸福数”,1在最高数位上的有个,
2在最高数位上的有个,
3在最高数位上的有个,
4在最高数位上的有个,
5在最高数位上的有 个
因为,
所以第125个四位“幸福数”是最高数位为 5 的最大的四位“幸福数”,为5789.
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2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修三 第六章 计数原理 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
2、有2男2女共4名大学毕业生被分配到A，B，C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为( )
A.12 B.14 C.36 D.72
3、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A.种
B.种
C.种
D.种
4、某电视台拍摄宣传片五组进行制作编辑，其中包括美食宣传片、地方风光宣传片各两个，运动场地宣传片一个，所有宣传片时长彼此不同，现将五组宣传片编辑在一起，要求相同题材的不相邻，则不同的排法共有( )
A.24种 B.48种 C.72种 D.120种
5、从集合中任取2个不同的数，作为直线方程的系数，则最多可得到不同的直线的条数为( )
A.18 B.20 C.25 D.10
6、设，且，若能被13整除，则( )
A.0
B.1
C.11
D.12
7、由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有( )
A.36个 B.42个 C.48个 D.120个
8、某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为( )
A.720 B.1440 C.2280 D.4080
9、由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2023的六位数的个数为( )
A.3 B.6 C.9 D.24
10、从集合中任取2个元素，
①相加可得多少个不同的和？
②相除可得多少个不同的商？
③作为椭圆（，）中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？
④作为双曲线（，）中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是( )
A.①②③④ B.②④ C.②③ D.①④
二、填空题
11、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.
12、二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉.由二项式定理可得：，，……，则__________.
13、中国古乐中以“宫”“商”“角”“徵”“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“宫”“商”两音阶不相邻且在“角”音阶同侧的概率为_____________.
14、“十一”假期期间，我校欲安排甲、乙、丙等7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不安排在10月1日和10月2日，同时丙不安排在10月7日，则不同的安排方法共有____________种.（用数字作答）
15、如图，对A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色若有四种颜色可供选择，则共有_____________种不同的染色方法.
16、北京冬奥会期间,小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物,现抽取3个吉祥物送给一位朋友,其中至少有冰墩墩雪容融各1个,则不同的送法有________种.(用数字作答)
三、解答题
17、用0，1，2，3，4这五个数字可以组成没有重复数字的：
（1）三位偶数有多少个？
（2）能被3整除的三位数有多少个？
（3）比210大的三位数有多少个？
18、5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人.
（1）求2名女生相邻而站的概率；
（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.
19、某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌,3个舞蹈,3个曲艺节目,求分别满足下列条件排节目单的方法种数.
（1）一个唱歌节目开头,另一个压台;
（2）两个唱歌节目不相邻;
（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
20、现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）.
（1）求四位“幸福数”的个数；
（2）如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”.
参考答案
1、答案：B
解析：由于题目要求的是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇;偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3种选择),之后十位(2种选择),最后百位(2种选择),共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理:个位(3种情况),十位(2种情况),百位(不能是0,一种情况),共6种,因此总共种情况.
2、答案：B
解析：按A工厂分类，第一类：A工厂仅接收1人有种分配方法；第二类：A工厂接收2人有.综上知不同的分配方法有种.故选B.
3、答案：D
解析：根据分层随机抽样方法，易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生，根据分步计数原理，得不同的抽样结果共有种.故选D.
4、答案：B
解析：五组宣传片的全部排法有种，两个美食宣传片相邻，两个地方风光宣传片不相邻的排法有种，两个地方风光宣传片相邻，两个美食宣传片不相邻的排法有种，两个美食宣传片和两个地方风光宣传片均相邻的排法有种，所以相同题材不相邻的不同的排法共有种.故选B.
5、答案：A
解析：第一步，给A赋值有5种选择，第二步，给B赋值有4种选择，由分步计数原理知，可得到条直线，但，与，表示同一条直线，且，与，也表示同一条直线，最多可得到不同的直线的条数为.
6、答案：D
解析：因为，所以，
又因为52能被13整除，所以只需能被13整除，因为，且，所以，
故选D.
7、答案：B
解析：分两类：第一类，五位数的个位数字是0，有种情形；第二类，五位数的个位数字是2，由于0不排首位，因此首位只有1，3，5这3种情形，中间任意排，故有种情形.由分类计数原理可得，无重复数字的五位偶数的个数为，故选B.
