人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 5.3平行线的性质
一、选择题
1．（2020·莫旗模拟）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
2．（2023八上·印江期中）下列语句中，是命题的个数为（ ）
①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，已知AB∥EF．若∠C=90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°
C．∠α+∠β-∠γ=90° D．∠β+∠γ-∠α=90°
4．（2018·河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
5．（2023八上·黄冈月考）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则为（ ）
A．66° B．56° C．98° D．104°
6．（2023七上·莘县月考）下列说法正确的个数有（ ）
①若，则点C是线段的中点；②两点确定一条直线；③射线与射线是同一条射线；④线段就是点A到点B之间的距离；⑤两点之间线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八上·惠州开学考）如图，直线，点在直线上，点、在直线上，且，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
10．（2023七下·云阳期中）如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023七下·九江期末）如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
12．（2023七下·东湖期末）如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ．
13．（2023七下·承德期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．
14．（2023七下·深圳期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、，，平分，平分，在的下方有一点，平分，平分，求的度数为 ．
15．（2023七下·南昌期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点E在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则
三、解答题
16．（2023七下·仓山期末）如图，点分别在射线上，．
（1）求证：；
（2）如图1，点G、F在AE、BC上，连接EF、GC，且EF、GC相交于点H，∠AED=n∠AEF，∠BCD=n∠BCG，当∠DEH+∠DCH=2∠EHC时，求n的值．
（3）在（2）条件下，若，求证：．
17．（2022七下·浦北月考）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠ACB＝∠AED.
18．（2023七下·耿马期末）如图，直线，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，直线分别交、于点、，平分，与交于点已知，．
（1）若、与互相平行，求的值．
（2）若直线向左平移，且始终平行于求平移过程中点与重合时除外，的度数用含的式子表示解答建议：按下列两幅图所示情况分类求解
19．（2023七下·绥中期末）
（1）如图1，已知AB//CD，∠AEP=40°，∠PFD=110°，求∠EPF的度数.
（2）如图2，AB//CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠BPP之间有何数量关系 并说明理由；
（3）如图3，在(2)的条件下，已知，∠EPF=60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交点G，求∠G的度数.
20．（2023七下·佳木斯期末）已知，点为平面内一点，于．
（1）如图，直接写出和之间的数量关系 ；
（2）如图，过点作于点，求证：；
（3）如图，在问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：C．
【分析】作CK∥a．证明∠ACB＝∠1+∠2，又因为∠CAB＝90°即可求出∠ABC度数．
2．【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】
①若两个角相等，则它们是对顶角；是假命题，有条件，有结论，只是结论是错的
②等腰三角形两底角相等；是真命题，有条件，有结论，且结论正确
③画线段；不是命题，没有结论
④同角的余角相等；是真命题，有条件，有结论，且结论正确
⑤同位角相等 ；是假命题，有条件，有结论，但条件不充分导致结论不正确
故有4个命题
故选：C
【分析】数学中把用语言、符号或式子表达的、可以判断真假的陈述句叫命题；命题由两大部分组成，题设（条件）和结论；③画线段，没有任何结论性陈述，不是命题。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，
∵AB∥EF，
∴∠BGH=∠GHE（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG=90°，
∴∠BGH+∠α=90°①，
∵ ∠β+∠EDH=180°，∠EDH+∠GHE+∠γ=180°，
∴ ∠β=∠γ+∠GHE②，
①+②得∠BGH+∠α+∠β=∠γ+∠GHE+90°，
∴ α+∠β-∠γ=90° .
故答案为：C.
【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由两直线平行，内错角相等，得∠BGH=∠GHE，根据直角三角形的两锐角互余得∠BGH+∠α=90°①，由邻补角、三角形的内角和定理可推出∠β=∠γ+∠GHE②，然后根据等式的性质由①+②并整理可得结论.
4．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】如图，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故答案为：A．
【分析】由题意可知：∠1=50°，∠2+∠3=80°，根据正北方向线平行，可求出∠2的度数，从而可求出∠3的度数，再根据方位角的定义，可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD
∵∠3=148°，
∴∠AGE=32°，
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴∠FEG=∠AGE=32°，∠FED=∠1=24°，
∴∠2=∠FEG+∠FED=32°+24°=56°.
故答案为：B.
