(共18张PPT)
解答题保分小卷（一）
16.（10分）
（1）计算： .
[答案] 原式 （3分）
.（5分）
（2）化简： .
[答案] 原式
.（5分）
17.（9分）2023年是爱国卫生运动开展71周年，2023年4月也是第35个爱国卫生月，为了倡导文明健康绿色环保生活方式，某市决定开展“爱国卫生行动，从我开始行动”主题演讲比赛.该市某中学将参加本校选拔赛的选手的成绩（满分为100分，得分为正整数）分成六组，并绘制了如下不完整的统计图表.
频数分布表
组别 成绩 分 频数
A 4
B 6
C
D
E 14
F 4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参加学校选拔赛的有___________人.
50（2分）
[解析] 解法提示： （人）.
（2）补全频数分布直方图.
[答案] 补全频数分布直方图如图.
频数分布直方图
（6分）
[解析] 解法提示： ，
.
（3）小华这次的成绩是87分，他分析后认为他的成绩刚好是参赛选手成绩的中位数.请问小华的想法是否一定正确？简要说明理由.
[答案] 不一定正确.（7分）
理由：将50名选手的成绩从低到高排列，第25名与第26名的成绩都在分数段 中，但它们的平均数不一定是87分.（9分）
18.（9分） 如图， 是
中 边上的高.
（1）利用尺规作 中 边上的高 ，交 于点 ；
（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
[答案] 如图所示. （4分）
（作法不唯一，正确即可）
（2）若 ,求证： .
证明： , 是 的高，
.
， .
在 和 中，
， , ，
， .（9分）
19.（9分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,
设入园次数为 时所需费用为 元，选择这两种卡消
费时, 与 的函数关系如图所示,解答下列问题:
（1）分别求出选择这两种卡消费时, 关于 的函数表达式.
[答案] 设 ,根据题意得， ,（2分）
解得 ,
.（3分）
设 ,
根据题意得， ,（5分）
解得 ,
.（6分）
（2）当入园次数为12次时，选择哪种卡消费比较合算？
[答案] 当 时, , , ,（8分）
选择甲种卡消费比较合算.（9分）
20.（9分）&2&
如图，反比例函数 的图象经过点 ，连接
并延长，交双曲线于点 ，以 为对角线作正方形
，点 在第四象限.过点 ， ， 作弧.
（1）求反比例函数的表达式.
[答案] 将 代入 ，
得 ，
故反比例函数的表达式为 .（3分）
（2） 所对圆心角的度数为____ ， 所在圆的半径为_____________.
90
（5分）
[解析] 解法提示：如图，连接 ，易知 ，
是 所在圆的直径.
设 的中点为 ，连接 ，易知 .
易知 ，
,
.
综上可知， 所对圆心角的度数为 ， 所在圆的半径为 .
（3）求图中阴影部分的面积之和.
[答案] 如图，设 ， 分别与 轴交于点 ， .
正方形 关于点 中心对称，
，
.（9分）
21.（9分）根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河
的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面 的宽为
，最高点 距离水面 ，如图所示,以 所在的直线为 轴， 的
中点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的表达式；
[答案] 由题意得 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．（1分）
设抛物线的表达式为 ．
把 代入，得 ，
解得 ．
该抛物线的表达式为 ．（4分）
（2）某次大雨后水面上涨至 ，测得最高点 距离 的高度为 ，
求桥拱下水面 的宽度．
[答案] 由题意得 ， ．
．（6分）
由题意得 ，
解得 ， ．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ,
．
答：桥拱下水面 的宽度为 ．（9分）
完成练习册相关习题
作业：(共25张PPT)
解答题保分小卷（二）
16.（10分）
（1）化简： ．
[答案] 原式 （2分）
（3分）
．（5分）
（2）计算： ．
[答案] ，
因式分解，得 ，
或 ，
， ．（5分）
17.（9分）某市为了了解中学生的自救自护的
能力，从A，B两校各随机抽取100名学生进
行自救自护安全知识测试.将所抽取的学生的
测试得分 （单位：分）分为5组（优秀：
；良好： ；中
.A，B两校学生测试得分的平均数、方差、优秀率（优秀人数所占百分
比）、及格率（及格及以上人数所占百分比）如下表：
档： ；及格： ；不及格： ），并对数
据进行整理、分析，部分信息如下：
学校 平均数 优秀率 及格率 方差
A 80 3.9
B 80 2.5
.A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样．
请根据以上信息解决下列问题：
（1）填空： ____, ____, ___________.
