人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时基础练习 6.3实数
一、选择题
1．（2020七下·云梦期中）下列五个命题：
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.其中真命题的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023七下·巩义期末）在 ， ， ， ，2023这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023七下·长沙期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
4．（2023七下·昆明期末）下列说法：
是无理数；是的平方根；在两个连续整数和之间，那么；若正实数的平方根是和，则，
其中，正确的说法有__个（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·紫阳期末）如图是一个数值转换器，当输入的时，输出的y等于（ ）
A．8 B． C． D．4
6．（2023七下·黔东南期末）已知，，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·汕尾）如图，折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的平方与y的立方根之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023七下·连江期末）下列说法正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数
9．（2023七下·凤台期末）若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023七下·谯城期末）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2017七下·自贡期末）已知 为两个连续的整数，且 ，则 = .
12．（2019七下·贵池期中）比较大小： ．
13．（2019七下·巴南月考）若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则 = .
14．（2023七下·罗源期末）定义．若，且、均为整数，则 ．
15．（2023七下·东莞期中）规定用符号表示一个数的整数部分，例如，，按此规定 ．
三、计算题
16．（2020七下·安陆期末）计算：
17．（2023七下·长沙期末）计算：．
四、解答题
18．（2023七下·平潭期末）先阅读下面的文字，然后解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
由此我们还可以得到一个真命题：
如果，其中是整数，且，那么，．
请解答下列问题：
（1）如果，其中是整数，且，那么 ， ；
（2）已知，其中是整数，且，求的值．
19．（2023七下·通榆期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
（1）求a和x的值；
（2）化简：
20．（2023七下·江北期中）先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=-2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平行线的判定；平行线的性质；无理数的概念；有序数对
【解析】【解答】①正确；
②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；
③正确；
④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；
故答案为：B.
【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数， 进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意： ，
所以在 ， ， ， ，2023中，
，，2023是有理数，
，π是无理数，共2个，
故答案为：A.
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，即可分析得出答案．
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据，求出，再求出即可.
4．【答案】C
【知识点】平方根；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：①∵是有理数，∴①不正确；
②∵4的平方根是2和-2，∴-2是4的一个平方根，∴②正确；
③∵，∴，∴a=3，b=4，∴a+b=7，∴③正确；
④根据题意可得：+=0，解得：a=2，∴，∴m=52=25，∴④正确；
综上，正确的结论是②③④，共有3个，
故答案为：C.
【分析】利用无理数的定义、平方根的定义及计算，估算无理数大小的方法逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：由图示得，8是有理数；
，是无理数，
∴输出的y值为.
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的定义，由图示取孙术平方根，进而再根据开方开不尽的数是无理数进行判断可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】算术平方根；实数的运算
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】实数的运算；几何体的展开图；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：如图，编号相同的面是折成正方体后的相对面，
相对面所对应的值相等，
，
，得，
，得，
.
故答案为：D.
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，一线隔一个，先知道折成正方体后的相对面，再根据相对面所对应的值相等列出二元一次方程组，解得x、y的值，然后求出x的平方与y的立方根之和.
8．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、实数分为正实数、负实数、0，错误；
B、无线小数包含无限不循环小数（属于无理数）和无限循环小数（属于有理数），错误；
C、带根号的数不一定都是无理数，比如，错误；
D、无理数都是无限不循环小数，正确.
故答案为：D.
【分析】根据实数的分类（正实数、负实数和0）、无理数的定义（无理数就是无限不循环小数）逐项判断即可.
9．【答案】C
【知识点】立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
∵
∴
∴，
故答案为：C．
【分析】先求立方根，再估算无理数的大小即可求解．
10．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵A、B在数轴上对应的数分别是1，，
∴AB=，
∵A是BC的中点，
∴AC=AB=，
∴点C所表示的数是：1-（）=，
故答案为：C.
【分析】根据数轴上两点之间距离的表示方法，先求出AB，然后得出AC=AB，最后求解即可。
11．【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ < < ，
∴3< <4；
故a=3，b=4；
所以a+b=7.
故答案为7.
12．【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：＞.
【分析】根据被开方数大，算术平方根就大，可得，从而可得，据此即可求出结论.
