人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时基础练习 5.1相交线
一、选择题
1．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（ ）
A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3
C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3
2．下列叙述中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、垂直、平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．长方形的一组对边是平行的
D．我们知道，对顶角是相等的；反之，相等的角就是对顶角
3．（2023八上·孟村期中）点P在的平分线上，且点P到边的距离等于2，点Q是边上的任意一点，则的长不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，与∠α构成同位角的角的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列生活中的实例，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠．可用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路．可用的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一根木条固定到墙上需要两颗钉子．可用的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个物流仓库向高速公路修一条最短的马路．可用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
7．如图，点O在直线DB上．已知∠1=15°，∠AOC=90°，则∠2的度数为（ ）
A．75°． B．15°． C．105°． D．165°．
8．（2023八上·江油开学考）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示.小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块.图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是 ( )
A．∠BCD B．∠FDB
C．∠BDN D．∠CDB
9．（2023七下·西山期末）如图，是直线外一点，是线段的中点，连接，过点作，垂足为点，则点到直线的距离是（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
10．（2023七下·东城期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023八上·自贡开学考）已知∠A与∠B的两边互相垂直，且2∠A-∠B＝30°，则∠A的度数为 ．
12．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(7x- 80)°和(100-2x)°，则x=
13．（2023七下·官渡期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是 ．
14．（2023七上·南岗开学考）若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，且∠3是54°，则∠1＝ ．
15．（2023七下·紫阳期末）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号）
三、解答题
16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，且∠AOD=66°．求∠BOF的度数．
17．观察下列图形，阅读图形下面的相关文字，并解答：
（1）填空：
直线条数 最多交点个数 对顶角的对数
2 1 2
3 3 6
4 6 12
5
……
n
（2）当若干条直线相交时，设最多交点个数为m，对顶角对数为n，则m与n有何关系？
18． 直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）如图1，若∠BOC=130°，求∠AOE的度数．
（2）如图2，射线OF在∠AOD内部．
①若OF⊥OE，判断OF是不是∠AOD的平分线，并说明理由．
②若OF平分∠AOE，∠AOF=∠DOF，求∠BOD的度数．
19． 如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分∠BOF．
（1）∠AOD的对顶角是 ，∠BOC的邻补角是
（2）若∠AOD=20°，∠DOF ：∠FOB=1：7，求∠EOC的度数．
20．（2019七下·来宾期末）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解： 同一平面内互不重合的3条直线的位置关系如下：
①互相平行，此种情况交点个数为0个；
②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；
③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；
④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个.
综上所述， 同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是0，1，2或3.
故答案为：C.
【分析】分类讨论：①互相平行，此种情况交点个数为0个；②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个，综上即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系；平行线的定义与现象；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交与平行两种，故此选项错误，不符合题意；
B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故此选项错误，不符合题意；
C、 “长方形的一组对边是平行的”这个说法是正确的，故此选项正确，符合题意；
D、 我们知道，对顶角是相等的，但相等的角不一定是对顶角，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系有相交与平行两种，可判断A选项；根据同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，可判断B、C选项；根据两条直线相交所形成的四个角中，有公共顶点且一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，所以对顶角既有数量上的相等关系，还有特殊的位置关系，故 对顶角是相等的，但相等的角不一定是对顶角，据此可判断D选项.
3．【答案】A
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：
P在的平分线上，点P到OA边的距离等于2
点P到OB边的距离也等于2
点P到OB上所有点的连线中，垂线段最短
PQ2
故PQ的长不可能是1
故答案为：A
【分析】根据角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等、直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短定理，可以得知PQ的长不可能比2小。
4．【答案】D
【知识点】同位角
【解析】【解答】解：根据同位角的定义可得D选项中的∠1与∠2不是同位角.
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截直线）的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可.
5．【答案】C
【知识点】同位角
【解析】【解答】解： ∠α与∠FAE是直线AE与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠FAC是直线AC与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠ACD是直线BF与AC被直线BD所截的一对同位角，
综上∠α的同位角有3个.
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截直线）的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可.
6．【答案】A
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，可用的数学原理是：垂线段最短，故A符合题意；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，可用的数学原理是：两点之间线段最短，故B不符合题意；
C、把一根木条固定到墙上需要两颗钉子，可用的数学原理是：两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、从一个物流仓库向高速公路修一条最短的马路，可用的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质逐项进行判断，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=15°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=75°，
∴∠2=180°-75°=105°.
故答案为：C.