10
10
95（6分）
[解析] 解法提示： ，B校学生测试得分的
及格率为 ，
即 .
因为A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样，B校学生测试得分为“良
好”的人数为40，
所以A校学生测试得分为“良好”的人数所占百分比为 ，
所以 ，即 .
（2）根据以上数据，你认为哪所学校学生的自救自护的能力较强？请说明理由（一条即可）.
[答案] B校学生的自救自护的能力较强.（7分）
理由：因为A，B两校学生测试得分的平均数相同，但B校学生测试得分的优秀率、及格率均比A校的高，且B校学生测试得分的方差比A校的小，所以B校学生的自救自护的能力较强.（9分）
18.（9分）某数学小组要测量一雕塑 的高度．如图，在 处用测角仪测
得雕塑顶端 的仰角为 ，沿 方向前进 到达 处，又测得雕塑
顶端 的仰角为 ．已知测角仪的高度为 ，测量点 ， 与雕塑的
底部 在同一水平线上．
（1）求雕塑 的高度（结果精确到 ．参考数据： ，
， ）．
[答案] 如图，连接 交 于点 ，由题
意知， ， .
设 .
在 中， ，
.（2分）
在 中， ，
.
， ，
即 ，（5分）
，
.
答：雕塑 的高度约为 ．（7分）
（2）该雕塑简介中提到，雕塑的高度为 .可见测量结果出现误差，请
分析造成误差的原因（一种即可）．
[答案] 测角仪测量的角度不够精确（答案不唯一，合理即可）．（9分）
19.（9分）如图，反比例函数 的图象经过点
, ，连接 ， .
（1）求 的值和反比例函数的表达式．
[答案] 反比例函数 的图象经过点 ，
，
反比例函数的表达式为 .（2分）
反比例函数 的图象经过点 ，
.（3分）
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出过点 且垂直于 轴的直线.（要求：不
写作法，保留作图痕迹，使用 铅笔作图）
[答案] 作图如图所示.（6分）
（3）将（2）中所作的直线与 轴的交点记为点 ，连接 ．判断
的形状，并说明理由.
[答案] 是等腰三角形.（7分）
理由：易知 .
过点 作 轴于点 ，则 ，
，
垂直平分 ，
，
是等腰三角形.（9分）
20.（9分） 问题：如图（1），已知四边形
内接于 .
求证： .
探究
（1）小明同学给出证明思路如下：
如图（2），作 , 交 于点 .先证明 ,可得 , ;再证明 ,可得 , ,再利用等式的性质得出结论.
请你依据小明同学的思路，写出证明过程.
证明： , ,
,
， ．
, .
又 , ,
， ，
.
（6分）
应用
（2）如图（3）， 是 的直径， 是弧 的中点， 是 上不与
点 ， , 重合的动点，请直接写出 , , 之间的数量关系.
[答案] 当点 在 下方时， ；
当点 在劣弧 上时， ；
当点 在劣弧 上时， .（9分）
[解析] 解法提示：由题意知
, ，
.
如图（1），当点 在 下方时，由
（1）可得 ,
,
.
如图（2）, 当点 在劣弧 上时，由（1）可得
,
，
.
如图（3）, 当点 在劣弧 上时，由（1）可得,
,
，
.
21.（9分）至2024年底，南阳市中心城区将建成“诸葛书屋”50个以上. 某“诸葛书屋”新进科普和文学两类图书（同一类的图书每本价格相同），已知每本科普类图书的进价是文学类图书进价的1.2倍，购进的文学类图书比科普类图书多100本，两类图书的总花费均为12 000元．
（1）求每本文学类图书与科普类图书的进价分别是多少元.
