人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 6.3实数
一、选择题
1．（2023八上·成都期中）下列说法正确的有（ ）个．
①任何实数都可以开立方；②0的相反数、倒数、平方都是0；③数轴上的点和有理数一一对应；④有限小数和无限循环小数都是有理数；⑤无理数都是无限小数．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；二次根式的化简求值；无理数的概念；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
①该说法正确，任何实数都可以开立方；
②该说法不对，0的相反数、平方都是0，但是0没有倒数；
③该说法错误，数轴上的点和实数一一对应；
④该说法正确，有限小数和无限循环小数都是有理数；
⑤该说法正确，无理数是无限不循环小数，属于无限小数；
故答案为：C.
【分析】本题考查实数的分类、性质以及实数与数轴的关系，属于基础知识，应牢记。
2．（2023七上·海曙期中） 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若则 x<， 不符合最小；
若x2=，x=，当x=-时，x若x=，x2=， x>x2， 不符合x最小.
故答案为：C.
【分析】分别计算 ，x2，x 为 时，x的值，是否满足 min{，x2，x}＝即可.
3．（2023七上·金东月考）如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（ ）
A．π+4 B．2π+4 C．3π D．3π+2
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：根据题意可知，点 O' 所对应的数是半径为2个单位长度的半圆的周长加上半圆的直径，即OO'= r +2r =×2+2×2 = 2π+4 .
故答案为：B.
【分析】根据点 O'的滚动轨迹，判断其路径长为半圆的周长加上半圆的直径即可.
4．（2022·七下潼南期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①，①正确；
②当x=0.4时，，②错误；
③∵m为非负整数时，
∴，
∴当，m为非负整数时，有，③正确；
④∵，
∴，
∴，④错误；
⑤∵，
∴，
解得，
∴为整数且x必为的倍数，
∴，k为整数，
∴0≤k≤3，
∴满足的所有非负实数x的值有4个，⑤正确；
综上所述，正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据新定义运算结合四舍五入的知识，运用解一元一次不等式结合题意即可判断①②③④⑤。
5．（2021七上·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A． 是分数 B．16的平方根是±4， 即
C．8.30万精确到百分位 D．若 ， 则
【答案】D
【知识点】平方根；二次根式的应用；近似数及有效数字；无理数的概念
【解析】【解答】解：A选项，是无理数，A选项不正确；
B选项， 16的平方根是±4， 即 ，B选项不正确；
C选项， 8.30万精确到百位，C选项不正确；
D选项，∵
∴a-2022=0，b+1=0
∴ a=2022，b=-1
∴
D选项正确；
故答案为：D.
【分析】A选项，利用分数的定义，分子分母为互质整数，得出结果；
B选项，利用平方根定义和符号表示，得出结果；
C选项，利用近似数的定义，得出结果；
D选项，利用代数式的非负性，得出结果。
6．（2021七上·泗水期中）有理数 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，① ；② ；③ ；④ ，在0到1之间数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【解答】解：①根据数轴可以知道：-2＜a＜-1，
∴1＜-a＜2，
∴0＜-a-1＜1，符合题意；
②∵-2＜a＜-1，
∴-1＜a+1＜0，
∴0＜|a+1|＜1，符合题意；
③∵-2＜a＜-1，
∴1＜|a|＜2，
∴-2＜-|a|＜-1，
∴0＜2-|a|＜1，符合题意；
④∵1＜|a|＜2，
∴ ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据数轴得出-2＜a＜-1，再逐个判断即可。
7．（2021七上·綦江期中）自定义运算： 例如： ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（ ）
A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；代数式求值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，且 ，
根据题图可知： ，
当 时
∴ ，
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
当 时
∴ ，
∵
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据题图可知 ，分两种情况：当 时 ，可得出；当 时 ，可得，然后根据自定义运算分别解答即可.
8．（2021七下·厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，
，
即 ，
又 、 是正整数，
的最大值为28，
比36更接近28，
的值比较接近 ，即比较接近5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，可得到m的取值范围，利用m=5n，可求出n的取值范围，然后利用估算无理数的大小，可得答案.
