人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 5.2平行线及其判定
一、选择题
1．（2023七下·上虞期末）如图，已知，点E为上方一点，、分别为，的角平分线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，过G作GM∥AB，则∠2=∠5，
∵AB∥CD，GM∥AB，
∴MG∥CD，∠ENB=∠EHD，
∴∠6=∠4，
∴∠FGH=∠5+∠6=∠2+∠4，
∵ FB、HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，
∴∠1=∠2=∠ EFG，∠ 3= ∠4=∠ EHD，
∵，
∴∠E+2(∠2+∠4)=∠E+2∠2+∠EHD=135°，
即∠E+2∠2+∠ENB=135°，
∵∠1=∠ENB+∠E，
∴∠ENB=∠1-∠E=∠2-∠E，
∴∠E+2∠2+∠2-∠E=135°，则∠2=45°，
∴∠EFG=2∠2=90°，
故答案为：B.
【分析】过G作GM∥AB，由平行同一直线的两条直线互相平行得MG∥CD，由平行线性质推出∠FGH=∠2+∠4，∠ENB=∠EHD，再根据角平分线的定义和三角形的外角性质推导出∠E+2∠2+∠2-∠E=135°，则∠2=45°进而求解即可.
2．（2023七下·揭西月考）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三龟板，三角板绕点在平面内旋转，当（ ）时，．
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】①如图，当时，
；
②如图，当时，
，
.
故答案为：C.
【分析】如图，分为两种情况，根据 ，并利用平行线的性质得到.
3．（2023七下·南宁月考）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．α+β-γ＝90° B．β＝α+γ
C．α+β+γ＝180° D．β+γ-α＝90°
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：过点C作CG∥AB，延长CD交EF于点H，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CG，
∴∠AMC=∠MCG=α，∠GCH=∠EHD=90°-∠MCG=90°-α，
∵∠NDH=180°-β，∠NDH=180°-∠EHD-∠γ，
∴180°-β=180°-∠EHD-∠γ
∴180°-β=180°-（90°-α）-∠γ，
∴α+β-γ＝90° .
故答案为：A
【分析】过点C作CG∥AB，延长CD交EF于点H，可推出AB∥EF∥CG，利用平行线的性质可证得∠AMC=∠MCG=α，∠GCH=∠EHD=90°-α，利用邻补角的定义和三角形的内角和定理可得到180°-β=180°-∠EHD-∠γ，据此可得到α、β、γ的关系.
4．（2022七下·仪征期末）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，//，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得，
又∵，
∴∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③正确.
故答案为：A.
【分析】①如图1，根据平行线的性质可得∠AOC=∠DCE1=β，然后根据外角的性质进行计算；
②如图2，过E2作AB平行线，根据平行线的性质可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，然后根据角的和差关系进行计算；
③如图3，根据平行线的性质可得∠BOE3=∠DCE3=β，然后根据外角的性质进行计算；
④如图4，由平行线性质得∠BAC+∠DCA=180°，由内角和定理得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，据此计算；当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC的度数，据此判断；
⑤⑥当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
5．（2022七下·仙居期中）如图a∥b，与相交，与相交，下列说法：
①若，则；
②若，则c∥d；
③；
④，
正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图：
①若∠1=∠2，则a//e//b，则∠3=∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4=180°，由a//b得到，∠5+∠4=180°，则∠1=∠5，则c//d；故此说法正确；
③由a//b得到，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180° ∠1=360°得，∠2+∠3+180° ∠4+180° ∠1=360°，则∠4 ∠2=∠3 ∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故此说法错误.
综上，正确的有①②③.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定及平行线公理的推论，可证得a//e//b，再利用平行线的性质可推出∠3=∠4，可对①作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠5，由此可推出c∥d，可对②作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用四边形的内角和等于360°，可推出∠4 ∠2=∠3 ∠1，可对③作出判断；由题意可知，∠1+∠4=∠2+∠3=180°，才能得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
6．（2022七下·杭州月考）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点 (点E不在直线AB，CD，AC上)，设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：
①α＋β，②α－β，③β－α，④360°－α－β，
则∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，当点E在直线AC的右侧，在直线AB，CD之间时，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE=∠AEF=α，∠DCE=∠CEF=β，
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF
∴∠AEC=α＋β，故①符合题意；
当点E在直线AC的左侧，在直线AB，CD之间时，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE+∠AEF=180°，∠DCE+∠CEF=180°，
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF
∴∠BAE+∠AEF+∠DCE+∠CEF=360°=α+∠AEC+β，
∴∠AEC=360°-α-β，故④符合题意；
当点E在直线AB下方时，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DFE，
∵∠DFE=∠AEC+∠DCE
∴α=∠AEC+β
∴∠AEC= α－β 故②符合题意；
当点E在AB上方时
∵AB∥CD，
∴∠BFE=∠DCE=β，
∵∠BFE=∠BAE+∠AEC
∴∠AEC=β- α ，故④符合题意；
∴∠AEC的度数可能是①②③④ .