[答案] 设每本文学类图书的进价是 元，则每本科普类图书的进价是 元，
根据题意,得 ，
解得 ,（2分）
经检验， 是原方程的解，且符合题意,
.
答：每本文学类图书的进价是20元，每本科普类图书的进价是24元.（4分）
（2）若第二批计划购进同种文学类和科普类图书共350本，且科普类的购买本数不低于文学类本数的2倍．恰逢4月23日世界读书日来临，供货商决定对文学类图书打八折销售，科普类图书降价 销售，则书屋如何购买才能使购进第二批图书时总花费最少？
[答案] 设书屋购进文学类图书 本，则购进科普类图书 本，
则 ，解得 .（5分）
设购进第二批图书的总费用为 元，
则 .（7分）
， 随 的增大而减小.
又 ，且 为整数，
当 时， 取得最小值，此时 .（8分）
答：购买文学类图书116本，科普类图书234本时总花费最少．（9分）
完成练习册相关习题
作业：(共26张PPT)
解答题保分小卷（三）
16.（10分）计算：
（1） .
[答案] 原式 （3分）
.（5分）
（2）
[答案]
,得 ,
解得 ,
将 代入①,得 ,
解得 ,
故方程组的解为 （5分）
17.（9分）某校为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机抽取了100名学生进行调查，并将获得的数据整理成如下统计图表.
学生每周参加家务劳动时间统计表
劳动时间 时
组中值 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
人数 23 30 19 18 10
（组中值：一组数据中最大值与最小值的平均数） 学生每周参加家务劳动时间扇形统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角的度数为_ _____________.
（2分）
（2）请估计该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均数.
[答案] .
答：估计该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均数为2.12小时.（5分）
（3）请根据调查结果为该校制定一个学生每周参加家务劳动合格标准（在组中值中选一个值）,并简要说明理由.
[答案] 答案一：合格标准可以定为每周参加家务劳动2.5小时.（7分）
理由：由（2）可知，该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均水平为2.12
小时，把标准定为每周参加家务劳动2.5小时，至少有 的学生能达标，
同时至少有 的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标. （9分）
答案二：合格标准可以定为每周参加家务劳动1.5小时.（7分）
理由：该校学生目前每周参加家务劳动时间的中位数在 范围内，
把标准定为每周参加家务劳动1.5小时，至少有 的学生可以达标，同时
至少有 的学生未达标，这样有利于建立学生达标的信心，也能促进未
达标学生努力，提高该校学生做家务劳动的积极性.（9分）
（答案不唯一，理由充分即可.制定合格标准的原则：既要让学生有努力的方
向，又要有利于学生建立达标的信心）
18.（9分）如图，父子两人驾驶渔船同时从点 处出发，父亲驾船沿正北方向航行一段时间到达 处，之后向西调转 ，继续航行2海里到达 处，并在 处停船捕鱼，儿子驾船沿正西方向航行6海里到达 处，并在 处停船捕鱼，此时父亲在儿子的东北方向上.为方便联系，
父子两人均携带有专用对讲机，且对讲机信号的覆盖半径为5海里.两人均停
船捕鱼时，父亲用对讲机跟儿子联系，儿子能否收到父亲的呼叫信号？请说
明理由.（参考数据： ， ， ，
）
[答案] 不能.（1分）
理由：如图，过点 作 于点 ，延长 交
的延长线于点 ，则 ， ，四
边形 是矩形，
海里.（3分）
在 中， （海里），
（海里）.（6分）
在 中， （海里）.
，
儿子收不到父亲的呼叫信号.（9分）
19.（9分） 在测量液体密
度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量
与液体体积 之间的关系如图所示.（提
示：液体的质量 液体的密度×液体的体积）
（1）求 关于 的函数表达式.
[答案] 设 ,将 ， 分别代入，
得 解得
故 .（3分）
（2）求空烧杯的质量及液体的密度.
[答案] 对于 ，当 时， ，
故空烧杯的质量为 .
易知当 时， ，
所以此时液体的质量为 ，
，
所以液体的密度为 .（7分）
（3）当液体和烧杯的总质量为 时，求液体的体积.
