2023-2024学年选择性 必修一 第二章 圆与方程 章节测试题(含答案)

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2023-2024学年选择性 必修一 第二章 圆与方程 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
2、已知，直线，P为l上的动点.过点P作的切线PA，PB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
3、方程有两个不等实根，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
4、已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
5、过点作直线l与圆交于A，B两点，设，且，当的面积为时，直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
6、若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7、已知圆，从点观察点，要使视线不被圆O挡住，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8、已知圆，当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A. B.6 C. D.
9、已知的斜边的两端点A，B的坐标分别为和，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
10、已知直线，点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
11、设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是___________.
12、写出与圆和都相切的一条直线的方程__________.
13、已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是_________.
14、当点P在圆上运动时，连接点P与点，则线段PQ的中点M的轨迹方程为__________.
15、已知圆上存在两点关于直线(，)对称，则的最小值是_________.
16、在半径为r的圆中，一条弦的长度为，则这条弦所对的圆心角是__________.
三、解答题
17、在平面直角坐标系xOy中，已知点与直线，设圆C的半径为1，圆心在直线l上.
(1)若点在圆C上，求圆C的方程；
(2)若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标的取值范围.
18、已知圆，直线.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程.
19、如图，已知圆和圆.
(1)求两圆所有公切线的斜率；
(2)设P为平面上一点，若存在过点P的无穷多条直线l与圆和圆相交，且直线l被圆截得的弦长是其被圆截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标.
20、已知圆.
(1)设点，过点M作直线l与圆C交于E，F两点，若，求直线l的方程；
(2)设P是直线上的点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
参考答案
1、答案：B
解析：方法一：因为圆与两坐标轴都相切，且经过点，所以可设圆心为，，半径为m，所以，解得或.当时，圆心为，利用点到直线的距离公式，可知圆心到直线的距离；当时，圆心为，利用点到直线的距离公式，可知圆心到直线的距离.故选B.
方法二：因为圆与两坐标轴都相切，且经过点，所以可设圆心为，，半径为m，所以，即，所以，即，所以圆心到直线的距离.故选B.
2、答案：D
解析：由题意可知，所以圆心，半径为2.因为PA，PB是的切线，所以，.由圆的对称性可知，所以，所以取得最小值时，取得最小值.又为定值，所以当最小时，最小.因为，所以当取得最小值时，最小.又因为P为直线上的动点，所以当时，取得最小值.此时直线PM的方程为，与直线l联立，可得.
方法一：由圆的切线结论知切点弦AB所在直线方程为，即，故选D.
方法二：以线段PM为直径的圆的方程为，整理得，与的方程作差可得直线AB的方程为，故选D.
3、答案：D
解析：令.由得，其表示的是一个半圆.
而表示的是过定点的直线，如图所示，当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，所以方程有两个不等实根时，.
4、答案：C
解析：圆的标准方程为，圆心，半径，
圆的标准方程为，圆心，半径，
因为两圆的圆心距，所以，故这两个圆相交.故选C.
5、答案：B
解析：的面积为，，
，，.
圆心O到直线l的距离为.
由题意可设直线l的方程为，即，
，.故选B.
6、答案：A
解析：直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，1为半径，且位于直线右侧的半圆(包括点，).如图，作出半圆C.
当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，直线记为；当l与半圆相切时，由，得，切线记为.
由图可知当时，直线l与曲线C有两个不同的交点，故选A.
7、答案：D
解析：设过点与圆相切的直线为，则圆心到切线的距离为，解得，故切线方程为，设切线分别与直线交于点M，N，如图所示.
当点B位于点M上方或点N下方时，满足题意.将代入，得，故点M的坐标为.将代入，得，
故点N的坐标为.
则a的取值范围是，故选D.
8、答案：D
解析：由，得，
因此圆心为，半径，
当且仅当时，半径最小，此时圆的面积也最小，
此时圆心为，半径，圆心到坐标原点的距离.
根据圆的性质，可知圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.
9、答案：C
解析：依题意得，直角顶点C在以AB为直径的圆上运动，且点C与点A，B不重合.易知AB的中点坐标为，，所以直角顶点C的轨迹方程为.故选C.
10、答案：D
解析：直线即，所以直线过定点，
所以点P到直线l的距离的最大值为(O为坐标原点)，故选D.
11、答案：
解析：因为，所以直线AB关于直线对称的直线方程为.由题意可知圆心为，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以.整理，得，解得.
12、答案：或或(答对其中之一即可)
解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为，，，.因为，所以两圆外切.由两圆外切，画出示意图，如图.设切点为.由，得.因为，所以切线的斜率，所以，即.由图易得两圆均与直线相切.过两圆圆心的直线方程为.联立解得故直线l与的交点为.由切线定理，得两圆的另一公切线过点P.设.由点到直线的距离公式，得，解得，所以，即.
13、答案：
解析：圆，即，圆心为，半径，
圆，即，圆心为，半径.
圆心距，所以两圆内切.
由解得所以两圆切点的坐标为，
又，所以公切线的斜率为-2，
所以公切线的方程为，即.
14、答案：
解析：设点，因为M是线段PQ的中点，所以点，又点P在圆上运动，所以，即，
所以点M的轨迹方程为.
15、答案：16
解析：由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值是16.
16、答案：或120°
解析：若圆心角为，则，而，故，
所以圆心角为.
故答案为：
17、答案：(1)或
(2)
解析：设圆心，则圆C的方程为.
(1)因为点在圆C上，所以，解得或，
故圆C的方程为或.
(2)设，则，
由于，，
故，
化简得，
从而在以(记为N)为圆心，为半径的圆上，
故为圆与圆的公共点，
即圆与圆相交或相切，
从而，即，
解得或，
故圆心C的横坐标的取值范围为.
18、答案：(1)
(2)或
解析：(1)由圆，
可得，其圆心为，半径，
若直线l与圆C相切，则圆心C到直线l的距离，
即，可得.
(2)由(1)知圆心到直线的距离，
易知，即，解得(负值舍去)，
所以，整理得，解得或，
则直线l的方程为或.
19、答案：(1)0，，
(2)点P的坐标为或
解析：(1)由题意得两圆公切线的斜率存在，
设公切线的方程为，即，
则所以
所以.
当时，，
代入①式，得，解得或；
当时，，
代入①式，整理得，解得.
综上，两圆所有公切线的斜率分别为0，，.
(2)设，到直线l的距离分别为，，
则，即，所以.
设，直线l的方程为，即，
则，
因此或，
所以或，
因为存在无穷多条直线l，
所以或解得或
故点P的坐标为或.
20、答案：(1)或
(2)经过A，P，C三点的圆必过定点，且所有定点的坐标为，
解析：(1)根据题意得圆心，半径，
若直线l的斜率不存在，即，代入圆的方程，得，此时，满足题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
若，则圆心C到直线l的距离，
则，解得，
即直线l的方程为，化简得.
综上所述，直线l的方程为或.
(2)由于P是直线上的点，所以可设，
由切线的性质得，，
经过A，P，C三点的圆，即为以PC为直径的圆，
易知PC的中点坐标为，且，
所以经过A，P，C三点的圆的方程为，
整理得，
令解得或
则经过A，P，C三点的圆必过定点，且所有定点的坐标为，.
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