9．（2020七上·阳谷期末）边长为一个单位的正方形纸片在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1．把正方形纸片绕着顶点A在数轴上向右滚动（无滑动），在滚动过程中经过数轴上的数2021的顶点是（ ）
A．点 B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形滚动一周时，点A对就的数为4，且．．．．．.1，
∴当正方形滚动505周时，点A对应的数为2020，
∴数轴上的数2021对应的顶点为点B，
故答案为：B．
【分析】由于正方形滚动一周时，点A对就的数为4，且．．．．．.1，从而知：当正方形滚动505周时，点A对应的数为2020，从而求出结论.
10．（2020七上·镇海期中）数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 .下列四个选项中，有（ ）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①由数轴可知，a＜b＜2，
∴a-2＜0，2-b＞0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）-（2-b）=-a+2-2+b=b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故①可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
②由数轴可知：2＜b＜a，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＞0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=a-b，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故②可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
③a＜2＜b，
∴a-2＜0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）+（2-b）=-a+2+2-b=4-b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故③不可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
④2＜a＜b，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+（2-b）=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故④可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
故答案为：B.
【分析】根据数轴上各数的位置得出各数的大小关系，从而得出绝对值里面代数式的符号，去绝对值，化简即可得出答案.
二、填空题
11．（2023八上·佳木斯开学考）在，，，…中，共有 个有理数．
【答案】44
【知识点】算术平方根；实数的概念与分类；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ∵12=1，22=4，32=9，…，442=1936，452=2025，
∴，，，…，，，
∵，
∴，
∴在，，，…中，共有 44 个有理数．
故答案为：44.
【分析】找出1~2006中的所有完全平方数即可.
12．（2021七下·河西期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案39，邻座的乘客忙问计算的奥妙
（1）下面是探究 的过程，请补充完整：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定 是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是9：
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是 ；由此求得 =39
（2）已知103823也是一个整数的立方，请你用类似的方法求 =
【答案】（1）3
（2）47
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是3；由此求得 =39.
（2）∵103=1000，1003=1000000，可以确定是两位数；
∵103823的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是7：
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43=64，53=125，可以确定的十位上的数是4；由此求得=47.
故答案为：（1）3；（2）47.
【分析】（1）根据33=27<59<64=43就可确定的十位数字；
（2）根据（1）的步骤进行解答即可.
13．（2021七下·宣化期中）比较大小： 2．（填“ ”、“ ”或“ ”）
【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】
∵7＜8
∴
∴
故答案是：＜
【分析】先将2化简成，是关键，再进行比较。
14．（2017七下·南充期中）已知x、y是有理数，且x、y满足 ，则x+y=
【答案】1或-7
【知识点】解二元一次方程组；无理数的概念
【解析】【解答】由题意得
，
解之得
或
或
【分析】根据题意x、y是有理数，得到2x2+3y是有理数，得到方程组，求出x+y的值.
15．（2016七上·长兴期末）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵[ ]=1，[ ]=3，[ ]=15；
所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
故答案为：255．
【分析】根据规律可知，最后的取整是1，得出前面的一个数字最大是3，再向前一步推取整是3的最大数为15，继续会得到取整是15的最大数为255；反之验证得出答案即可．
三、解答题
16．（2023八上·重庆市期中） 阅读下面的文字，解答问题.
无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确，于是小刚用来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间。根据上述信息，请回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）10+也是夹在两个整数之间的，可以表示为，则 ；
（3）若，其中是整数，且0【答案】（1）4；
（2）—1
（3）解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
∴x=2，y=-4，
∴x-y=2-+4=6-，
∴x-y 的相反数是 -6.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴的整数部分为：4，小数部分为：-4；
故第1空答案为：4；第2空答案为：-4；
（2）∵10+夹在两个整数之间， ，
∴b=a+1，
∴a-b=-1，
∴ （-1）2013=-1；
故答案为：-1；
【分析】（1）仿照阅读部分的推理，即可得出的整数部分为：4，小数部分为：-4；
（2）直接根据两个相邻的整数的差为1，即可得出a-b=-1，即可求得-1；
（3）根据 是整数，且017．阅读第(1)题的解法，再解答第(2)题．
已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为
即5-a× =(2b-a)+ ×
所以2b-a=5，-a=
解得a=，b=
设x，y是有理数，并且满足x2+y×+2y=-4×+17，求×+y的值．
【答案】解；因为x2+y×+2y=4×+17，
所以(x2 +2y)+y×=17-4×，
所以x2+2y=17，y=-4，
解得x=5，y=-4或x=-5，y=-4．
所以x+y=1或x+y=- 9．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原等式变形为(x2 +2y)+y×=17-4×，根据等式两边的有理数相等，二次根式部分相等可得x2+2y=17，y=-4，解之即可.