8、答案：C
解析：由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有种，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有，故得到的数字大于3.14的不同情况有种.
9、答案：B
解析：因为六位数是由3个2，1个0，2个3组成的，所以除去2023，还剩1个2和1个3，所以将2023进行捆绑，对2023，2，3进行全排列，共有个满足题意的六位数.故选B.
10、答案：B
解析：加法满足交换律，①不是排列问题；除法不满足交换律，如，②是排列问题；若方程（，）表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，即a，b的大小一定，故③不是排列问题；在双曲线（，）中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题.故选B.
11、答案：64
解析：选修2门课，体育类和艺术类各选1门，共有种选课方案；
选修3门课，分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况，共有种选课方案.
因此不同的选课方案共有种.
12、答案：
解析因为，
所以，，，……，，
所以，
因为，所以，
令，得，即，
所以
.
13、答案：
解析：由题意得，只被一个音阶隔开的情况为“宫徵商”或“宫羽商”，有种排法，被两个音阶隔开的情况为“宫徵羽商”，共有种排法，故“宫”“商”两音阶不相邻且在“角”音阶同侧的概率.
14、答案：2112
解析：当甲、乙两人中有一人排在10月7日，另一人排在3、4、5、6日时，剩余5人全排列，共有种排法；当甲、乙两人均排在3、4、5、6日时，丙只有种排法，剩余4人全排列，共有种排法，则不同的安排方法共有种.
15、答案：96
解析：要完成给题图中的A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，可将染色方法分为两类，第一类，仅用三种颜色染色，则A、F同色，B、D同色，C、E同色，即从四种颜色中取三种，有4种取法，用三种颜色染三个区域有种染法，共有种染法；第二类，用四种颜色染色，即A、F，B、D，C、E三组中有一组不同色，有3种方案（A、F不同色或B、D不同色或C、E不同色），从四种颜色中取两种染同色区域，有种染法，剩余两种染在不同色区域，有种染法，共有种染法.由分类计数原理可得，不同的染色方法种数为.
16、答案：30
解析：若选1个冰墩墩和2个雪容融,则有种;
若选2个冰墩墩和1个雪容融,则有种;
综上可得一共有种;
故答案为:
17、
（1）答案：30
解析：当个位是0时，有个；
当个位是2时，有个；
当个位是4时，有个.
故共有个没有重复数字的三位偶数.
（2）答案：20
解析：没有重复数字的能被3整除的三位数的数字组成共有0，1，2；0，2，4；1，2，3；2，3，4四种情况，故共有个.
（3）答案：32
解析：当百位是2时，共有个；
当百位是3时，共有个；
当百位是4时，共有个.
故共有个比210大的没有重复数字的三位数.
18、
（1）答案：
解析：5名师生站成一排照相留念共有种站法.
记“2名女生相邻而站”为事件A，将2名女生“捆绑”视为一个整体与其余3个人全排列，有种排法，
再将2名女生排序，有种站法，所以共有种不同的站法，
则，
故2名女生相邻而站的概率为.
（2）答案：
解析：5名师生站成一排照相留念共有种站法.
记“教师不站中间且女生不站两端”为事件B，
事件B分两类：
①教师站在一端，另一端由男生站，有种站法；
②两端全由男生站，教师站除两端和正中间外的2个位置之一，有种站法，
所以事件B共包含种站法，
则，
故教师不站中间且女生不站两端的概率为.
19、答案：（1）1440
（2）30240
（3）2880
解析：（1）种排法.
（2）种排法.
（3）种排法.
20、答案：(1)126
(2)5789
解析：(1)根据题意, 可知四位“幸福数”中不能有0,故只需在数字 1,2,3,···,9中任取4个,将其从小到大排列, 即可得到一个四位“幸福数”,
每种取法对应1个“幸福数”,则四位“幸福数”共有个
(2)对于所有的四位“幸福数”,1在最高数位上的有个,
2在最高数位上的有个,
3在最高数位上的有个,
4在最高数位上的有个,
5在最高数位上的有 个
因为,
所以第125个四位“幸福数”是最高数位为 5 的最大的四位“幸福数”,为5789.
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