【分析】两平行线夹两条相交直线夹角问题一般过夹角顶点做平行线，再根据两直线平行，内错角相等求解.
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①∵，∴点C在线段的垂直平分线上，∴①不正确；
②∵两点确定一条直线，∴②正确；
③∵射线MN和射线NM的端点不一样，∴③不正确；
④∵线段就是点A到点B之间的距离，∴④正确；
⑤∵两点之间线段最短，∴⑤正确；
∴正确的结论是②④⑤三个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CB交直线a于点E，如图，
∵AB⊥BC，∠1＝32°，
∴∠ABC＝90°，
∴∠AEC＝90°-∠1＝58°，
∵a∥b，
∴∠ECF＝∠AEC＝58°，
∴∠BCD=180°-∠ECF=180°-58°=122°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC＝45°，
∴∠2＝180°-∠BCD-∠CBD＝180°-122°-45°=13°．
故答案为：A.
【分析】延长CB交直线a于点E，由题意可求得∠AEC＝58°，先由平行线的性质得∠ECF＝∠AEC＝58°，利用邻补角互补得出∠BCD=122°，再由角平分线的定义得∠CBD＝45°，最后利用三角形的内角和是180°，得出∠2＝180°-∠BCD-∠CBD=13°．
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
10．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】①∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD//BC，故①正确；
②∵AD//BC，∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC，故②正确；
③延长EF交AD于P，延长CH交AD于点Q，∵EF//CH，∴∠EPQ=∠CQP，∵∠EPQ=∠E+∠EAG，∴∠CQG=∠E+∠EAG，∵AD//BC，∴∠HCK+∠CQG=180°，∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°，∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，∵∠FGA=∠DGH，∴90°-2∠FGA=16°，∴∠FGA=∠DGH=37°，故③不正确；
④设∠AGM=x，∠MGK=y，∴∠AGK=x+y，∵GK平分∠AGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+x=y+x+y，解得y=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④不正确；
综上所述，正确的有①②，共两个，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定方法和性质，角平分线的定义及角的运算逐项判断即可。
11．【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：
当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，
∵AB//PM，
∴∠BGP=∠GPM=，
∵AB//CD，AB//PM，
∴PM//CD，
∴∠DHP=∠MPH=，
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH=；
第二种情况：
当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
第三种情况：
当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
综上，∠GPH的值为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】分类讨论：①当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，②当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，③当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
12．【答案】①③④
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】 解：①∵ ，
，
又 是 的角平分线，
，故①正确；
②无法证明 平分 ，故②错误；
③ ，
，
平分 ，
，
．
∵ ，且 ，
，即 ，
，故③正确；
④ ， ，
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算和等量代换逐项判断即可.
13．【答案】60；45或105
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠MAB+∠BAN=180°， ，
∴∠BAN=180°×=60°，∠BAM=180°-∠BAN=120°，
当AC与BD相遇前，设灯A的光线转动x秒时，两灯的光线AC∥BD，如图，
∵，
∴∠ABP=∠BAM=120°，
∵AC∥BD，
∴∠CAB=∠ABD，
∴120°-2x=120°-（45+x），
解得：x=45，
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN前，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴2x-120°=45+x-120，解得x=45，不合题意，舍去；
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN后，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴60°-（2x-180°）=45+x-120°，解得：x=105，
综上可知：当灯A的光线转动45或105秒时， 两灯的光线互相平行．
故答案为：60，45或105.
【分析】由∠MAB+∠BAN=180°，且，可求出∠BAN=60°，∠BAM=120°，设灯A的光线转动x秒时AC∥BD，根据CA与BD相遇前和相遇后可能存在的平行情况，然后利用平行线的性质进行解答即可.
14．【答案】120°
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，分别过点G，P作，，过点Q作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，平分，平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：120°
【分析】分别过点G，P作，，过点Q作，设，再求出，再结合，可得，最后求出即可。
15．【答案】30°或45°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵，
∴或，
当时，
∵，，
∴，
当时，
∵，，
∴，
∴
，
故答案为：或．
【分析】分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
16．【答案】（1）证明：过点D作DM∥AM，
；
（2）解：由题意可得：设，则
过点H在右侧作HQ∥AM
；
（3）证明：由（2），得
.