[答案] 对于 ，当 时， ，
即此时液体体积为 .（9分）
20.（9分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌
溉工具,如图（1）.唐代陈廷章在《水轮赋》中
写道:“水能利物,轮乃曲成”.如图（2）,筒车
与水面交于点 , ,筒车的最低点到水面的距离
为 ， .
（1）求筒车的半径；
[答案] 设筒车的半径为 ，
， .
如图，连接 ，在 中，
，
即 ，解得 ，
故筒车的半径为 .（4分）
（2）若接水槽 所在的直线与 相切，且 ，则当筒车按
逆时针方向每秒转 时，求盛水筒 从最高点开始运动，至少经过多长时
间恰好在直线 上.
[答案] 如图，延长 切 于点 ，连接 ，
则 ，
.
延长 交 于点 ，则点 为筒车的最高点，
且 ， ，
因 ，
故盛水筒 从最高点开始运动，至少经过 恰好在直线 上.（9分）
21.（9分）&2&
如图，等边三角形 的边 经过原点 ，顶点 ， 在反比例函数 的图象上，过点 作 轴于点 ， ， ．以点 为圆心， 为半径画弧，分别交 ， 于点 ， .
（1）求 的值.
[答案] 在 中， ， ,
，
，
.（3分）
（2）求点 的坐标．
[答案] 如图，连接 .
易知 .
又 ， ，
.
过点 作 轴于点 .
易证 ，
，
， ，
， .（7分）
（3）直接写出图中阴影部分的面积.
[答案] 阴影部分的面积为 .（9分）
[解析] 解法提示：如图，连接 ， .
易知 ， 是等边三角形，
， ，
， ，
.
完成练习册相关习题
作业：(共25张PPT)
解答题保分小卷（四）
16.（10分）
（1）化简： .
[答案] 原式
.（5分）
（2）解不等式组：
[答案] 解 ，得 ,（2分）
解 ,得 ，（4分）
该不等式组的解集为 .（5分）
17.（9分）某公司有A,B,C三种型号的电动汽车出租,每辆车每天费用分别为3
00元、380元、500元.阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天,往返行程
为 ,为了选择合适的型号,通过网络调查,获得三种型号汽车充满电后
的里程数据如图所示.
A,B,C三种型号电动汽车充满电后能行驶里程的统计图
（1）阳阳已经对B,C型号汽车数据统计如下表,请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数.
型号 平均里程 中位数 众数
B 216 215 220
C 227.5 227.5 225
[答案] 方法一：
.（2分）
方法二：
.（2分）
将A型号汽车统计数据按从小到大的顺序排列后第10个和第11个数据均为200,
故A型号汽车的中位数为 .（4分）
易知A型号汽车统计数据中205出现的次数最多，故A型号汽车的众数为
.（5分）
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间,又能经济实惠地用车,请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析,给出合理的用车型号建议.
[答案] 评分参考:
【A等级】合理选择,完整说理，给4分.
选择B型号汽车.理由:A型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于 ,
且只有 的车辆能达到行程要求,故不建议选择;B,C型号汽车的平均里程、
中位数、众数都超过 ,其中B型号汽车有 符合行程要求,很大程
度上可以避免行程中充电耽误时间,且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠,故
建议选择B型号汽车.
【B等级】合理选择但理由不全面,给3分.
选择B型号汽车,理由不全面.
【C等级】合理选择但说理不恰当或选择不恰当且说理片面,给2分.
选择B型号汽车,理由不全面且存在不恰当分析.
选择A型号汽车,从经济实惠角度进行说理.
选择C型号汽车,只从统计量说明行驶里程符合要求.
【D等级】合理选择未作说理或同时多型号选择等,给1分.
选择B型号汽车,未作说理.
同时选择两种或三种型号汽车,并给出一定理由.
【 等级】未作答等,给0分.
18.（9分）如图，一艘轮船位于灯塔 的北偏东 方向，
距离灯塔50海里的 处，此时船长接到台风预警信息，台
风将在5小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位
于灯塔 的南偏东 方向上的避风港 处．
（1）问避风港 处距离灯塔 有多远.
[答案] 由题意得 ， , 海里.
如图，过点 作 于点 ，则
.