故答案为：D.
【分析】利用点E的位置分情况讨论：当点E在直线AC的右侧，在直线AB，CD之间时，过点E作EF∥AB，利用同平行于一条直线的两直线平行，可证得∠BAE=∠AEF=α，∠DCE=∠CEF=β，∠AEC=∠AEF+∠CEF，代入可对①作出判断；当点E在直线AC的左侧，在直线AB，CD之间时，过点E作EF∥AB，利用同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EF，利用平行线的性质可推出∠BAE+∠AEF=180°，∠DCE+∠CEF=180°；再根据∠AEC=∠AEF+∠CEF，可得到∠AEC=360°-α-β，可对④作出判断；当点E在直线AB下方时，利用平行线的性质可证得∠BAE=∠DFE，再根据∠DFE=∠AEC+∠DCE，可得到α=∠AEC+β ，可对②作出判断；当点E在AB上方时，利用平行线的性质可得到∠BFE=∠DCE=β，再由∠BFE=∠BAE+∠AEC，代入可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
7．（2020七下·武汉期末）如图，AB∥EF，∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过C作CQ∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CQ，
∴∠ABC＋∠BCQ＝180°，∠EFC＋∠FCQ＝180°，
∴∠ABC＋∠BCF＋∠EFC＝360°，
∵∠FCD＝60°，
∴∠BCF＝120°，
∴∠ABC＋∠EFC＝360°﹣120°＝240°，
∵∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，
∴∠ABP＋∠PFE＝60°，
∴∠P＝60°.
故答案为：A.
【分析】过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可.
8．（2019七下·新华期末）如图，在 中， ， 是 内角 的平分线， 是 外角 的平分线， 是 外角 的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 平分
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】A. ∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故A不符合题意.
B. 由(1)可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故B不符合题意.
C. 在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90° ∠ABD，
故C不符合题意；
D. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90° ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论符合题意．
B、由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB，
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；
D、由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBC，由于∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，得到∠ADB不等于∠CDB，故不符合题意．
9．学习了“平行线”后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的(如图①～④)：
从图中可知，张明画平行线的依据有（ ）
（1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等；
（3）同位角相等，两直线平行； （4）内错角相等，两直线平行．
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）
【答案】D
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合图形的特征、折叠的性质求解即可.
【解答】如图
由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；
可知张明画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行
故选D.
10．（2022七下·黄陂期末）如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，作NE∥AB，MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MF∥EN
得 ， ， ， ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点M和点N分别作NE∥AB，MF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥MF∥EN，根据平行线的性质可得∠BMF=∠ABM，∠FMD=∠CDM，∠BNE=180°-(∠ABM+∠NBM)，∠END=180°-(∠CDM+∠MDN)，则∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BND=360°(∠ABM+∠CDM+∠MBN+∠MDN)，结合已知条件可得∠BND=360°-(∠ABM+∠CDM)，化简即可.
二、填空题
11．如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，已知∠DBC=20°，当∠BAF= 度时，才能使AB'∥BD．
【答案】55
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠DBC=20°（同角的余角相等），
∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B'处，
∴∠BAF=∠B'AF，
∵要使AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，
∴∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，
∴∠BAF=∠B'AF=∠BAB'=55°.
故答案为：55.
【分析】由矩形的性质及同角的余角相等得∠ADB=∠DBC=20°，根据折叠的性质得到∠BAF=∠B'AF，要AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，从而得到∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，即可求出∠BAF.
12．（2023七下·海州期中）如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则 °．
【答案】30
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPQ+∠FPQ=∠EPF，
∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠FPG，
∴∠AEP=2∠FPG-∠CFP，
∵∠DGP-∠PFH=120°，∠DGP=∠FPG+∠PFH+∠HFG，
∴∠HFG=120°-∠FPG，
∵FH⊥PG，
∴∠PFH=90°-∠FPG，
∴∠CFP=180°-∠PFH-∠HFG=2∠PFG-30°，
∴∠AEP=2∠FPG-∠CFP=30°.