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过点D作DM∥AM，由二直线平行，内错角相等得∠MED=∠EDP，然后根据角的和差及已知条件可推出∠NCD=∠PDC，由内错角相等，两直线平行得DP∥BC，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AM∥BN；
（2）设，则，，，过点H在右侧作HQ∥AM，由平行于同一直线的两条直线互相平行得HQ∥BN，由平行线的性质及角的和差可得，进而根据∠DEH+∠DCH=2∠EHC建立方程可求出n的值；
（3）由（2）可得，则，根据平角定义及等式性质可推出∠MED+∠NCD=∠EDC=90°，从而根据垂直的定义得出结论.
17．【答案】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠4＝180°
∴∠2＝∠4，
∴BD∥EF（内错角相等、两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝∠3
∴∠ADE＝∠B
∴DE∥BC（同位角相等、两直线平行）
∴∠ACB＝∠AED（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据邻补角的性质可得∠1+∠4＝180°，根据同角的补角相等可得∠2＝∠4，推出BD∥EF，根据平行线的性质可得∠3＝∠ADE，结合已知条件可得∠ADE＝∠B，推出DE∥BC，然后根据平行线的性质进行证明.
18．【答案】（1）解：，，
，，
平分，
，
，
，
；
（2）解：当点与点在两侧时，如图：
，
，
，
，
设，
，
，，
平分，
，
，
当点与点在点的同侧时，如图：
，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
．
综上所述：的度数为：或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，，再利用角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质求出即可；
（2）①当点与点在两侧时，②当点与点在点的同侧时，再分别画出图象并利用平行线的性质及角的运算求解即可.
19．【答案】（1）解：如图1，过点P作PM//AB，
∴∠1=∠AEP=40°.(两直线平行，内错角相等)
∵AB//CD，PM//AB，(已知)
∴PM//CD，(平行于同一条直线的两直线平行)
∴∠2+∠PFD=180°.(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°-130°=50°.
∴∠1+∠2=40°+50°=90°.
即∠EPF=90°；
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠P.
理由：如图2，过P点作PN//AB，则PN//CD，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN//CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE，即∠PFC=∠PEA+∠P；
（3）解：如图，过点G作AB的平行线GH.
∵GH//AB，AB//CD，
∴GH//AB//CD，
∴∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，
又∴∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE=∠AEG=∠AEP，
∠HGF=∠CFG=∠CFP，
由(2)可知，∠CFP=∠EPF+∠AEP，
∴∠HGF=(∠EPF+∠AEP)
=(60°+∠AEP)，
∴∠EGF=∠HGF-∠HGE
=(60°+∠AEP)=30°+∠AEP-∠HGE=30°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点P作PM//AB，由两直线平行，内错角相等得∠1=∠AEP=40°，由平行于同一条直线的两直线平行得PM//CD，由两直线平行，同旁内角互补可求出∠2=50°，进而根据∠EPF=∠1+∠2算出答案；
（2）∠PFC=∠PEA+∠P，理由如下：过P点作PN//AB，由平行于同一条直线的两直线平行得PN//CD，由两直线平行，内错角相等得∠PEA=∠NPE，∠FPN=∠PFC，进而根据角的和差及等量代换可得结论；
（3）过G作AB∥GH，由平行于同一条直线的两直线平行得GH//AB//CD，由两直线平行内错角相等得∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，由角平分线定义得∠HGE=∠AEG=∠AEP，∠HGF=∠CFG=∠CFP，结合（2）的结论得∠HGF=(∠EPF+∠AEP)，进而根据角的和差，由∠EGF=∠HGF-∠HGE代入计算可得答案.
