人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 6.1平方根
一、选择题
1．（2023八上·长春月考）的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵，
∴4的算术平方根是2，
故答案为：B.
【分析】利用算术平方根的计算方法求解即可.
2．（2023八上·栾城期中）下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10
C．－10是100的一个平方根 D．－1的平方根是－1
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】A、∵正数的平方根有两个，且互为相反数，∴A不正确，不符合题意；
B、∵100的平方根是±10，∴B不正确，不符合题意；
C、∵-10是100的一个平方根，∴C正确，符合题意；
D、∵负数没有平方根，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平方根的计算方法逐项分析求解即可.
3．若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a-b的值为（ ）
A．-2 B．±5 C．5 D．-5
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，∴a=2，则b=-3，a=-2，b=3，
则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．
【分析】用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a-b的值；此题有两个答案，勿漏算．
4．下列说法 正确的是（ ）
A．因为5的平方是25，所以25的平方根是5
B．因为（-5）2的底数是-5，所以（-5）2没有平方根
C．每个数都有正、负两个平方根
D．一个正数的算术平方根一定是正数
【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A、25是一个正数，一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，故此选项错误，不符合题意；
B、∵（-5）2=25，而25是一个正数，一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，故此选项错误，不符合题意；
C、负数没有平方根，零的平方根是零，只有正数才有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，故此选项错误，不符合题意；
D、一个正数的正的平方根就是其算术平方根，故“一个正数的算术平方根一定是正数”说法正确，
此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】负数没有平方根，零的平方根是零，只有正数才有两个平方根，且这两个平方根互为相反数；正数的正的平方根就是其算术平方根，据此逐项判断得出答案.
5．（2023七上·江北期中） 下列说法正确的是（ ）
A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数
C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根
【答案】A
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：A：是16的一个平方根，说法正确；
B：两个无理数的和不一定是无理数，比如π和-π都是无理数，但它们的和π+（-π）=0，
0是有理数不是无理数，原说法错误；
C：无限不循环小数是无理数，原说法错误；
D：0的算术平方根是0，原说法错误，
故选：A.
【分析】A：由，即可判定说法的正误；
B：举反例两个互为相反数的无理数之和为0，比如π和-π，即可判定原说法的正误；
C：由无理数的定义，即可判定原说法的正误；
D：由0的算术平方根是0，即可判定原说法的正误.
6．（2023八上·石家庄期中）学习了无理数之后，对于，下列说法正确的是（ ）
I：表示的意义是14的算术平方根； II：面积是14的正方形边长是；
III：的大小界于两个连续整数3与4之间.
A．三个都正确 B．只有I与II正确
C．只有II与III正确 D．只有II不对
【答案】A
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：I：表示的意义是14的算术平方根，正确；
II：面积是14的正方形德边长是，正确；
III：的大小界于两个连续整数3与4之间，正确.
因此三个都正确，
故答案为：A。
【分析】根据算术平方根的意义判定即可。
7．（2019八下·昭通期末） 的算术平方根是（ ）
A． B．﹣ C． D．±
【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：=，
∵的算术平方根等于，
∴的算术平方根等于，
故答案为：C.
【分析】因为化简的结果是，则的算术平方根是，也是的算术平方根。
8．（2023八上·从江月考）已知432=1 849，442=1 936，452=2 025，462=2 116.若m为整数且m<A．46 B．45 C．44 D．43
【答案】B
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2025<2030<2116，
∴，即，
∵m<∴m=45。
故答案为：B.
【分析】根据给定数的平方确定2030的算术平方根的范围，利用 的范围确定m的值。
9．（2023七上·瑞安期中）若x2=4，|y|=5，且xy<0，则x-y的值等于（ ）
A．-3或7 B．3或-7 C．-3或3 D．-7或7
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的减法法则
【解析】【解答】解： ∵x2=4，|y|=5，
∴x=，y=，
∵ xy<0 ，
∴x=2，y=-5或x=-2，y=5，
∴ x-y =7或-7，
故答案为：D.
【分析】由平方根及绝对值可求出x、y的值，再根据xy<0确定x、y的值，然后分别代入计算即可.