故答案为：30.
【分析】过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，结合角平分线的定义得∠AEP=2∠FPG-∠CFP，根据三角形外角相等及已知条件∠DGP-∠PFH=120°，得∠HFG=120°-∠FPG，由垂直的定义及三角形的内角和定理得∠PFH=90°-∠FPG，进而根据平角定义得∠CFP=180°=2∠PFG-30°，从而即可解决此题.
13．（2023七下·杭州期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．
【答案】70°或110°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，
由折叠知，∠K=∠P=90°，∠ENM=90°，
∵PK∥MN，
∴∠K=∠Q=90°，
∴∠ENM=∠Q，
∴EN∥KH，
∵∠EFC=35°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=35°，
∴∠AEN=70°，
又∵EN∥KH，
∴∠AHQ=∠AEN=70°，
∵∠KHD=∠AHQ，
∴∠KHD=70°；
如图，当PK在AD下方时，延长HK、MN交于点T，
由折叠知∠HKP=90°，∠MNE=90°，
∵MN∥KP，
∴∠T=∠TKP=90°，
∴∠ENM=∠T=90°，
∴EN∥KH，
∵∠EFC=35°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=35°，
∴∠AEN=70°，
又∵EN∥HK，
∴∠AHK=∠AEN=70°，
∴∠KHD=180°-∠AHK=110°，
综上∠KHD的度数为70°或110°.
故答案为：70°或110°.
【分析】分两种情况讨论：①如图，当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，证明EN∥KH，则∠KHD=∠AEN；②如图，当PK在AD下方时，延长HK、MN交于点T，证明EN∥KH，则∠KHD=180°-∠AEN.
14．（2022七下·青山期中）如图，已知AB∥CD，E、F、H分别为AB、CD、AC上一点（∠DFK＜∠BEK），KG平分∠EKF，∠AEK＋∠HKE＝180°．则下列结论：①CD∥KH；②∠BEK＋∠DFK＝2∠EKG；③∠BEK－∠DFK＝∠GKH；④∠BAC＋∠AGK－∠GKF＋∠DFK＝180°．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AEK+∠HKE=180°，
∴AB∥KH，
∵AB∥CD，
∴CD∥KH，故①正确；
∵AB∥KH，CD∥KH，
∴∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠HKF，
∴∠BEK+∠DFK=∠EKH+∠HKF=∠EKF，
∵KG平分∠EKG，
∴∠EKF=2∠EKG，
∴∠BEK+∠DFK=2∠EKG，故②正确；
根据题意得：∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠FKH，
∵KG平分∠EKF，
∴∠FKG=∠EKG，
∵∠FKG=∠FKH+∠GKH=∠DFK+∠GKH，∠EKG=∠BKH-∠GKH=∠BEK-∠GKH
∴∠BEK-∠GKH=∠DFK+∠GKH，
∴∠BEK-∠DFK=2∠GKH≠∠GKH，故③不正确；
根据题意得：∠BAC+∠AGK=∠BAC+∠GKH+∠KHG，
∴∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKF+∠DFK=∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKH-∠HKF+∠DFK，
将上式进行整理，得∠BAC+∠KHG-∠HKF+∠DFK=∠BAC+∠KHG=180°，
∴∠BAC+∠AGK-∠GKF+∠DFK=180°，故④正确，
综上所述，①②④正确.
故答案为：①②④.
【分析】由∠AEK+∠HKE=180°推出AB∥KH，利用平行公理及推论可判断①；根据平行线的性质得∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠HKF，则∠BEK+∠DFK=∠EKF，由角平分线的概念得∠EKF=2∠EKG，据此判断②；易得∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠FKH，由角平分线得∠FKG=∠EKG，结合角的和差关系可得∠BEK-∠GKH=∠DFK+∠GKH，进而判断③；根据题意得∠BAC+∠AGK=∠BAC+∠GKH+∠KHG，则∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKF+∠DFK=∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKH-∠HKF+∠DFK，进而判断④.
15．（2021七下·青羊期末）如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ .
【答案】92°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，延长AB交PD于点M，过点C作CN∥AB，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，
∴设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，
∴∠MBP＝∠ABF＝x，
∵AB∥DE，
∴∠AMD＝∠EDP＝y，
∵∠AMD＝∠BPD＋∠MBP，∠BPD＝44°，
∴y＝44°＋x，
∴y－x＝44°，
∵AB∥DE，CN∥AB，
∴CN∥DE，
∴∠CDE＋∠NCD＝180°，
∴∠NCD＝180°－∠CDE＝180°－2y，
∵CN∥AB，
∴∠NCB＝∠ABC＝2x，
∴∠BCD＝∠NCD＋∠NCB
＝180°－2y＋2x
＝180°－2（y－x）
＝180°－2×44°
＝92°，
故答案为：92°.
【分析】延长AB交PD与点M，过点C作CN∥AB，利用角平分线的定义可设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，可得到∠MBP＝∠ABF＝x；再利用平行线的性质表示出∠AMD的度数，利用三角形的外角的性质可用含x的代数式表示出y；利用两直线平行，同旁内角互补，可表示出∠NCD的度数，同时可表示出∠NCB的度数；然后根据∠BCD＝∠NCD＋∠NCB，代入计算求出∠C的度数.
三、解答题
16．（2023七下·台江期末）如图1，已知，，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求，的度数；
（3）如图（2），求，的度数（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）解：．理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点E作EF∥AC，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
（3）解：如图，过点E作EF∥AC，而AC∥BC，
∴，
∴，，
∵，
∴，①
又②
联立①②
解得，．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）AC∥BD，理由如下：根据∠A与∠B的度数可得∠A+∠B=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行可得结论；
（2）过点E作EF∥AC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AC∥EF∥BD，由二直线平行，内错角相等得∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，从而可得∠C+∠D=80°，进而结合2∠C-∠D=10°可求出∠C与∠D的度数；
（3）过点E作EF∥AC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AC∥EF∥BD，由二直线平行，内错角相等得∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，从而可得∠D-∠C=80°，进而结合2∠C-∠D=m°可求出∠C与∠D的度数.
17．（2023七下·南宁期末）已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若，求的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示的补角．
【答案】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质、内错角性质、补角的定义、角平分线定义等，
（1）作直线EG∥CD，根据内错角相等，得出，，再根据 即可算出 的 度数；
（2）作直线HF∥DC，由角平分线的定义可知∠ABF=32°，∠CDF=36°，再根据内错角相等即可求解；
（3）作直线FQ∥CD，结合（1）、（2）的方法即可求解.
18．（2023七下·石家庄期中）已知：如图，，，，，求证：．
证明：∵，（已知）
∴，（垂直定义）
∴
∴（ ）
∴ ▲ （ ）
∵（已知）
∴ ▲ （等量代换）
∴（ ）
∴ ▲ （ ）
∵（已知）
∴（垂直定义）
∴ ▲ （等量代换）
∴（垂直定义）
【答案】解：证明：∵，（已知）
∴，（垂直定义）
∴
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（垂直定义）
∴（等量代换）
∴（垂直定义）
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【分析】利用两直线平行的判定与性质，两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等以及垂直定义.
19．如图，AB∥CD．证明：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G．
【答案】证明：作EM∥AB，FN∥AB，GK∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥ME∥FN∥GK∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，
∴∠B+∠3+∠4+∠D=∠1+∠2+∠5+∠6，
又∵∠E+ ∠G=∠1+∠2+∠5+∠6，
∠B+ ∠F+ ∠D=∠B+ ∠3+∠4+ ∠D，
∴∠B+ ∠F+ ∠D=∠E+ ∠G.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】作EM∥AB，FN∥AB，GK∥AB，根据平行公理及推论可得AB∥ME∥FN∥GK∥CD，再由平行线性质得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，相加即可得证.
20．如图所示，∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F,问CE与DF的位置关系？试说明理由。
【答案】.CE∥DF.
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠DBF=1／2∠ABC, ∠ECB=1／2∠ACB,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠DBF=∠ECB.
∵∠DBF=∠F,
∴∠ECB=∠F. ∠CE∥DF（同位角相等，两直线平行).
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠DBF=1／2∠ABC, ∠ECB=1／2∠ACB,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠DBF=∠ECB.
∵∠DBF=∠F,
∴∠ECB=∠F. ∠CE∥DF同位角相等，两直线平行).