【分析】先求出∠BOC的度数，再利用邻补角性质得出∠2=180°-∠BOC，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】 解：观察图形可得：∠PDM的对顶角是∠BDN，
故答案为：C．
【分析】 根据对顶角的定义，结合图形判断求解即可。
9．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的定义，符合题意的是选项C，
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离定义求解即可.
10．【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=60°
∴∠DOB=∠AOC=60°
又∵∠BOE=40°
∴∠DOE=∠DOB-∠BOE
=60°-40°
=20°
故答案为：C.
【分析】根据对顶角相等可求出∠DOB，又因为∠BOE=40°，进而可求出答案。
11．【答案】30°或70°.
【知识点】一元一次方程的其他应用；垂线
【解析】【解答】解：①如图，
∵2∠A-∠B＝30°，
∴设∠A=x，则∠B=2x-30°，
在四边形ADBC中， ∠A与∠B的两边互相垂直，
∴∠A+∠B+∠ACB+∠ADB=360°，
∴x+2x-30°+90°+90°=360°，
解得：x=70°，
∴∠A=70°；
②如图，
∵2∠A-∠B＝30°，
∴设∠A=x，则∠B=2x-30°，
∵∠A与∠B的两边互相垂直，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
在△ADE和△BCE中，
∴∠ADE=∠BCE，∠AED=∠BEC，
∴∠A=∠B，
∴x=2x-30°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°.
故答案为：30°或70°.
【分析】设∠A=x，则∠B=2x-30°，分两种情况：两个角相等和两个互补，列出方程求解即可.
12．【答案】20或32
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】根据题意可得，
(7x- 80)°=(100-2x)°或(7x- 80) °+(100-2x)°= 180° ，
解得x=20或x=32．
【分析】根据两直线相交形成四个角，其中的两个角可能是对顶角也有可能是邻补角，利用对顶角相等和邻补角互补即可求出x的两个值.
13．【答案】40°
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝65°，
∴∠AOD=2∠AOE＝130°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=50°，
∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°，
∴∠BOF=90°-∠BOD=40°，
故答案为：40°.
【分析】根据角平分线求出∠AOD=2∠AOE＝130°，再求出∠FOD=90°，最后计算求解即可。
14．【答案】126°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠3是54° ， ∠2的邻补角是∠3 ，
∴∠2=180°-54°=126°，
∵∠1的对顶角是∠2，
∴∠1=126°.
故答案为：126°.
【分析】根据邻补角的定义求出∠2度数，根据对顶角的性质求出∠1度数.
15．【答案】①②⑤
【知识点】对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：∵两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的两个角即为同位角，
∴∠1与∠3，∠3与∠5是两对同位角，故②正确，④错误；
∵两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，且夹在被截两直线之间的两个角即为内错角，
∴就图上标注的角而言，没有内错角，故③错误；
∵两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线之间的两个角即为同旁内角，
∴∠1与∠2，∠4与∠5是两对同旁内角，故①正确；
∵如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角即为对顶角，
∴∠2与∠4是一对对顶角，故⑤正确，
综上，正确的有①②⑤.
故答案为：①②⑤.
【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的两个角即为同位角；两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，且夹在被截两直线之间的两个角即为内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线之间的两个角即为同旁内角；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角即为对顶角，据此一一判断得出答案.
16．【答案】解：∵∠AOD=66°，
∴∠BOC=∠AOD=66°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=33°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°-33°=57°.
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由对顶角相等可得∠BOC=∠AOD，由角平分线定义可得∠BOE=∠BOC，然后由互为余角的定义可求解.
17．【答案】（1）10；20；；n(n-1)
（2）解：设直线的条数为x，
∴m=，n=x（x-1），
∴n=2m.
【知识点】相交线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）5条直线相交，最多有=10个交点；
5条直线相交，对顶角的对数为5×4=20；
n条直线相交，最多有个交点；
n条直线相交，对顶角的对数为n（n-1）；
故答案为：10；20；；n（n-1）；
【分析】 （1）利用n条直线相交，最多有个交点，对顶角的对数为n（n-1），把n=5代入进行计算，即可得出答案；
（2）设直线的条数为x，得出m=，n=x（x-1），即可得出n=2m.