13．【答案】－a
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据题意得：a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，则原式=|b|﹣|a﹣b|=﹣b﹣a+b=﹣a.
故答案为：﹣a.
【分析】根据点在数轴上的位置，可得a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，然后利二次根式的性质及绝对值的性质进行化简并计算即可.
14．【答案】2
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵1＜2＜4＜5＜9，
∴，
∵x、y均为整数，
∴4-xy=2，
∴xy=2.
故答案为：2.
【分析】由定义新运算法则可得，进而根据估算无理数大小可得，进而根据x、y都为整数可得4-xy=2，求解即可得出答案.
15．【答案】2
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴，
∴，
∴，
即，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大可得，再根据不等式的性质得，从而结合题意可得答案.
16．【答案】解：原式＝﹣1﹣8× +3×（﹣ ）
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据有理数的乘方、立方根、算术平方根的性质进行计算即可
17．【答案】解：
．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；实数的运算；绝对值的非负性
【解析】【分析】本题考查实数的运算。掌握绝对值的意义、立方根、平方根的运算是关键。
18．【答案】（1）3；
（2）解：由（1）可得，
∴，即，
，其中是整数，且，
，，
．
的值为．
【知识点】无理数的估值；实数的绝对值；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵9＜10＜16，
∴，
∵，其中a是整数，0＜b＜1，
∴a=3，b=；
故答案为：3，；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得，进而根据a是其整数部分，b是其小数部分，结合题干给出的示例即可求出a、b的值；
（2）根据（1）估算的的大小把那个结合不等式的性质可得，进而根据m是其整数部分，n是其小数部分，可表示出m、n的值，然后代入|m-n|计算即可得出答案.
19．【答案】（1）解：由题意，得，
解得．
∴；
（2）解：原式
=1
【知识点】平方根；实数的运算
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，即可列出关于a的方程，从而解出a的值，再根据平方根的定义可求出x的值.
（2）把（1）中的a和x的值代入式子，接着根据绝对值的性质进行化简，最后按实数的运算法则计算即可.
20．【答案】解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原式变形为， 根据阅读材料可得=0，=0 ，从而解出x、y的值，再代入计算即可.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时基础练习 6.3实数
一、选择题
1．（2020七下·云梦期中）下列五个命题：
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.其中真命题的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平行线的判定；平行线的性质；无理数的概念；有序数对
【解析】【解答】①正确；
②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；
③正确；
④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；
故答案为：B.
【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数， 进行判断即可.
2．（2023七下·巩义期末）在 ， ， ， ，2023这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意： ，
所以在 ， ， ， ，2023中，
，，2023是有理数，
，π是无理数，共2个，
故答案为：A.
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，即可分析得出答案．
3．（2023七下·长沙期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据，求出，再求出即可.
4．（2023七下·昆明期末）下列说法：
是无理数；是的平方根；在两个连续整数和之间，那么；若正实数的平方根是和，则，
其中，正确的说法有__个（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方根；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：①∵是有理数，∴①不正确；
②∵4的平方根是2和-2，∴-2是4的一个平方根，∴②正确；
③∵，∴，∴a=3，b=4，∴a+b=7，∴③正确；
④根据题意可得：+=0，解得：a=2，∴，∴m=52=25，∴④正确；
综上，正确的结论是②③④，共有3个，
故答案为：C.
【分析】利用无理数的定义、平方根的定义及计算，估算无理数大小的方法逐项判断即可.
5．（2023七下·紫阳期末）如图是一个数值转换器，当输入的时，输出的y等于（ ）
A．8 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：由图示得，8是有理数；
，是无理数，
∴输出的y值为.
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的定义，由图示取孙术平方根，进而再根据开方开不尽的数是无理数进行判断可得出答案.
6．（2023七下·黔东南期末）已知，，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根；实数的运算
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可.
7．（2023七下·汕尾）如图，折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的平方与y的立方根之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】实数的运算；几何体的展开图；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：如图，编号相同的面是折成正方体后的相对面，
相对面所对应的值相等，
，
，得，
，得，
.
故答案为：D.
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，一线隔一个，先知道折成正方体后的相对面，再根据相对面所对应的值相等列出二元一次方程组，解得x、y的值，然后求出x的平方与y的立方根之和.