【分析】要证平行可寻找题目中有没有同位角或内错角或同旁内角，然后学会等量代换，推理论证。
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 5.2平行线及其判定
一、选择题
1．（2023七下·上虞期末）如图，已知，点E为上方一点，、分别为，的角平分线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·揭西月考）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三龟板，三角板绕点在平面内旋转，当（ ）时，．
A． B．或 C．或 D．或
3．（2023七下·南宁月考）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．α+β-γ＝90° B．β＝α+γ
C．α+β+γ＝180° D．β+γ-α＝90°
4．（2022七下·仪征期末）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，//，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．（2022七下·仙居期中）如图a∥b，与相交，与相交，下列说法：
①若，则；
②若，则c∥d；
③；
④，
正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
6．（2022七下·杭州月考）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点 (点E不在直线AB，CD，AC上)，设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：
①α＋β，②α－β，③β－α，④360°－α－β，
则∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
7．（2020七下·武汉期末）如图，AB∥EF，∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
8．（2019七下·新华期末）如图，在 中， ， 是 内角 的平分线， 是 外角 的平分线， 是 外角 的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 平分
9．学习了“平行线”后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的(如图①～④)：
从图中可知，张明画平行线的依据有（ ）
（1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等；
（3）同位角相等，两直线平行； （4）内错角相等，两直线平行．
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）
10．（2022七下·黄陂期末）如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，已知∠DBC=20°，当∠BAF= 度时，才能使AB'∥BD．
12．（2023七下·海州期中）如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则 °．
13．（2023七下·杭州期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．
14．（2022七下·青山期中）如图，已知AB∥CD，E、F、H分别为AB、CD、AC上一点（∠DFK＜∠BEK），KG平分∠EKF，∠AEK＋∠HKE＝180°．则下列结论：①CD∥KH；②∠BEK＋∠DFK＝2∠EKG；③∠BEK－∠DFK＝∠GKH；④∠BAC＋∠AGK－∠GKF＋∠DFK＝180°．其中正确的是 ．（填序号）
15．（2021七下·青羊期末）如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ .
三、解答题
16．（2023七下·台江期末）如图1，已知，，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求，的度数；
（3）如图（2），求，的度数（用含m的代数式表示）．
17．（2023七下·南宁期末）已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若，求的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示的补角．
18．（2023七下·石家庄期中）已知：如图，，，，，求证：．
证明：∵，（已知）
∴，（垂直定义）
∴
∴（ ）
∴ ▲ （ ）
∵（已知）
∴ ▲ （等量代换）
∴（ ）
∴ ▲ （ ）
∵（已知）
∴（垂直定义）
∴ ▲ （等量代换）
∴（垂直定义）
19．如图，AB∥CD．证明：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G．
20．如图所示，∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F,问CE与DF的位置关系？试说明理由。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，过G作GM∥AB，则∠2=∠5，
∵AB∥CD，GM∥AB，
∴MG∥CD，∠ENB=∠EHD，
∴∠6=∠4，
∴∠FGH=∠5+∠6=∠2+∠4，
∵ FB、HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，
∴∠1=∠2=∠ EFG，∠ 3= ∠4=∠ EHD，
∵，
∴∠E+2(∠2+∠4)=∠E+2∠2+∠EHD=135°，
即∠E+2∠2+∠ENB=135°，
∵∠1=∠ENB+∠E，
∴∠ENB=∠1-∠E=∠2-∠E，
∴∠E+2∠2+∠2-∠E=135°，则∠2=45°，
∴∠EFG=2∠2=90°，
故答案为：B.
【分析】过G作GM∥AB，由平行同一直线的两条直线互相平行得MG∥CD，由平行线性质推出∠FGH=∠2+∠4，∠ENB=∠EHD，再根据角平分线的定义和三角形的外角性质推导出∠E+2∠2+∠2-∠E=135°，则∠2=45°进而求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】①如图，当时，
；
②如图，当时，
，
.
故答案为：C.
【分析】如图，分为两种情况，根据 ，并利用平行线的性质得到.
3．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：过点C作CG∥AB，延长CD交EF于点H，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CG，
∴∠AMC=∠MCG=α，∠GCH=∠EHD=90°-∠MCG=90°-α，
∵∠NDH=180°-β，∠NDH=180°-∠EHD-∠γ，
∴180°-β=180°-∠EHD-∠γ
∴180°-β=180°-（90°-α）-∠γ，
∴α+β-γ＝90° .
故答案为：A
【分析】过点C作CG∥AB，延长CD交EF于点H，可推出AB∥EF∥CG，利用平行线的性质可证得∠AMC=∠MCG=α，∠GCH=∠EHD=90°-α，利用邻补角的定义和三角形的内角和定理可得到180°-β=180°-∠EHD-∠γ，据此可得到α、β、γ的关系.