20．【答案】（1）
（2）证明：如图，过点作，
，
，即，
又，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图，过点作，
平分，平分，
，，
由（2）可得，
，
设，，
则，，，，
，
，，
，
由，
可得，
，
由，可得，
，
解得，
，
．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴∠C与BC和AM所夹的锐角相等，
∵，
∴与BC和AM所夹的锐角的和为90°，
∴；
故答案为：∠A+∠C=90°；
【分析】（1）根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余即可求出和的数量关系；
（2）用平行线的性质和 求出，结合，通过同角的余角相等得，根据平行线的性质推出，最后通过等量代换即可证明；
（3）利用角平分线的定义求出，，结合证明，设参数，，结合已知条件列关于和的方程和，从而求出和的值，继而求出的度数.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 5.3平行线的性质
一、选择题
1．（2020·莫旗模拟）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：C．
【分析】作CK∥a．证明∠ACB＝∠1+∠2，又因为∠CAB＝90°即可求出∠ABC度数．
2．（2023八上·印江期中）下列语句中，是命题的个数为（ ）
①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】
①若两个角相等，则它们是对顶角；是假命题，有条件，有结论，只是结论是错的
②等腰三角形两底角相等；是真命题，有条件，有结论，且结论正确
③画线段；不是命题，没有结论
④同角的余角相等；是真命题，有条件，有结论，且结论正确
⑤同位角相等 ；是假命题，有条件，有结论，但条件不充分导致结论不正确
故有4个命题
故选：C
【分析】数学中把用语言、符号或式子表达的、可以判断真假的陈述句叫命题；命题由两大部分组成，题设（条件）和结论；③画线段，没有任何结论性陈述，不是命题。
3．如图，已知AB∥EF．若∠C=90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°
C．∠α+∠β-∠γ=90° D．∠β+∠γ-∠α=90°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，
∵AB∥EF，
∴∠BGH=∠GHE（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG=90°，
∴∠BGH+∠α=90°①，
∵ ∠β+∠EDH=180°，∠EDH+∠GHE+∠γ=180°，
∴ ∠β=∠γ+∠GHE②，
①+②得∠BGH+∠α+∠β=∠γ+∠GHE+90°，
∴ α+∠β-∠γ=90° .
故答案为：C.
【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由两直线平行，内错角相等，得∠BGH=∠GHE，根据直角三角形的两锐角互余得∠BGH+∠α=90°①，由邻补角、三角形的内角和定理可推出∠β=∠γ+∠GHE②，然后根据等式的性质由①+②并整理可得结论.
4．（2018·河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】如图，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故答案为：A．
【分析】由题意可知：∠1=50°，∠2+∠3=80°，根据正北方向线平行，可求出∠2的度数，从而可求出∠3的度数，再根据方位角的定义，可求解。
5．（2023八上·黄冈月考）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则为（ ）
A．66° B．56° C．98° D．104°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD
∵∠3=148°，
∴∠AGE=32°，
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴∠FEG=∠AGE=32°，∠FED=∠1=24°，
∴∠2=∠FEG+∠FED=32°+24°=56°.
故答案为：B.
【分析】两平行线夹两条相交直线夹角问题一般过夹角顶点做平行线，再根据两直线平行，内错角相等求解.
6．（2023七上·莘县月考）下列说法正确的个数有（ ）
①若，则点C是线段的中点；②两点确定一条直线；③射线与射线是同一条射线；④线段就是点A到点B之间的距离；⑤两点之间线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①∵，∴点C在线段的垂直平分线上，∴①不正确；
②∵两点确定一条直线，∴②正确；
③∵射线MN和射线NM的端点不一样，∴③不正确；
④∵线段就是点A到点B之间的距离，∴④正确；
⑤∵两点之间线段最短，∴⑤正确；
∴正确的结论是②④⑤三个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可.
7．（2023八上·惠州开学考）如图，直线，点在直线上，点、在直线上，且，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CB交直线a于点E，如图，
∵AB⊥BC，∠1＝32°，
∴∠ABC＝90°，
∴∠AEC＝90°-∠1＝58°，
∵a∥b，
∴∠ECF＝∠AEC＝58°，
∴∠BCD=180°-∠ECF=180°-58°=122°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC＝45°，
∴∠2＝180°-∠BCD-∠CBD＝180°-122°-45°=13°．
故答案为：A.