10．（2022八上·运城月考）若a是的平方根，b的一个平方根是3，则代数式的值为（ ）
A．－14或－4 B．－14 C．－4 D．4或－14
【答案】A
【知识点】平方根；代数式求值
【解析】【解答】解：a是 的平方根，b的一个平方根是3，
a=5或-5，b=9，
当a=5，b=9时，a-b=5-9=-4；
当a=-5，b=9时，a-b=-5-9=-14，
故答案为：－14或－4.
【分析】根据平方根的定义求出a，b的值，代入a-b即可求解.
二、填空题
11．（2023七上·余姚期中）的相反数是 ，的平方根是 ．
【答案】-；3，-3
【知识点】平方根；实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是， 的平方根是3和-3.
故答案为：；3，-3.
【分析】互为相反数的两个数和为0；就是9，正数的算术平方根有两个且互为相反数.
12．一个自然数的算术平方根是a，则相邻的下一个自然数的算术平方根是 ．
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵一个自然数的算术平方根是a，
∴这个自然数是a2，
∴相邻的下一个自然数为：a2+1，
∴相邻的下一个自然数的算术平方根是： ，
故答案为： ．
【分析】首先利用算术平方根求出这个自然数，然后即可求出相邻的下一个自然数的算术平方根．
13．（2023八上·从江月考）的平方根是 ，（-）2的算术平方根是 .
【答案】±；
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ，；
.
故答案为：.
【分析】先计式子的值，再求值的平方根或算术平方根。易错点：的平方根，等于a的平方根。
14．（2023·海淀模拟） 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是 ．
【答案】答案不唯一
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意可得：当x=-2时，，
∴“”是错误的，
即的值可以是-2，
故答案为：答案不唯一 .
【分析】取x=-2求出，再判断求解即可。
15．（2023八上·柳州开学考）已知，，那么的平方根是 ．
【答案】
【知识点】平方根；算术平方根；计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：∵， 1.7201→172.01扩大了100倍，
∴的平方根 是.
故答案为：.
【分析】观察根号里的数的变化，合理选择，即可求出的平方根.
三、计算题
16．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根．
（1）5．
（2）(-3)2．
（3）- 32．
（4）0．
（5）-a2．
（6）-x2-4．
【答案】（1）5 有平方根，5的平方根是±．
（2）(- 3)2=9，9有平方根，(-3)2的平方根是±3．
（3）- 32=-9，-9没有平方根(因为负数没有平方根)．
（4）0有平方根，0的平方根是0．
（5）当a等于零时，-a2有平方根，-a2的平方根是0；
当a≠0时-a2没有平方根(因为负数没有平方根)．
（6）因为x2≥0，-x2≤0，所以-x2-4<0，所以-x2-4没有平方根．
【知识点】平方根
【解析】【分析】如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；正数有正、负两个平方根，负数没有平方根。0的平方根是0.
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：.
【知识点】平方根
【解析】【分析】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
四、解答题
18．（2023八上·长春月考）观察下表后回答问题：
（1）表格中 ， ；
（2）根据你发现的规律填空：
已知，则 ， ；
已知，则 ．
【答案】（1）；
（2）；；
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：（1）x==0.1，y==10.
故答案为：0.1，10.
（2）①∵≈1.732
∴≈17.32，≈0.01732
故答案为：17.32，0.01732
②∵
∴
故答案为： 。
【分析】（1）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得出x与y的答案。
（2）①根据（2）中的规律，再结合≈1.732，即可得出答案。
②根据，结合（2） 的规律，即可得出答案。
19．（2023八上·二道月考）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】解：由题意得：，
，．
，
．
．
．
的平方根是
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】根据题意，利用算术平方根和平方根的含义，列出关于a和b的二元一次方程组，即可得到a和b的值；估算的值，得到c，最后计算代数式3a+2b-c的值，求出其平方根即可。
20．（2023八上·榆树开学考）已知x＝1-2a，y＝3a-4．
（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【答案】（1）解：∵x的算术平方根是3，
∴1-2a＝9，
解得a＝-4．
故a的值是-4
（2）解：x，y都是同一个数的平方根，
∴1-2a＝3a-4，或1-2a+（3a-4）＝0
解得a＝1，或a＝3，
（1-2a）＝（1-2）2＝1，
（1-2a）＝（1-6）2＝25．
答：这个数是1或25．
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】
（1）根据算术平方根的定义先确定x的值，再解方程求出a；
（2）同一个数的两个平方根相等或互为相反数，可分别列方程求解。
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 6.1平方根
一、选择题
1．（2023八上·长春月考）的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·栾城期中）下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10
C．－10是100的一个平方根 D．－1的平方根是－1
3．若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a-b的值为（ ）
A．-2 B．±5 C．5 D．-5
4．下列说法 正确的是（ ）
A．因为5的平方是25，所以25的平方根是5
B．因为（-5）2的底数是-5，所以（-5）2没有平方根
C．每个数都有正、负两个平方根
D．一个正数的算术平方根一定是正数
5．（2023七上·江北期中） 下列说法正确的是（ ）
A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数
C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根
6．（2023八上·石家庄期中）学习了无理数之后，对于，下列说法正确的是（ ）
I：表示的意义是14的算术平方根； II：面积是14的正方形边长是；
III：的大小界于两个连续整数3与4之间.