18．（2020七上·杭州月考）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0， ，b的形式，试求a2n-1a2n（n≥1）的值.
【答案】解：由题可得：a≠0，a+b=0，
∴ =-1，b=1，
∴a=-1，
又∵2n-1为奇数，-1的奇数次方得-1；2n为偶数，-1的偶数次方得1，
∴a2n-1 a2n=（-1）2n-1×（-1）2n=-1×1=-1.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】由于 有意义，则a≠0，则应有a+b=0，则 =-1，故只能b=1，a=-1了，再代入代数式求解.
四、综合题
19．（2023七下·太和期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知：，其中是整数，且，直接写出的相反数 ．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分，
∵，
即，
∴的整数部分，
∴．
（3）
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为；
故答案为：4；；
（3）∵
∴11＜x+y＜12，
∵x为整数，且0＜y＜1，
∴x=11，，
∴，
∴x-y的相反数是，
故答案为：.
【分析】（1）先估算介于哪两个相邻的整数之间，再得出它的整数部分，从而得出它的小数部分；
（2）首先用估算得出，b=3，再代入代数式a+b-，求出代数式的值及可；
（3）首先估算，得出，x=11，，然后求出代数式x-y，再进一步求得它的相反数即可。
20．（2022七上·鄞州期中）先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数
∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴
∴
∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
【答案】（1）3；1；证明∵a+b=3+，其中a、b为有理数， ∴a-3+（b-1）=0， ∴， ∵a为有理数， ∴为有理数， ∴是有理数， 又∵为有理数，是无理数， ∴即， ∴， ∴即， ∴，；
（2）解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，，
代入得 ，
，
整理得 ，
∴，
解得.
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【分析】（1）根据有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，建立等式并求解即可；
（2）先求出a、b的值，再代入等式中整理，利用有理数和有理数相等，无理数和无理数相等建立关于x、y的方程组并解之即可.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 6.3实数
一、选择题
1．（2023八上·成都期中）下列说法正确的有（ ）个．
①任何实数都可以开立方；②0的相反数、倒数、平方都是0；③数轴上的点和有理数一一对应；④有限小数和无限循环小数都是有理数；⑤无理数都是无限小数．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023七上·海曙期中） 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七上·金东月考）如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（ ）
A．π+4 B．2π+4 C．3π D．3π+2
4．（2022·七下潼南期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021七上·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A． 是分数 B．16的平方根是±4， 即
C．8.30万精确到百分位 D．若 ， 则
6．（2021七上·泗水期中）有理数 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，① ；② ；③ ；④ ，在0到1之间数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021七上·綦江期中）自定义运算： 例如： ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（ ）
A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014
8．（2021七下·厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2020七上·阳谷期末）边长为一个单位的正方形纸片在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1．把正方形纸片绕着顶点A在数轴上向右滚动（无滑动），在滚动过程中经过数轴上的数2021的顶点是（ ）
A．点 B．点B C．点C D．点D
10．（2020七上·镇海期中）数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 .下列四个选项中，有（ ）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023八上·佳木斯开学考）在，，，…中，共有 个有理数．
12．（2021七下·河西期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案39，邻座的乘客忙问计算的奥妙
（1）下面是探究 的过程，请补充完整：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定 是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是9：
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是 ；由此求得 =39
（2）已知103823也是一个整数的立方，请你用类似的方法求 =
13．（2021七下·宣化期中）比较大小： 2．（填“ ”、“ ”或“ ”）
14．（2017七下·南充期中）已知x、y是有理数，且x、y满足 ，则x+y=
15．（2016七上·长兴期末）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
三、解答题
16．（2023八上·重庆市期中） 阅读下面的文字，解答问题.
无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确，于是小刚用来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间。根据上述信息，请回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）10+也是夹在两个整数之间的，可以表示为，则 ；
（3）若，其中是整数，且017．阅读第(1)题的解法，再解答第(2)题．
已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为
即5-a× =(2b-a)+ ×
所以2b-a=5，-a=
解得a=，b=
设x，y是有理数，并且满足x2+y×+2y=-4×+17，求×+y的值．
18．（2020七上·杭州月考）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0， ，b的形式，试求a2n-1a2n（n≥1）的值.