【分析】延长CB交直线a于点E，由题意可求得∠AEC＝58°，先由平行线的性质得∠ECF＝∠AEC＝58°，利用邻补角互补得出∠BCD=122°，再由角平分线的定义得∠CBD＝45°，最后利用三角形的内角和是180°，得出∠2＝180°-∠BCD-∠CBD=13°．
8．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
9．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
10．（2023七下·云阳期中）如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】①∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD//BC，故①正确；
②∵AD//BC，∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC，故②正确；
③延长EF交AD于P，延长CH交AD于点Q，∵EF//CH，∴∠EPQ=∠CQP，∵∠EPQ=∠E+∠EAG，∴∠CQG=∠E+∠EAG，∵AD//BC，∴∠HCK+∠CQG=180°，∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°，∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，∵∠FGA=∠DGH，∴90°-2∠FGA=16°，∴∠FGA=∠DGH=37°，故③不正确；
④设∠AGM=x，∠MGK=y，∴∠AGK=x+y，∵GK平分∠AGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+x=y+x+y，解得y=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④不正确；
综上所述，正确的有①②，共两个，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定方法和性质，角平分线的定义及角的运算逐项判断即可。
二、填空题
11．（2023七下·九江期末）如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：
当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，
∵AB//PM，
∴∠BGP=∠GPM=，
∵AB//CD，AB//PM，
∴PM//CD，
∴∠DHP=∠MPH=，
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH=；
第二种情况：
当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
第三种情况：
当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
综上，∠GPH的值为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】分类讨论：①当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，②当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，③当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
12．（2023七下·东湖期末）如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ．
【答案】①③④
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】 解：①∵ ，
，
又 是 的角平分线，
，故①正确；
②无法证明 平分 ，故②错误；
③ ，
，
平分 ，
，
．
∵ ，且 ，
，即 ，
，故③正确；
④ ， ，
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算和等量代换逐项判断即可.
13．（2023七下·承德期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．
【答案】60；45或105
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠MAB+∠BAN=180°， ，
∴∠BAN=180°×=60°，∠BAM=180°-∠BAN=120°，
当AC与BD相遇前，设灯A的光线转动x秒时，两灯的光线AC∥BD，如图，
∵，
∴∠ABP=∠BAM=120°，
∵AC∥BD，
∴∠CAB=∠ABD，
∴120°-2x=120°-（45+x），
解得：x=45，
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN前，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴2x-120°=45+x-120，解得x=45，不合题意，舍去；
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN后，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴60°-（2x-180°）=45+x-120°，解得：x=105，
综上可知：当灯A的光线转动45或105秒时， 两灯的光线互相平行．
故答案为：60，45或105.
【分析】由∠MAB+∠BAN=180°，且，可求出∠BAN=60°，∠BAM=120°，设灯A的光线转动x秒时AC∥BD，根据CA与BD相遇前和相遇后可能存在的平行情况，然后利用平行线的性质进行解答即可.
14．（2023七下·深圳期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、，，平分，平分，在的下方有一点，平分，平分，求的度数为 ．
【答案】120°
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，分别过点G，P作，，过点Q作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，平分，平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：120°
【分析】分别过点G，P作，，过点Q作，设，再求出，再结合，可得，最后求出即可。
15．（2023七下·南昌期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点E在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则
【答案】30°或45°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵，
∴或，
当时，
∵，，
∴，
当时，
∵，，
∴，
∴
，
故答案为：或．
【分析】分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
三、解答题
16．（2023七下·仓山期末）如图，点分别在射线上，．
（1）求证：；
（2）如图1，点G、F在AE、BC上，连接EF、GC，且EF、GC相交于点H，∠AED=n∠AEF，∠BCD=n∠BCG，当∠DEH+∠DCH=2∠EHC时，求n的值．
（3）在（2）条件下，若，求证：．
【答案】（1）证明：过点D作DM∥AM，
；
（2）解：由题意可得：设，则
过点H在右侧作HQ∥AM
；
（3）证明：由（2），得
.
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过点D作DM∥AM，由二直线平行，内错角相等得∠MED=∠EDP，然后根据角的和差及已知条件可推出∠NCD=∠PDC，由内错角相等，两直线平行得DP∥BC，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AM∥BN；
（2）设，则，，，过点H在右侧作HQ∥AM，由平行于同一直线的两条直线互相平行得HQ∥BN，由平行线的性质及角的和差可得，进而根据∠DEH+∠DCH=2∠EHC建立方程可求出n的值；
（3）由（2）可得，则，根据平角定义及等式性质可推出∠MED+∠NCD=∠EDC=90°，从而根据垂直的定义得出结论.
17．（2022七下·浦北月考）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠ACB＝∠AED.
【答案】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠4＝180°
∴∠2＝∠4，
∴BD∥EF（内错角相等、两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝∠3
∴∠ADE＝∠B
∴DE∥BC（同位角相等、两直线平行）
∴∠ACB＝∠AED（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据邻补角的性质可得∠1+∠4＝180°，根据同角的补角相等可得∠2＝∠4，推出BD∥EF，根据平行线的性质可得∠3＝∠ADE，结合已知条件可得∠ADE＝∠B，推出DE∥BC，然后根据平行线的性质进行证明.