在 中， ,
（海里）.（2分）
在 中， ， 海里.
答：避风港 处距离灯塔 约84海里.（4分）
（2）如果轮船的航速是20海里/时，问轮船能否在5小时内赶到避风港 处.
（参考数据： ， ， ， ）
[答案] 如图，在 中， ,
（海里）.
在 中， ， 海里，
（海里）,
（海里）.
（小时）,
故轮船能在5小时内赶到避风港 处.（9分）
19.（9分）如图，已知一次函数 的图象与
轴交于点 ,与反比例函数 的图象交于点
.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式.
[答案] 把 代入 ，得 ，即一次函数的表达式为
.（1分）把 代入 ，得 ，即反比例函数的表
达式为 .（2分）
（2）点 为 轴上一动点,且 的值最小.
①画出点 的位置,并直接写出点 的坐标;
[答案] 如图所示，点 即为所求.（3分）
点 的坐标为 .（5分）
②求出此时 的面积.
[答案] 由对称的性质得 的坐标为 ，
即 .（6分）
，
，
.（9分）
20.（9分）如图, 为 的直径, 为 上一点,
点 为 的中点,过点 作 ,交 的延长线
于点 ,延长 交 的延长线于点 .
（1）求证: 是 的切线.
证明：如图，连接 ,
点 为 的中点， ，
．
， ，
， ，
．
又 为 的半径， 为 的切线.（4分）
（2）若 , ,求 的半径长.
[答案] 如图，连接 ， ，
， ， ，
．
， ．
为 的直径， .
， ，
， ，
，即 ， ，
，即 的半径长为 ．（9分）
21.（9分）设二次函数 （ ， 是实数）.已知函数值
和自变量 的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若 ，
①求二次函数的表达式；
[答案] 由题意,得
解得
所以 .（3分）
②写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而减小．
[答案] 答案不唯一,如 .（5分）
（2）若在 ， ， 这三个实数中，只有一个是正数，求 的取值范围．
[答案] 因为二次函数的图象经过点 , ,
所以二次函数的图象的对称轴是直线 ,
所以 .
所以 , .
因为在 , , 这三个实数中,只有一个是正数,
所以 , ,
所以
解得 .（9分）
完成练习册相关习题
作业：(共20张PPT)
解答题保分小卷（五）
16.（10分）
（1）化简： .
[答案] 原式 （2分）
（3分）
（4分）
.（5分）
（2）解方程： .
[答案] 方程两边同时乘以 ，得 ,
去括号，得 ,
移项、合并同类项，得 ,
系数化为1，得 .
经检验，当 时，原分式方程有意义，
故 是原分式方程的解.（5分）
乙种大豆亩产量统计表
17.（9分）某农场选育大豆种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在农场建了16块试验田，分别用8块试验田种植甲、乙两种大豆，得到其亩产量数据如下统计图表.
亩产量/
频数
（1）填空： ___, __________.
3
4（4分）
（2）根据统计表，若该农场选择种植乙种大豆，则其亩产量 （单位： ）
落在___范围内的可能性最大.（填选项）
C
A. B. C.
（3）从大豆产量的稳定性的角度来看，你认为该农场应选择种植哪种大豆？简述理由．
[答案] 该农场应选择种植乙种大豆.（7分）
理由：由折线统计图可知，乙种大豆的亩产量这组数据波动较小，即方差较小，所以乙种大豆的亩产量稳定性较好，故该农场应选择种植乙种大豆.（9分）
18.（9分）如图，在矩形 中， 是对角线.
（1）实践与操作：利用尺规作线段 的垂直平分线，垂足为
点 ，交边 于点 ，交边 于点 （要求：尺规作图并
保留作图痕迹，不写作法，标明字母）;
[答案] 作图如图所示.（4分）
（2）猜想与证明：试猜想线段 与 的数量关系，并加以证明.
[答案] .（5分）
证明： 四边形 是矩形, ,
, .