四、综合题
19．（2023七下·太和期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知：，其中是整数，且，直接写出的相反数 ．
20．（2022七上·鄞州期中）先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数
∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴
∴
∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；二次根式的化简求值；无理数的概念；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
①该说法正确，任何实数都可以开立方；
②该说法不对，0的相反数、平方都是0，但是0没有倒数；
③该说法错误，数轴上的点和实数一一对应；
④该说法正确，有限小数和无限循环小数都是有理数；
⑤该说法正确，无理数是无限不循环小数，属于无限小数；
故答案为：C.
【分析】本题考查实数的分类、性质以及实数与数轴的关系，属于基础知识，应牢记。
2．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若则 x<， 不符合最小；
若x2=，x=，当x=-时，x若x=，x2=， x>x2， 不符合x最小.
故答案为：C.
【分析】分别计算 ，x2，x 为 时，x的值，是否满足 min{，x2，x}＝即可.
3．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：根据题意可知，点 O' 所对应的数是半径为2个单位长度的半圆的周长加上半圆的直径，即OO'= r +2r =×2+2×2 = 2π+4 .
故答案为：B.
【分析】根据点 O'的滚动轨迹，判断其路径长为半圆的周长加上半圆的直径即可.
4．【答案】C
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①，①正确；
②当x=0.4时，，②错误；
③∵m为非负整数时，
∴，
∴当，m为非负整数时，有，③正确；
④∵，
∴，
∴，④错误；
⑤∵，
∴，
解得，
∴为整数且x必为的倍数，
∴，k为整数，
∴0≤k≤3，
∴满足的所有非负实数x的值有4个，⑤正确；
综上所述，正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据新定义运算结合四舍五入的知识，运用解一元一次不等式结合题意即可判断①②③④⑤。
5．【答案】D
【知识点】平方根；二次根式的应用；近似数及有效数字；无理数的概念
【解析】【解答】解：A选项，是无理数，A选项不正确；
B选项， 16的平方根是±4， 即 ，B选项不正确；
C选项， 8.30万精确到百位，C选项不正确；
D选项，∵
∴a-2022=0，b+1=0
∴ a=2022，b=-1
∴
D选项正确；
故答案为：D.
【分析】A选项，利用分数的定义，分子分母为互质整数，得出结果；
B选项，利用平方根定义和符号表示，得出结果；
C选项，利用近似数的定义，得出结果；
D选项，利用代数式的非负性，得出结果。
6．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【解答】解：①根据数轴可以知道：-2＜a＜-1，
∴1＜-a＜2，
∴0＜-a-1＜1，符合题意；
②∵-2＜a＜-1，
∴-1＜a+1＜0，
∴0＜|a+1|＜1，符合题意；
③∵-2＜a＜-1，
∴1＜|a|＜2，
∴-2＜-|a|＜-1，
∴0＜2-|a|＜1，符合题意；
④∵1＜|a|＜2，
∴ ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据数轴得出-2＜a＜-1，再逐个判断即可。
7．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；代数式求值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，且 ，
根据题图可知： ，
当 时
∴ ，
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
当 时
∴ ，
∵
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据题图可知 ，分两种情况：当 时 ，可得出；当 时 ，可得，然后根据自定义运算分别解答即可.
8．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，
，
即 ，
又 、 是正整数，
的最大值为28，
比36更接近28，
的值比较接近 ，即比较接近5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，可得到m的取值范围，利用m=5n，可求出n的取值范围，然后利用估算无理数的大小，可得答案.
9．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形滚动一周时，点A对就的数为4，且．．．．．.1，
∴当正方形滚动505周时，点A对应的数为2020，
∴数轴上的数2021对应的顶点为点B，
故答案为：B．
【分析】由于正方形滚动一周时，点A对就的数为4，且．．．．．.1，从而知：当正方形滚动505周时，点A对应的数为2020，从而求出结论.
10．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①由数轴可知，a＜b＜2，
∴a-2＜0，2-b＞0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）-（2-b）=-a+2-2+b=b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故①可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
②由数轴可知：2＜b＜a，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＞0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=a-b，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故②可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
③a＜2＜b，
∴a-2＜0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）+（2-b）=-a+2+2-b=4-b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故③不可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
④2＜a＜b，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+（2-b）=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故④可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
故答案为：B.