8．（2023七下·连江期末）下列说法正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、实数分为正实数、负实数、0，错误；
B、无线小数包含无限不循环小数（属于无理数）和无限循环小数（属于有理数），错误；
C、带根号的数不一定都是无理数，比如，错误；
D、无理数都是无限不循环小数，正确.
故答案为：D.
【分析】根据实数的分类（正实数、负实数和0）、无理数的定义（无理数就是无限不循环小数）逐项判断即可.
9．（2023七下·凤台期末）若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
∵
∴
∴，
故答案为：C．
【分析】先求立方根，再估算无理数的大小即可求解．
10．（2023七下·谯城期末）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵A、B在数轴上对应的数分别是1，，
∴AB=，
∵A是BC的中点，
∴AC=AB=，
∴点C所表示的数是：1-（）=，
故答案为：C.
【分析】根据数轴上两点之间距离的表示方法，先求出AB，然后得出AC=AB，最后求解即可。
二、填空题
11．（2017七下·自贡期末）已知 为两个连续的整数，且 ，则 = .
【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ < < ，
∴3< <4；
故a=3，b=4；
所以a+b=7.
故答案为7.
12．（2019七下·贵池期中）比较大小： ．
【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：＞.
【分析】根据被开方数大，算术平方根就大，可得，从而可得，据此即可求出结论.
13．（2019七下·巴南月考）若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则 = .
【答案】－a
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据题意得：a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，则原式=|b|﹣|a﹣b|=﹣b﹣a+b=﹣a.
故答案为：﹣a.
【分析】根据点在数轴上的位置，可得a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，然后利二次根式的性质及绝对值的性质进行化简并计算即可.
14．（2023七下·罗源期末）定义．若，且、均为整数，则 ．
【答案】2
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵1＜2＜4＜5＜9，
∴，
∵x、y均为整数，
∴4-xy=2，
∴xy=2.
故答案为：2.
【分析】由定义新运算法则可得，进而根据估算无理数大小可得，进而根据x、y都为整数可得4-xy=2，求解即可得出答案.
15．（2023七下·东莞期中）规定用符号表示一个数的整数部分，例如，，按此规定 ．
【答案】2
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴，
∴，
∴，
即，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大可得，再根据不等式的性质得，从而结合题意可得答案.
三、计算题
16．（2020七下·安陆期末）计算：
【答案】解：原式＝﹣1﹣8× +3×（﹣ ）
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据有理数的乘方、立方根、算术平方根的性质进行计算即可
17．（2023七下·长沙期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；实数的运算；绝对值的非负性
【解析】【分析】本题考查实数的运算。掌握绝对值的意义、立方根、平方根的运算是关键。
四、解答题
18．（2023七下·平潭期末）先阅读下面的文字，然后解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
由此我们还可以得到一个真命题：
如果，其中是整数，且，那么，．
请解答下列问题：
（1）如果，其中是整数，且，那么 ， ；
（2）已知，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）3；
（2）解：由（1）可得，
∴，即，
，其中是整数，且，
，，
．
的值为．
【知识点】无理数的估值；实数的绝对值；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵9＜10＜16，
∴，
∵，其中a是整数，0＜b＜1，
∴a=3，b=；
故答案为：3，；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得，进而根据a是其整数部分，b是其小数部分，结合题干给出的示例即可求出a、b的值；
（2）根据（1）估算的的大小把那个结合不等式的性质可得，进而根据m是其整数部分，n是其小数部分，可表示出m、n的值，然后代入|m-n|计算即可得出答案.
19．（2023七下·通榆期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
（1）求a和x的值；
（2）化简：
【答案】（1）解：由题意，得，
解得．
∴；
（2）解：原式
=1
【知识点】平方根；实数的运算
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，即可列出关于a的方程，从而解出a的值，再根据平方根的定义可求出x的值.
（2）把（1）中的a和x的值代入式子，接着根据绝对值的性质进行化简，最后按实数的运算法则计算即可.
20．（2023七下·江北期中）先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=-2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
【答案】解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原式变形为， 根据阅读材料可得=0，=0 ，从而解出x、y的值，再代入计算即可.
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