18．【答案】（1）解：∵∠BOC= 130°，
∴∠AOD=∠BOC=130°，
∠BOD=180°-∠BOC=50°．
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=25°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE= 155°．
（2）解：①OF是∠AOD的平分线，理由如下：
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOE+∠AOF=90°．
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠DOE+∠AOF=90°．
∴∠DOE+∠DOF=90°，
∴∠AOF=∠DOF，
∴OF是∠AOD的平分线．
②∵，
∴设∠DOF=3x，则∠AOF=5x．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=5x，
∴∠DOE=2x．
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=4x，
∴5x+3x+4x=180°，
∴x=15°，
∴∠BOD=4x=60°．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据两直线相交，对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=130°，根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角叫做邻补角，互为邻补角的两个角相加的和为180°可求得∠BOD=50°；根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠DOE=25°，即可求解；
（2）①结合题意可得∠BOE+∠AOF=90°，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠BOE=∠DOE，推得∠DOE+∠DOF=90°，∠AOF=∠DOF，即可得到OF是∠AOD的平分线；
②设∠DOF=3x，则∠AOF=5x，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠AOF=∠EOF=5x，求得∠DOE=2x，∠BOD=4x，即可列方程求出x的值，即可求解.
19．【答案】（1）∠ BOC；∠ AOC，∠BOD
（2）解：∵∠DOF ：∠FOB=1 ： 7，∠AOD= 20° ，
∴∠DOF= ∠BOD= ×(180°- 20°)= 20°．
∴∠BOF=140°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE= ∠BOF= ×140°=70°，
∴∠EOC=∠BOE+∠BOC=70°+20°=90°．
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）∵AB和CD相交于点O，
∴∠AOD的对顶角是∠ BOC，
∴∠BOC的邻补角是∠ AOC，∠BOD.
【分析】（1）根据对顶角的概念（ 即如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角 ）和邻补角定义（ 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角 ）即可求出答案；
（2）利用已知条件求出∠DOF的度数，结合邻补角从而求出∠BOF的度数，根据角平分线定义求出∠BOE度数，从而知道∠EOC度数.
20．【答案】解：∵OE平分∠BON，
∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，
∴∠NOC＝180°﹣∠BON＝180°﹣40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°，
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝90°﹣40°＝50°，
所以∠NOC＝140°，∠AOM＝50°．
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】 因为OE平分∠BON，∠BON＝2∠EON，求得∠BON的度数，则根据邻补角的性质求得∠NOC的度数， 由于∠MOC和∠BON是对顶角，则∠MOC的度数可得，结合∠AOC＝90°，从而可求∠AOM的度数。
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时基础练习 5.1相交线
一、选择题
1．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（ ）
A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3
C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3
【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解： 同一平面内互不重合的3条直线的位置关系如下：
①互相平行，此种情况交点个数为0个；
②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；
③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；
④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个.
综上所述， 同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是0，1，2或3.
故答案为：C.
【分析】分类讨论：①互相平行，此种情况交点个数为0个；②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个，综上即可得出答案.
2．下列叙述中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、垂直、平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．长方形的一组对边是平行的
D．我们知道，对顶角是相等的；反之，相等的角就是对顶角
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系；平行线的定义与现象；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交与平行两种，故此选项错误，不符合题意；
B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故此选项错误，不符合题意；
C、 “长方形的一组对边是平行的”这个说法是正确的，故此选项正确，符合题意；
D、 我们知道，对顶角是相等的，但相等的角不一定是对顶角，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系有相交与平行两种，可判断A选项；根据同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，可判断B、C选项；根据两条直线相交所形成的四个角中，有公共顶点且一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，所以对顶角既有数量上的相等关系，还有特殊的位置关系，故 对顶角是相等的，但相等的角不一定是对顶角，据此可判断D选项.
3．（2023八上·孟村期中）点P在的平分线上，且点P到边的距离等于2，点Q是边上的任意一点，则的长不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：
P在的平分线上，点P到OA边的距离等于2
点P到OB边的距离也等于2
点P到OB上所有点的连线中，垂线段最短
PQ2
故PQ的长不可能是1
故答案为：A
【分析】根据角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等、直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短定理，可以得知PQ的长不可能比2小。
4．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角
【解析】【解答】解：根据同位角的定义可得D选项中的∠1与∠2不是同位角.
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截直线）的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可.
5．如图，与∠α构成同位角的角的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】同位角
【解析】【解答】解： ∠α与∠FAE是直线AE与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠FAC是直线AC与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠ACD是直线BF与AC被直线BD所截的一对同位角，
综上∠α的同位角有3个.
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截直线）的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可.