4．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得，
又∵，
∴∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③正确.
故答案为：A.
【分析】①如图1，根据平行线的性质可得∠AOC=∠DCE1=β，然后根据外角的性质进行计算；
②如图2，过E2作AB平行线，根据平行线的性质可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，然后根据角的和差关系进行计算；
③如图3，根据平行线的性质可得∠BOE3=∠DCE3=β，然后根据外角的性质进行计算；
④如图4，由平行线性质得∠BAC+∠DCA=180°，由内角和定理得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，据此计算；当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC的度数，据此判断；
⑤⑥当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
5．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图：
①若∠1=∠2，则a//e//b，则∠3=∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4=180°，由a//b得到，∠5+∠4=180°，则∠1=∠5，则c//d；故此说法正确；
③由a//b得到，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180° ∠1=360°得，∠2+∠3+180° ∠4+180° ∠1=360°，则∠4 ∠2=∠3 ∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故此说法错误.
综上，正确的有①②③.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定及平行线公理的推论，可证得a//e//b，再利用平行线的性质可推出∠3=∠4，可对①作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠5，由此可推出c∥d，可对②作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用四边形的内角和等于360°，可推出∠4 ∠2=∠3 ∠1，可对③作出判断；由题意可知，∠1+∠4=∠2+∠3=180°，才能得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
6．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，当点E在直线AC的右侧，在直线AB，CD之间时，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE=∠AEF=α，∠DCE=∠CEF=β，
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF
∴∠AEC=α＋β，故①符合题意；
当点E在直线AC的左侧，在直线AB，CD之间时，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE+∠AEF=180°，∠DCE+∠CEF=180°，
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF
∴∠BAE+∠AEF+∠DCE+∠CEF=360°=α+∠AEC+β，
∴∠AEC=360°-α-β，故④符合题意；
当点E在直线AB下方时，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DFE，
∵∠DFE=∠AEC+∠DCE
∴α=∠AEC+β
∴∠AEC= α－β 故②符合题意；
当点E在AB上方时
∵AB∥CD，
∴∠BFE=∠DCE=β，
∵∠BFE=∠BAE+∠AEC
∴∠AEC=β- α ，故④符合题意；
∴∠AEC的度数可能是①②③④ .
故答案为：D.
【分析】利用点E的位置分情况讨论：当点E在直线AC的右侧，在直线AB，CD之间时，过点E作EF∥AB，利用同平行于一条直线的两直线平行，可证得∠BAE=∠AEF=α，∠DCE=∠CEF=β，∠AEC=∠AEF+∠CEF，代入可对①作出判断；当点E在直线AC的左侧，在直线AB，CD之间时，过点E作EF∥AB，利用同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EF，利用平行线的性质可推出∠BAE+∠AEF=180°，∠DCE+∠CEF=180°；再根据∠AEC=∠AEF+∠CEF，可得到∠AEC=360°-α-β，可对④作出判断；当点E在直线AB下方时，利用平行线的性质可证得∠BAE=∠DFE，再根据∠DFE=∠AEC+∠DCE，可得到α=∠AEC+β ，可对②作出判断；当点E在AB上方时，利用平行线的性质可得到∠BFE=∠DCE=β，再由∠BFE=∠BAE+∠AEC，代入可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
7．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过C作CQ∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CQ，
∴∠ABC＋∠BCQ＝180°，∠EFC＋∠FCQ＝180°，
∴∠ABC＋∠BCF＋∠EFC＝360°，
∵∠FCD＝60°，
∴∠BCF＝120°，
∴∠ABC＋∠EFC＝360°﹣120°＝240°，
∵∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，
∴∠ABP＋∠PFE＝60°，
∴∠P＝60°.
故答案为：A.
【分析】过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】A. ∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故A不符合题意.
B. 由(1)可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故B不符合题意.
C. 在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90° ∠ABD，
故C不符合题意；
D. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90° ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论符合题意．
B、由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB，
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；
D、由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBC，由于∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，得到∠ADB不等于∠CDB，故不符合题意．
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合图形的特征、折叠的性质求解即可.
【解答】如图
由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；
可知张明画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行
故选D.