为 的垂直平分线, ,
, .（9分）
19.（9分）圭表塔是耸立在河南科技馆新馆最高的建筑.某校数学兴趣小组的
同学使用卷尺和自制的 高的测角仪测量圭表塔的高度，示意图如图所
示，组员甲在水平地面点 处用测角仪测得圭表塔最高点 处的仰角为
，组员乙从点 处沿台阶上至第4级，在点 处测得圭表塔最高点
处的仰角为 ，用卷尺测得每级台阶宽为 ,高为 ，点 ，
之间的距离为 ．求圭表塔的高度 （点 , , , 在同一竖直平面
内， , ，结果精确到 ．参考数据： ，
， ）.
[答案] 如图，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，延长 交 于点 .
由题意知， ， ，
， . （2分）
易知四边形 、四边形 是矩形，
， ， , .
， ，
是等腰直角三角形，
.（4分）
设 ，
则 ， ,
.（5分）
在 中， ，
即 ，（7分）
，
.
答：圭表塔的高度 约为 .（9分）
20.（9分）如图，等边三角形 的顶点 在 轴上，顶点
在 轴上，顶点 在反比例函数 的图象上，且
轴，已知 ．
（1）求该反比例函数的表达式.
[答案] 过点 作 轴于点 ，则 是矩形，
， ，
故反比例函数的表达式为 .（3分）
（2）在反比例函数 图象上是否存在点 ，使四边形 是
菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
[答案] 存在.（4分）
如图，连接 交 于点 ，
则 ， .
设 ，
则 .
，
，
，
， ，
（ ,1）.
对于 ,当 时， ，
故点 在反比例函数 的图象上，
故在反比例函数 图象上存在点 ，使四边形 是菱形，
点 的坐标为（ ,1）.（9分）
21.（9分）每年的4月23日为世界读书日.某网上图书销售平台计划在今年世界读书日前购进甲、乙两类图书共1 200册，这两类图书的进价、售价如下表：
进价/（元/册） 售价/（元/册）
甲类图书 25 30
乙类图书 45 60
（1）分别购进甲、乙两类图书多少册时进货款恰好为46 000元？
[答案] 设购进甲类图书 册时进货款恰好为46 000元，则购进乙类图书
册.
根据题意,得 ，
解得 .（2分）
.
答：购进甲类图书400册、乙类图书800册时，进货款恰好为46 000元.（3分）
（2）分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获利最多且总利润不超过
总进货款的 （假设甲、乙两类图书全部售完）？此时总利润为多少元？
[答案] 设购进甲类图书 册，销售完甲、乙两类图书该平台共获利 元，则购进乙类图书 册.
根据题意，得 .（5分）
由题意，得 ，
解得 ，（7分）
所以 .
因为 ，所以 随 的增大而减小，
所以当 时， 取得最大值，最大值为
.
答：购进甲类图书450册、乙类图书750册时，该平台获利最多且总利润不超
过总进货款的 ，此时总利润为13 500元.（9分）
完成练习册相关习题
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解答题保分小卷（六）
16.（10分）
（1）解方程: .
[答案] ,
,
,
,
.（5分）
（2）化简： .
[答案] 原式
．（5分）
17.（9分）小亮、小颖参加班级的演讲比赛,比赛成绩由评委评分和学生评票两部分决定，学生评票时一人一票（无弃票），从“优秀”“良好”“一般”三个等级中选一个投票.如图（1）是7位评委对小亮演讲的评分条形统计图，图
（2）是全班50位学生对小亮演讲的评票扇形统计图.
图（1）
图（2）
计分规则
（1）评委评分得分按“去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分”的方法
确定;
（2）学生评票得分 “优秀”票数 分 “良好”票数 分 “一般”票数
分;
（3）综合得分 评委评分得分 学生评票得分 .
（1）小亮获得的评委评分的众数为____分，扇形统计图中“良好”所在扇形
的圆心角的度数为_ ____________.
94
（4分）
（2）小亮的综合得分是多少分？
[答案] 评委评分得分： （分），
学生评票得分： （分），
故小亮的综合得分为 （分）.（7分）
（3）在演讲比赛中，小颖的学生评票得分为82分，如果她的综合得分不低于小亮的综合得分，那么她的演讲获得的评委评分得分至少为多少分？
[答案] 设小颖的演讲获得的评委评分得分为 分，
根据题意，得 ，
解得 .