6．下列生活中的实例，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠．可用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路．可用的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一根木条固定到墙上需要两颗钉子．可用的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个物流仓库向高速公路修一条最短的马路．可用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】A
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，可用的数学原理是：垂线段最短，故A符合题意；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，可用的数学原理是：两点之间线段最短，故B不符合题意；
C、把一根木条固定到墙上需要两颗钉子，可用的数学原理是：两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、从一个物流仓库向高速公路修一条最短的马路，可用的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质逐项进行判断，即可得出答案.
7．如图，点O在直线DB上．已知∠1=15°，∠AOC=90°，则∠2的度数为（ ）
A．75°． B．15°． C．105°． D．165°．
【答案】C
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=15°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=75°，
∴∠2=180°-75°=105°.
故答案为：C.
【分析】先求出∠BOC的度数，再利用邻补角性质得出∠2=180°-∠BOC，即可得出答案.
8．（2023八上·江油开学考）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示.小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块.图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是 ( )
A．∠BCD B．∠FDB
C．∠BDN D．∠CDB
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】 解：观察图形可得：∠PDM的对顶角是∠BDN，
故答案为：C．
【分析】 根据对顶角的定义，结合图形判断求解即可。
9．（2023七下·西山期末）如图，是直线外一点，是线段的中点，连接，过点作，垂足为点，则点到直线的距离是（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的定义，符合题意的是选项C，
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离定义求解即可.
10．（2023七下·东城期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=60°
∴∠DOB=∠AOC=60°
又∵∠BOE=40°
∴∠DOE=∠DOB-∠BOE
=60°-40°
=20°
故答案为：C.
【分析】根据对顶角相等可求出∠DOB，又因为∠BOE=40°，进而可求出答案。
二、填空题
11．（2023八上·自贡开学考）已知∠A与∠B的两边互相垂直，且2∠A-∠B＝30°，则∠A的度数为 ．
【答案】30°或70°.
【知识点】一元一次方程的其他应用；垂线
【解析】【解答】解：①如图，
∵2∠A-∠B＝30°，
∴设∠A=x，则∠B=2x-30°，
在四边形ADBC中， ∠A与∠B的两边互相垂直，
∴∠A+∠B+∠ACB+∠ADB=360°，
∴x+2x-30°+90°+90°=360°，
解得：x=70°，
∴∠A=70°；
②如图，
∵2∠A-∠B＝30°，
∴设∠A=x，则∠B=2x-30°，
∵∠A与∠B的两边互相垂直，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
在△ADE和△BCE中，
∴∠ADE=∠BCE，∠AED=∠BEC，
∴∠A=∠B，
∴x=2x-30°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°.
故答案为：30°或70°.
【分析】设∠A=x，则∠B=2x-30°，分两种情况：两个角相等和两个互补，列出方程求解即可.
12．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(7x- 80)°和(100-2x)°，则x=
【答案】20或32
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】根据题意可得，
(7x- 80)°=(100-2x)°或(7x- 80) °+(100-2x)°= 180° ，
解得x=20或x=32．
【分析】根据两直线相交形成四个角，其中的两个角可能是对顶角也有可能是邻补角，利用对顶角相等和邻补角互补即可求出x的两个值.
13．（2023七下·官渡期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是 ．
【答案】40°
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝65°，
∴∠AOD=2∠AOE＝130°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=50°，
∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°，
∴∠BOF=90°-∠BOD=40°，
故答案为：40°.
【分析】根据角平分线求出∠AOD=2∠AOE＝130°，再求出∠FOD=90°，最后计算求解即可。
14．（2023七上·南岗开学考）若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，且∠3是54°，则∠1＝ ．
【答案】126°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠3是54° ， ∠2的邻补角是∠3 ，
∴∠2=180°-54°=126°，
∵∠1的对顶角是∠2，
∴∠1=126°.
故答案为：126°.
【分析】根据邻补角的定义求出∠2度数，根据对顶角的性质求出∠1度数.
15．（2023七下·紫阳期末）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号）
【答案】①②⑤
【知识点】对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：∵两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的两个角即为同位角，
∴∠1与∠3，∠3与∠5是两对同位角，故②正确，④错误；
∵两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，且夹在被截两直线之间的两个角即为内错角，
∴就图上标注的角而言，没有内错角，故③错误；
∵两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线之间的两个角即为同旁内角，
∴∠1与∠2，∠4与∠5是两对同旁内角，故①正确；
∵如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角即为对顶角，
∴∠2与∠4是一对对顶角，故⑤正确，
综上，正确的有①②⑤.
故答案为：①②⑤.
【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的两个角即为同位角；两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，且夹在被截两直线之间的两个角即为内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线之间的两个角即为同旁内角；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角即为对顶角，据此一一判断得出答案.