A．三个都正确 B．只有I与II正确
C．只有II与III正确 D．只有II不对
7．（2019八下·昭通期末） 的算术平方根是（ ）
A． B．﹣ C． D．±
8．（2023八上·从江月考）已知432=1 849，442=1 936，452=2 025，462=2 116.若m为整数且m<A．46 B．45 C．44 D．43
9．（2023七上·瑞安期中）若x2=4，|y|=5，且xy<0，则x-y的值等于（ ）
A．-3或7 B．3或-7 C．-3或3 D．-7或7
10．（2022八上·运城月考）若a是的平方根，b的一个平方根是3，则代数式的值为（ ）
A．－14或－4 B．－14 C．－4 D．4或－14
二、填空题
11．（2023七上·余姚期中）的相反数是 ，的平方根是 ．
12．一个自然数的算术平方根是a，则相邻的下一个自然数的算术平方根是 ．
13．（2023八上·从江月考）的平方根是 ，（-）2的算术平方根是 .
14．（2023·海淀模拟） 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是 ．
15．（2023八上·柳州开学考）已知，，那么的平方根是 ．
三、计算题
16．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根．
（1）5．
（2）(-3)2．
（3）- 32．
（4）0．
（5）-a2．
（6）-x2-4．
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题
18．（2023八上·长春月考）观察下表后回答问题：
（1）表格中 ， ；
（2）根据你发现的规律填空：
已知，则 ， ；
已知，则 ．
19．（2023八上·二道月考）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
20．（2023八上·榆树开学考）已知x＝1-2a，y＝3a-4．
（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵，
∴4的算术平方根是2，
故答案为：B.
【分析】利用算术平方根的计算方法求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】A、∵正数的平方根有两个，且互为相反数，∴A不正确，不符合题意；
B、∵100的平方根是±10，∴B不正确，不符合题意；
C、∵-10是100的一个平方根，∴C正确，符合题意；
D、∵负数没有平方根，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平方根的计算方法逐项分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，∴a=2，则b=-3，a=-2，b=3，
则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．
【分析】用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a-b的值；此题有两个答案，勿漏算．
4．【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A、25是一个正数，一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，故此选项错误，不符合题意；
B、∵（-5）2=25，而25是一个正数，一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，故此选项错误，不符合题意；
C、负数没有平方根，零的平方根是零，只有正数才有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，故此选项错误，不符合题意；
D、一个正数的正的平方根就是其算术平方根，故“一个正数的算术平方根一定是正数”说法正确，
此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】负数没有平方根，零的平方根是零，只有正数才有两个平方根，且这两个平方根互为相反数；正数的正的平方根就是其算术平方根，据此逐项判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：A：是16的一个平方根，说法正确；
B：两个无理数的和不一定是无理数，比如π和-π都是无理数，但它们的和π+（-π）=0，
0是有理数不是无理数，原说法错误；
C：无限不循环小数是无理数，原说法错误；
D：0的算术平方根是0，原说法错误，
故选：A.
【分析】A：由，即可判定说法的正误；
B：举反例两个互为相反数的无理数之和为0，比如π和-π，即可判定原说法的正误；
C：由无理数的定义，即可判定原说法的正误；
D：由0的算术平方根是0，即可判定原说法的正误.
6．【答案】A
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：I：表示的意义是14的算术平方根，正确；
II：面积是14的正方形德边长是，正确；
III：的大小界于两个连续整数3与4之间，正确.