18．（2023七下·耿马期末）如图，直线，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，直线分别交、于点、，平分，与交于点已知，．
（1）若、与互相平行，求的值．
（2）若直线向左平移，且始终平行于求平移过程中点与重合时除外，的度数用含的式子表示解答建议：按下列两幅图所示情况分类求解
【答案】（1）解：，，
，，
平分，
，
，
，
；
（2）解：当点与点在两侧时，如图：
，
，
，
，
设，
，
，，
平分，
，
，
当点与点在点的同侧时，如图：
，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
．
综上所述：的度数为：或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，，再利用角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质求出即可；
（2）①当点与点在两侧时，②当点与点在点的同侧时，再分别画出图象并利用平行线的性质及角的运算求解即可.
19．（2023七下·绥中期末）
（1）如图1，已知AB//CD，∠AEP=40°，∠PFD=110°，求∠EPF的度数.
（2）如图2，AB//CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠BPP之间有何数量关系 并说明理由；
（3）如图3，在(2)的条件下，已知，∠EPF=60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交点G，求∠G的度数.
【答案】（1）解：如图1，过点P作PM//AB，
∴∠1=∠AEP=40°.(两直线平行，内错角相等)
∵AB//CD，PM//AB，(已知)
∴PM//CD，(平行于同一条直线的两直线平行)
∴∠2+∠PFD=180°.(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°-130°=50°.
∴∠1+∠2=40°+50°=90°.
即∠EPF=90°；
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠P.
理由：如图2，过P点作PN//AB，则PN//CD，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN//CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE，即∠PFC=∠PEA+∠P；
（3）解：如图，过点G作AB的平行线GH.
∵GH//AB，AB//CD，
∴GH//AB//CD，
∴∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，
又∴∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE=∠AEG=∠AEP，
∠HGF=∠CFG=∠CFP，
由(2)可知，∠CFP=∠EPF+∠AEP，
∴∠HGF=(∠EPF+∠AEP)
=(60°+∠AEP)，
∴∠EGF=∠HGF-∠HGE
=(60°+∠AEP)=30°+∠AEP-∠HGE=30°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点P作PM//AB，由两直线平行，内错角相等得∠1=∠AEP=40°，由平行于同一条直线的两直线平行得PM//CD，由两直线平行，同旁内角互补可求出∠2=50°，进而根据∠EPF=∠1+∠2算出答案；
（2）∠PFC=∠PEA+∠P，理由如下：过P点作PN//AB，由平行于同一条直线的两直线平行得PN//CD，由两直线平行，内错角相等得∠PEA=∠NPE，∠FPN=∠PFC，进而根据角的和差及等量代换可得结论；
（3）过G作AB∥GH，由平行于同一条直线的两直线平行得GH//AB//CD，由两直线平行内错角相等得∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，由角平分线定义得∠HGE=∠AEG=∠AEP，∠HGF=∠CFG=∠CFP，结合（2）的结论得∠HGF=(∠EPF+∠AEP)，进而根据角的和差，由∠EGF=∠HGF-∠HGE代入计算可得答案.
20．（2023七下·佳木斯期末）已知，点为平面内一点，于．
（1）如图，直接写出和之间的数量关系 ；
（2）如图，过点作于点，求证：；
（3）如图，在问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．
【答案】（1）
（2）证明：如图，过点作，
，
，即，
又，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图，过点作，
平分，平分，
，，
由（2）可得，
，
设，，
则，，，，
，
，，
，
由，
可得，
，
由，可得，
，
解得，
，
．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴∠C与BC和AM所夹的锐角相等，
∵，
∴与BC和AM所夹的锐角的和为90°，
∴；
故答案为：∠A+∠C=90°；
【分析】（1）根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余即可求出和的数量关系；
（2）用平行线的性质和 求出，结合，通过同角的余角相等得，根据平行线的性质推出，最后通过等量代换即可证明；
（3）利用角平分线的定义求出，，结合证明，设参数，，结合已知条件列关于和的方程和，从而求出和的值，继而求出的度数.
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