三、解答题
16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，且∠AOD=66°．求∠BOF的度数．
【答案】解：∵∠AOD=66°，
∴∠BOC=∠AOD=66°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=33°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°-33°=57°.
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由对顶角相等可得∠BOC=∠AOD，由角平分线定义可得∠BOE=∠BOC，然后由互为余角的定义可求解.
17．观察下列图形，阅读图形下面的相关文字，并解答：
（1）填空：
直线条数 最多交点个数 对顶角的对数
2 1 2
3 3 6
4 6 12
5
……
n
（2）当若干条直线相交时，设最多交点个数为m，对顶角对数为n，则m与n有何关系？
【答案】（1）10；20；；n(n-1)
（2）解：设直线的条数为x，
∴m=，n=x（x-1），
∴n=2m.
【知识点】相交线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）5条直线相交，最多有=10个交点；
5条直线相交，对顶角的对数为5×4=20；
n条直线相交，最多有个交点；
n条直线相交，对顶角的对数为n（n-1）；
故答案为：10；20；；n（n-1）；
【分析】 （1）利用n条直线相交，最多有个交点，对顶角的对数为n（n-1），把n=5代入进行计算，即可得出答案；
（2）设直线的条数为x，得出m=，n=x（x-1），即可得出n=2m.
18． 直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）如图1，若∠BOC=130°，求∠AOE的度数．
（2）如图2，射线OF在∠AOD内部．
①若OF⊥OE，判断OF是不是∠AOD的平分线，并说明理由．
②若OF平分∠AOE，∠AOF=∠DOF，求∠BOD的度数．
【答案】（1）解：∵∠BOC= 130°，
∴∠AOD=∠BOC=130°，
∠BOD=180°-∠BOC=50°．
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=25°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE= 155°．
（2）解：①OF是∠AOD的平分线，理由如下：
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOE+∠AOF=90°．
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠DOE+∠AOF=90°．
∴∠DOE+∠DOF=90°，
∴∠AOF=∠DOF，
∴OF是∠AOD的平分线．
②∵，
∴设∠DOF=3x，则∠AOF=5x．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=5x，
∴∠DOE=2x．
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=4x，
∴5x+3x+4x=180°，
∴x=15°，
∴∠BOD=4x=60°．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据两直线相交，对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=130°，根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角叫做邻补角，互为邻补角的两个角相加的和为180°可求得∠BOD=50°；根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠DOE=25°，即可求解；
（2）①结合题意可得∠BOE+∠AOF=90°，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠BOE=∠DOE，推得∠DOE+∠DOF=90°，∠AOF=∠DOF，即可得到OF是∠AOD的平分线；
②设∠DOF=3x，则∠AOF=5x，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠AOF=∠EOF=5x，求得∠DOE=2x，∠BOD=4x，即可列方程求出x的值，即可求解.
19． 如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分∠BOF．
（1）∠AOD的对顶角是 ，∠BOC的邻补角是
（2）若∠AOD=20°，∠DOF ：∠FOB=1：7，求∠EOC的度数．
【答案】（1）∠ BOC；∠ AOC，∠BOD
（2）解：∵∠DOF ：∠FOB=1 ： 7，∠AOD= 20° ，
∴∠DOF= ∠BOD= ×(180°- 20°)= 20°．
∴∠BOF=140°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE= ∠BOF= ×140°=70°，
∴∠EOC=∠BOE+∠BOC=70°+20°=90°．
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）∵AB和CD相交于点O，
∴∠AOD的对顶角是∠ BOC，
∴∠BOC的邻补角是∠ AOC，∠BOD.
【分析】（1）根据对顶角的概念（ 即如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角 ）和邻补角定义（ 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角 ）即可求出答案；
（2）利用已知条件求出∠DOF的度数，结合邻补角从而求出∠BOF的度数，根据角平分线定义求出∠BOE度数，从而知道∠EOC度数.
20．（2019七下·来宾期末）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
【答案】解：∵OE平分∠BON，
∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，
∴∠NOC＝180°﹣∠BON＝180°﹣40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°，
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝90°﹣40°＝50°，
所以∠NOC＝140°，∠AOM＝50°．
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】 因为OE平分∠BON，∠BON＝2∠EON，求得∠BON的度数，则根据邻补角的性质求得∠NOC的度数， 由于∠MOC和∠BON是对顶角，则∠MOC的度数可得，结合∠AOC＝90°，从而可求∠AOM的度数。
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