【分析】根据数轴上各数的位置得出各数的大小关系，从而得出绝对值里面代数式的符号，去绝对值，化简即可得出答案.
11．【答案】44
【知识点】算术平方根；实数的概念与分类；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ∵12=1，22=4，32=9，…，442=1936，452=2025，
∴，，，…，，，
∵，
∴，
∴在，，，…中，共有 44 个有理数．
故答案为：44.
【分析】找出1~2006中的所有完全平方数即可.
12．【答案】（1）3
（2）47
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是3；由此求得 =39.
（2）∵103=1000，1003=1000000，可以确定是两位数；
∵103823的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是7：
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43=64，53=125，可以确定的十位上的数是4；由此求得=47.
故答案为：（1）3；（2）47.
【分析】（1）根据33=27<59<64=43就可确定的十位数字；
（2）根据（1）的步骤进行解答即可.
13．【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】
∵7＜8
∴
∴
故答案是：＜
【分析】先将2化简成，是关键，再进行比较。
14．【答案】1或-7
【知识点】解二元一次方程组；无理数的概念
【解析】【解答】由题意得
，
解之得
或
或
【分析】根据题意x、y是有理数，得到2x2+3y是有理数，得到方程组，求出x+y的值.
15．【答案】255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵[ ]=1，[ ]=3，[ ]=15；
所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
故答案为：255．
【分析】根据规律可知，最后的取整是1，得出前面的一个数字最大是3，再向前一步推取整是3的最大数为15，继续会得到取整是15的最大数为255；反之验证得出答案即可．
16．【答案】（1）4；
（2）—1
（3）解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
∴x=2，y=-4，
∴x-y=2-+4=6-，
∴x-y 的相反数是 -6.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴的整数部分为：4，小数部分为：-4；
故第1空答案为：4；第2空答案为：-4；
（2）∵10+夹在两个整数之间， ，
∴b=a+1，
∴a-b=-1，
∴ （-1）2013=-1；
故答案为：-1；
【分析】（1）仿照阅读部分的推理，即可得出的整数部分为：4，小数部分为：-4；
（2）直接根据两个相邻的整数的差为1，即可得出a-b=-1，即可求得-1；
（3）根据 是整数，且017．【答案】解；因为x2+y×+2y=4×+17，
所以(x2 +2y)+y×=17-4×，
所以x2+2y=17，y=-4，
解得x=5，y=-4或x=-5，y=-4．
所以x+y=1或x+y=- 9．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原等式变形为(x2 +2y)+y×=17-4×，根据等式两边的有理数相等，二次根式部分相等可得x2+2y=17，y=-4，解之即可.
18．【答案】解：由题可得：a≠0，a+b=0，
∴ =-1，b=1，
∴a=-1，
又∵2n-1为奇数，-1的奇数次方得-1；2n为偶数，-1的偶数次方得1，
∴a2n-1 a2n=（-1）2n-1×（-1）2n=-1×1=-1.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】由于 有意义，则a≠0，则应有a+b=0，则 =-1，故只能b=1，a=-1了，再代入代数式求解.
19．【答案】（1）4；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分，
∵，
即，
∴的整数部分，
∴．
（3）
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为；
故答案为：4；；
（3）∵
∴11＜x+y＜12，
∵x为整数，且0＜y＜1，
∴x=11，，
∴，
∴x-y的相反数是，
故答案为：.
【分析】（1）先估算介于哪两个相邻的整数之间，再得出它的整数部分，从而得出它的小数部分；
（2）首先用估算得出，b=3，再代入代数式a+b-，求出代数式的值及可；
（3）首先估算，得出，x=11，，然后求出代数式x-y，再进一步求得它的相反数即可。
20．【答案】（1）3；1；证明∵a+b=3+，其中a、b为有理数， ∴a-3+（b-1）=0， ∴， ∵a为有理数， ∴为有理数， ∴是有理数， 又∵为有理数，是无理数， ∴即， ∴， ∴即， ∴，；
（2）解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，，
代入得 ，
，
整理得 ，
∴，
解得.
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【分析】（1）根据有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，建立等式并求解即可；
（2）先求出a、b的值，再代入等式中整理，利用有理数和有理数相等，无理数和无理数相等建立关于x、y的方程组并解之即可.
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