10．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，作NE∥AB，MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MF∥EN
得 ， ， ， ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点M和点N分别作NE∥AB，MF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥MF∥EN，根据平行线的性质可得∠BMF=∠ABM，∠FMD=∠CDM，∠BNE=180°-(∠ABM+∠NBM)，∠END=180°-(∠CDM+∠MDN)，则∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BND=360°(∠ABM+∠CDM+∠MBN+∠MDN)，结合已知条件可得∠BND=360°-(∠ABM+∠CDM)，化简即可.
11．【答案】55
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠DBC=20°（同角的余角相等），
∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B'处，
∴∠BAF=∠B'AF，
∵要使AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，
∴∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，
∴∠BAF=∠B'AF=∠BAB'=55°.
故答案为：55.
【分析】由矩形的性质及同角的余角相等得∠ADB=∠DBC=20°，根据折叠的性质得到∠BAF=∠B'AF，要AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，从而得到∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，即可求出∠BAF.
12．【答案】30
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPQ+∠FPQ=∠EPF，
∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠FPG，
∴∠AEP=2∠FPG-∠CFP，
∵∠DGP-∠PFH=120°，∠DGP=∠FPG+∠PFH+∠HFG，
∴∠HFG=120°-∠FPG，
∵FH⊥PG，
∴∠PFH=90°-∠FPG，
∴∠CFP=180°-∠PFH-∠HFG=2∠PFG-30°，
∴∠AEP=2∠FPG-∠CFP=30°.
故答案为：30.
【分析】过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，结合角平分线的定义得∠AEP=2∠FPG-∠CFP，根据三角形外角相等及已知条件∠DGP-∠PFH=120°，得∠HFG=120°-∠FPG，由垂直的定义及三角形的内角和定理得∠PFH=90°-∠FPG，进而根据平角定义得∠CFP=180°=2∠PFG-30°，从而即可解决此题.
13．【答案】70°或110°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，
由折叠知，∠K=∠P=90°，∠ENM=90°，
∵PK∥MN，
∴∠K=∠Q=90°，
∴∠ENM=∠Q，
∴EN∥KH，
∵∠EFC=35°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=35°，
∴∠AEN=70°，
又∵EN∥KH，
∴∠AHQ=∠AEN=70°，
∵∠KHD=∠AHQ，
∴∠KHD=70°；
如图，当PK在AD下方时，延长HK、MN交于点T，
由折叠知∠HKP=90°，∠MNE=90°，
∵MN∥KP，
∴∠T=∠TKP=90°，
∴∠ENM=∠T=90°，
∴EN∥KH，
∵∠EFC=35°，AD∥BC
∴∠AEF=∠EFC=35°，
∴∠AEN=70°，
又∵EN∥HK，
∴∠AHK=∠AEN=70°，
∴∠KHD=180°-∠AHK=110°，
综上∠KHD的度数为70°或110°.
故答案为：70°或110°.
【分析】分两种情况讨论：①如图，当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，证明EN∥KH，则∠KHD=∠AEN；②如图，当PK在AD下方时，延长HK、MN交于点T，证明EN∥KH，则∠KHD=180°-∠AEN.
14．【答案】①②④
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AEK+∠HKE=180°，
∴AB∥KH，
∵AB∥CD，
∴CD∥KH，故①正确；
∵AB∥KH，CD∥KH，
∴∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠HKF，
∴∠BEK+∠DFK=∠EKH+∠HKF=∠EKF，
∵KG平分∠EKG，
∴∠EKF=2∠EKG，
∴∠BEK+∠DFK=2∠EKG，故②正确；
根据题意得：∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠FKH，
∵KG平分∠EKF，
∴∠FKG=∠EKG，
∵∠FKG=∠FKH+∠GKH=∠DFK+∠GKH，∠EKG=∠BKH-∠GKH=∠BEK-∠GKH
∴∠BEK-∠GKH=∠DFK+∠GKH，
∴∠BEK-∠DFK=2∠GKH≠∠GKH，故③不正确；
根据题意得：∠BAC+∠AGK=∠BAC+∠GKH+∠KHG，
∴∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKF+∠DFK=∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKH-∠HKF+∠DFK，
将上式进行整理，得∠BAC+∠KHG-∠HKF+∠DFK=∠BAC+∠KHG=180°，
∴∠BAC+∠AGK-∠GKF+∠DFK=180°，故④正确，
综上所述，①②④正确.
故答案为：①②④.
