2023-2024学年人教B版（2019）必修三 第八章 向量的数量积与三角函数恒等变化 单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年人教B版（2019）必修三 第八章 向量的数量积与三角函数恒等变化 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知在中，，，，动点M位于线段BC上，则的最小值为( )
A.0 B. C. D.
2、若,,且,,则的值是( )
A. B. C.或 D.或
3、已知,则( )
A. B.
C. D.
4、已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
5、已知非零向量与满足且，则为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
6、设，，且，若向量c满足，则的最大值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7、若，且，则满足条件的x的取值集合为( )
A. B. C. D.
8、在菱形ABCD中,,点E,F分别为BC和CD的中点,且,则( )
A.1 B. C.2 D.
9、已知的三个内角分别为A,B,C,若满足,,那么( )
A. B. C. D.
10、已知,且,,则( )
A. B. C. D.
二、填空题
11、已知边长为1的菱形ABCD中,角,,则________.
12、平面上三个力,,作用于同一点,且处于平衡状态,已知,,与的夹角为,则的大小为_____N.
13、已知,,则________.
14、已知向量,,若,则实数________.
15、如图,在矩形ABCD中,,AC与BD交点为M,N为边AB上任意点（包含端点）,则的最大值为________.
16、若,则________.
三、解答题
17、一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时.
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
18、已知在中，.
（1）求的值；
（2）判断是锐角三角形还是钝角三角形；
（3）求的值.
19、已知非零向量,,满足,,且.
（1）求向量,的夹角;
（2）求.
20、已知.
(1)求的值;
(2)在中A,B为锐角,且,求C的值.
参考答案
1、答案：C
解析：在中，易知，所以，且，所以，所以当时，有最小值.故选C.
2、答案：B
解析：,,又,,,.又,,,于是,易得,则.
3、答案：D
解析： ,
,
,
,
,
,即.
故选：D.
4、答案：D
解析：法一：由题意，，得，又为锐角，所以，所以，故选D.
法二：由题意，，得，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D.
5、答案：D
解析：在中，，
，
，
，即是等腰三角形，
又，，
，又，，
是等边三角形.故选D.
6、答案：B
解析：如图，设，，，，连接AD，BD，则由可知四边形OADB为矩形，则.
由，可得，连接CD，则，所以点C在以点D为圆心，4为半径的圆上，所以的最大值为.
7、答案：C
解析：在单位圆中画出正切线，使，则角x的终边为直线（如图），
，.又，
.故选C.
8、答案：B
解析：因为点E,F分别为BC和CD的中点,
,所以,
又
,
故选:B.
9、答案：C
解析：因为,所以在中,角A为锐角,
由可得:,则,
所以,
则,
故选:.
10、答案：A
解析：由,得,又,则,
而,,则,
所以
.
故选:A
11、答案：
解析：由边长为1的菱形ABCD中,角,,
可得,,,
则
,
故答案为:.
12、答案：
解析：
13、答案：
解析：,
,
,
,
,
,
故答案为:.
14、答案：
解析：因为,所以,所以.
15、答案：或
解析：以点A为坐标原点,,的方向为x轴,y轴正方向,建立平面直角坐标系,
则,,,设,
所以,,则,
因为,所以,即的最大值为.
故答案为:.
16、答案：/
解析:因为,所以,
所以,即.
所以,解得.
所以.
故答案为:.
17、答案：（1）沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为
（2）沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为
解析：（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，
以OA，OB为邻边作，则此人的实际速度为.
在中，，所以.
实际前进的速度，
故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为.
（2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.
在中，，，
所以.
，
故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
18、
（1）答案：
解析：，①
两边平方，得，
.
（2）答案：钝角三角形
解析：由，且，
可知，A为钝角，是钝角三角形.
（3）答案：
解析：，
又，，，.②
由①②可得，，
.
19、答案：（1）
（2）
解析:（1）,
,即,
又,,设向量,的夹角为,
,
,
,
,
,即向量,的夹角为;
（2）
.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）由可得,所以;
所以;
即可得
（2）由于A,B为锐角,且,由,解得;
即,;
又因为,所以;
此时,
又因为,所以,
则
即.
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