答：小颖的演讲获得的评委评分得分至少为90分．（9分）
18.（9分）清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主
题公园，很多游客会身穿汉服游玩，公园中很多店铺经营汉服租赁，且每套
汉服的租赁价均为60元，目前园中有两家店铺都有优惠活动.
甲店铺：若一次租赁超过2套，超过部分按每套标价的八折优惠；
乙店铺：每套按标价的九折优惠.
设租赁汉服 套，在甲店铺所需费用为 （元），在乙店铺所需费用为
（元）．
（1）分别写出 ， 与 之间的函数关系式.
[答案] 由题意可知，当 时， ，
当 时， ，
与 之间的函数关系式为
当 时， ，
与 之间的函数关系式为 .（6分）
（2）当游客租赁汉服多少套时，在甲店铺租赁更划算？
[答案] 令 ，得 ，解得 .
答：当游客租赁汉服超过4套时，在甲店铺租赁更划算．（9分）
19.（9分）在“碳达峰、碳中和”目标加持下，风电
顺势扬帆起航.如图，在一次综合实践活动中，某小
组为了测量斜坡上大风车 的高度（ 与水平地
面 垂直），先在地面上点 处测得大风车顶端
的仰角 ，底部 的仰角 ，再向前步行320米到
达点 处（点 ， ， , , , 在同一平面内），测得大风车底部 的仰
角 .求大风车 的高度.（结果保留整数.参考数据：
， ， ， ）
[答案] 如图，延长 交 于点 ，则 .
（1分）
设 米，
， ， 米.
（3分）
在 中， ，
，解得 ，（5分）
米， （米）.（7分）
在 中， ，
， 米.
答：大风车 的高度约为103米.（9分）
20.（9分）如图，直线 与双曲线 交于
点 和点 .
（1）求直线 和双曲线的表达式.
[答案] 将 代入 ，得 ，
故双曲线的表达式为 .（2分）
将 代入 ，得 .（3分）
将 ， 分别代入 ，
得
解得
故直线 的表达式为 .（5分）
（2）填空：不等式 的解集为___________________________.
或 （7分）
（3）连接 ， ，点 是双曲线上一点，且 ，请直接写
出点 的坐标（写出一个即可）.
[答案] 点 的坐标为 ， ， 或
， 亦可）.（9分）
[解析] 解法提示：延长 交双曲线于点 .
双曲线与直线 均关于原点 对称，
点 ， 关于原点 对称，连接 ,易知此时 ，
.
延长 交双曲线于点 ，连接 ,易知此时 ，
此时 .
易知直线 交 轴于点 ，将直线 向上平移2个单位长度，得到直线
，则当点 为直线 与双曲线的交点时满足题意.
易知直线 的表达式为 ，
令 ，
解得 ，
点 的坐标为 ， 或 ， .
综上可知，点 的坐标为 ， ， ， 或
， .
21.（9分）&1& 小刚所在的数学兴趣小组剪了一张圆形纸片，并将直角三角板 的 角的顶点 放在圆形纸片的边缘上，进行如下实践探究活动.
（1）如图（1），小刚将直角三角板的直角顶点 放在圆形纸片的边缘上，
请你利用尺规作出圆形纸片的圆心 .（保留作图痕迹，不写作法）
图（1）
[答案] 如图（1），点 即为所求.（3
分）
图（1）
图（2）
（2）小亮将直角三角板摆放成如图（2）所示的情形，其中
边 ， 分别与 交于点 ， ，连接 .若 的
半径为 ，试判断 与 之间的数量关系，并加以证明.
图（2）
[答案] .（4分）
证明：如图（2），连接 ， ，
则 ， .
过点 作 于点 ，
则 , ，
,
.（6分）
图（3）
（3）小刚将直角三角板摆放成如图（3）所示的情形，其中
边与 相切于点 ，且 边恰好经过圆心 .若 ，求
半径 的值.
图（3）
[答案] 如图（3），连接 ，过点 作 于点 .
， 四边形 是矩形，
， .
在 中， ，
，解得 .（9分）
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