因此三个都正确，
故答案为：A。
【分析】根据算术平方根的意义判定即可。
7．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：=，
∵的算术平方根等于，
∴的算术平方根等于，
故答案为：C.
【分析】因为化简的结果是，则的算术平方根是，也是的算术平方根。
8．【答案】B
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2025<2030<2116，
∴，即，
∵m<∴m=45。
故答案为：B.
【分析】根据给定数的平方确定2030的算术平方根的范围，利用 的范围确定m的值。
9．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的减法法则
【解析】【解答】解： ∵x2=4，|y|=5，
∴x=，y=，
∵ xy<0 ，
∴x=2，y=-5或x=-2，y=5，
∴ x-y =7或-7，
故答案为：D.
【分析】由平方根及绝对值可求出x、y的值，再根据xy<0确定x、y的值，然后分别代入计算即可.
10．【答案】A
【知识点】平方根；代数式求值
【解析】【解答】解：a是 的平方根，b的一个平方根是3，
a=5或-5，b=9，
当a=5，b=9时，a-b=5-9=-4；
当a=-5，b=9时，a-b=-5-9=-14，
故答案为：－14或－4.
【分析】根据平方根的定义求出a，b的值，代入a-b即可求解.
11．【答案】-；3，-3
【知识点】平方根；实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是， 的平方根是3和-3.
故答案为：；3，-3.
【分析】互为相反数的两个数和为0；就是9，正数的算术平方根有两个且互为相反数.
12．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵一个自然数的算术平方根是a，
∴这个自然数是a2，
∴相邻的下一个自然数为：a2+1，
∴相邻的下一个自然数的算术平方根是： ，
故答案为： ．
【分析】首先利用算术平方根求出这个自然数，然后即可求出相邻的下一个自然数的算术平方根．
13．【答案】±；
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ，；
.
故答案为：.
【分析】先计式子的值，再求值的平方根或算术平方根。易错点：的平方根，等于a的平方根。
14．【答案】答案不唯一
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意可得：当x=-2时，，
∴“”是错误的，
即的值可以是-2，
故答案为：答案不唯一 .
【分析】取x=-2求出，再判断求解即可。
15．【答案】
【知识点】平方根；算术平方根；计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：∵， 1.7201→172.01扩大了100倍，
∴的平方根 是.
故答案为：.
【分析】观察根号里的数的变化，合理选择，即可求出的平方根.
16．【答案】（1）5 有平方根，5的平方根是±．
（2）(- 3)2=9，9有平方根，(-3)2的平方根是±3．
（3）- 32=-9，-9没有平方根(因为负数没有平方根)．
（4）0有平方根，0的平方根是0．
（5）当a等于零时，-a2有平方根，-a2的平方根是0；
当a≠0时-a2没有平方根(因为负数没有平方根)．
（6）因为x2≥0，-x2≤0，所以-x2-4<0，所以-x2-4没有平方根．
【知识点】平方根
【解析】【分析】如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；正数有正、负两个平方根，负数没有平方根。0的平方根是0.
17．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：.
【知识点】平方根
【解析】【分析】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
18．【答案】（1）；
（2）；；
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：（1）x==0.1，y==10.
故答案为：0.1，10.
（2）①∵≈1.732
∴≈17.32，≈0.01732
故答案为：17.32，0.01732
②∵
∴
故答案为： 。
【分析】（1）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得出x与y的答案。
（2）①根据（2）中的规律，再结合≈1.732，即可得出答案。
②根据，结合（2） 的规律，即可得出答案。
19．【答案】解：由题意得：，
，．
，
．
．
．
的平方根是
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】根据题意，利用算术平方根和平方根的含义，列出关于a和b的二元一次方程组，即可得到a和b的值；估算的值，得到c，最后计算代数式3a+2b-c的值，求出其平方根即可。
20．【答案】（1）解：∵x的算术平方根是3，
∴1-2a＝9，
解得a＝-4．
故a的值是-4
（2）解：x，y都是同一个数的平方根，
∴1-2a＝3a-4，或1-2a+（3a-4）＝0
解得a＝1，或a＝3，
（1-2a）＝（1-2）2＝1，
（1-2a）＝（1-6）2＝25．
答：这个数是1或25．
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】
（1）根据算术平方根的定义先确定x的值，再解方程求出a；
（2）同一个数的两个平方根相等或互为相反数，可分别列方程求解。
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