【分析】由∠AEK+∠HKE=180°推出AB∥KH，利用平行公理及推论可判断①；根据平行线的性质得∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠HKF，则∠BEK+∠DFK=∠EKF，由角平分线的概念得∠EKF=2∠EKG，据此判断②；易得∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠FKH，由角平分线得∠FKG=∠EKG，结合角的和差关系可得∠BEK-∠GKH=∠DFK+∠GKH，进而判断③；根据题意得∠BAC+∠AGK=∠BAC+∠GKH+∠KHG，则∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKF+∠DFK=∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKH-∠HKF+∠DFK，进而判断④.
15．【答案】92°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，延长AB交PD于点M，过点C作CN∥AB，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，
∴设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，
∴∠MBP＝∠ABF＝x，
∵AB∥DE，
∴∠AMD＝∠EDP＝y，
∵∠AMD＝∠BPD＋∠MBP，∠BPD＝44°，
∴y＝44°＋x，
∴y－x＝44°，
∵AB∥DE，CN∥AB，
∴CN∥DE，
∴∠CDE＋∠NCD＝180°，
∴∠NCD＝180°－∠CDE＝180°－2y，
∵CN∥AB，
∴∠NCB＝∠ABC＝2x，
∴∠BCD＝∠NCD＋∠NCB
＝180°－2y＋2x
＝180°－2（y－x）
＝180°－2×44°
＝92°，
故答案为：92°.
【分析】延长AB交PD与点M，过点C作CN∥AB，利用角平分线的定义可设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，可得到∠MBP＝∠ABF＝x；再利用平行线的性质表示出∠AMD的度数，利用三角形的外角的性质可用含x的代数式表示出y；利用两直线平行，同旁内角互补，可表示出∠NCD的度数，同时可表示出∠NCB的度数；然后根据∠BCD＝∠NCD＋∠NCB，代入计算求出∠C的度数.
16．【答案】（1）解：．理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点E作EF∥AC，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
（3）解：如图，过点E作EF∥AC，而AC∥BC，
∴，
∴，，
∵，
∴，①
又②
联立①②
解得，．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）AC∥BD，理由如下：根据∠A与∠B的度数可得∠A+∠B=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行可得结论；
（2）过点E作EF∥AC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AC∥EF∥BD，由二直线平行，内错角相等得∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，从而可得∠C+∠D=80°，进而结合2∠C-∠D=10°可求出∠C与∠D的度数；
（3）过点E作EF∥AC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AC∥EF∥BD，由二直线平行，内错角相等得∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，从而可得∠D-∠C=80°，进而结合2∠C-∠D=m°可求出∠C与∠D的度数.
17．【答案】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质、内错角性质、补角的定义、角平分线定义等，
（1）作直线EG∥CD，根据内错角相等，得出，，再根据 即可算出 的 度数；
（2）作直线HF∥DC，由角平分线的定义可知∠ABF=32°，∠CDF=36°，再根据内错角相等即可求解；
（3）作直线FQ∥CD，结合（1）、（2）的方法即可求解.
18．【答案】解：证明：∵，（已知）
∴，（垂直定义）
∴
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（垂直定义）
∴（等量代换）
∴（垂直定义）
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【分析】利用两直线平行的判定与性质，两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等以及垂直定义.
19．【答案】证明：作EM∥AB，FN∥AB，GK∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥ME∥FN∥GK∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，
∴∠B+∠3+∠4+∠D=∠1+∠2+∠5+∠6，
又∵∠E+ ∠G=∠1+∠2+∠5+∠6，
∠B+ ∠F+ ∠D=∠B+ ∠3+∠4+ ∠D，
∴∠B+ ∠F+ ∠D=∠E+ ∠G.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】作EM∥AB，FN∥AB，GK∥AB，根据平行公理及推论可得AB∥ME∥FN∥GK∥CD，再由平行线性质得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，相加即可得证.
20．【答案】.CE∥DF.
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠DBF=1／2∠ABC, ∠ECB=1／2∠ACB,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠DBF=∠ECB.
∵∠DBF=∠F,
∴∠ECB=∠F. ∠CE∥DF（同位角相等，两直线平行).
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠DBF=1／2∠ABC, ∠ECB=1／2∠ACB,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠DBF=∠ECB.
∵∠DBF=∠F,
∴∠ECB=∠F. ∠CE∥DF同位角相等，两直线平行).
【分析】要证平行可寻找题目中有没有同位角或内错角或同旁内角，然后学会等量代换，推理论证。
1 / 1
