2023-2024第一学期北京市昌平区初三数学期末试卷（无答案）

昌平区 2023—2024学年第一学期初三年级期末质量抽测
数学试卷 2024.1
本试卷共 8页，共三部分，28个小题，满分 100分。考试时间 120分钟。考生务必将
答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请交回答题卡。
一、选择题（共 8道小题，每小题 2分，共 16分）
第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一．个．
1. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么
这个圆与这条直线的位置关系是
（A）相离 （B）相切
（C）相交 （D）不确定
2．如果 2m=3n（n≠0），那么下列比例式成立的是 1题图（图换了）
m n m n m 2 m 3
（A） （B） （C） （D）
2 3 3 2 n 3 2 n
3．将抛物线 y 2x 2向左平移 2个单位长度，再向下平移 3个单位长度，所得到的抛物线的
表达式为
（A） y 2(x 2)2 3 （B） y 2(x 2)2 3
（C） y 2(x 2)2 3 （D） y 2(x 2)2 3
4. 如图，点 A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，
∠BAC＝40°，则∠D的度数是
（A）40° （B）50° （C） 60° （D） 90° 4题图
4
5. 在平面直角坐标系 xOy中，若点 A(x1,1)和 B(x2 ,4)在反比例函数 y 图象上，则下列x
关系式正确的是
（A） 0 x2 x1 （B）0 x1 x2 （C） x1 x2 0 （D） x2 x1 0
6.如图，一艘轮船航行至 O点时，测得某灯塔 A位于它的北偏东 40°方向，且它与灯塔 A相
距 13海里，继续沿正东方向航行，航行至点 B处时，测得灯塔 A恰好在它的正北方向，则
AB的距离可表示为
（A）13cos 40 海里 （B）13sin 40 海里
13 13
（C） 海里 海里sin 50 （D） cos50
6题图
3
7.如图，在等腰△ABC中， AB AC， BD AC于点， cos A ，则 sin CBD的值
5
1
（A） （B）2
2
5 5
（C） （D）
2 5
8.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是 AC，BC边上的点， 7题图
且 AD = CE，连接 BD，AE相交于点 F，则下列说法正确的是
①△ABD≌△CAE； ②∠BFE=60°；
AFB ADF AD = 1 AF 1③△ ∽△ ； ④若 ，则
AC 3 BF 2
（A）①②③ （B）①②④
（C）②③④ （D）①③④
8题图
二、填空题（共 8道小题，每小题 2分，共 16分）
9．写出一个开口向下且过（0，1）的抛物线的表达式_________.
k
10．如图，M为反比例函数 y k 0 的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为 A，△AOM
x
的面积为 3，则 k的值为 ．
11．在 2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天
下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形
ABCDEF）的外接圆，已知正六边形 ABCDEF的边长是 4，则 B C长为______________.
12．如图，在平行四边形 ABCD中，E为 BC的中点，DE，AC交于点 F，则△CEF和△ADF
的面积比为 ．
13. 如图，在⊙O中，半径 OC垂直弦 AB于点 D，若 OC=3，AB= 4 2，则 CD的长为
___________.
10题图 11题图 12题图 13题图
14. 小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，
零件与直尺，三角板均相切，测得点 A与其中一个切点 B的距离为 3cm，则这个零件的半
径是__________cm.
15. 如图，AB是⊙O直径，点 C是⊙O上一点，OC=1且∠BOC=60°，点 D是 B C的中点，
点 P是直径 AB上一动点，则 CP+DP的最小值为____________.
16. 已知抛物线 y ax2 bx c（a，b，c为常数，a 0）的对称轴是直线 x=1，其部分
2
图象如图，则以下四个结论中：①abc 0；②2a b 0；③3a c 0；④. 4a b＞4ac
其中，正确结论的序号是____________________.
14题图 15题图 16题图
三、解答题（本题共 12道小题，第 17题 5分，第 18题 4分，第 19题 6分，第
20-22题，每小题 5分，第 23-26题，每小题 6分，第 27、28题，每小题 7分，
共 68分）
17. 计算： sin 30 tan 45 3 tan 30 cos245 .
18. 如图，△ABC中，点 D是边 AB上一点，点 E为△ABC外一点，DE∥BC，连接 BE.
从下列条件中：①∠E =∠A； ② DE DB .
BA BC
选择一个作为添加的条件，求证：△EDB∽△ABC.
（18题图也换了，字母好看点）
18题图（图换了）
19. 2已知二次函数 y ax bx c(a 0)的 y与 x的部分对应值如下表：
x … -3 -1 1 3 …
y … -3 0 1 0 …
（1）求这个二次函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
（3）当 x的取值范围为_________时，y＞-3.
19题图
20. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D，CD= 3，BD=1，求 sin∠BCD及
AC的长.
20题图
21. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求作： 射线 BP 1，使得 ABP BAC .
2
作法：①以点 A为圆心，AB长为半径画圆；
②延长 BA交⊙A于点 D，以点 D为圆心，BC长为半径
画弧，与⊙A交于点 P（点 C， P在线段 BD的同侧）；
③作射线 BP.
射线 BP即为所求.
21题图
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接 AP，DP.
∵AB=AC，
∴点 C在⊙A上.
∵D P D P，
∴∠ABP 1 ∠DAP（ ）（填推理依据）.
2
∵ DP=BC,
∴∠DAP ________ .
1
∴∠ABP ∠BAC .
2
k
22. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A（1，2）在双曲线 y 11 （k1 0）上，点 B在双x
k
曲线 y2 2（k2 0）上，且满足 OA⊥OB，连接 AB.x
k
（1）求双曲线 y 11 （k1 0）的表达式；x
（2）若 tan∠OAB= 2，求 k2的值.
22题图
23. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的
高度 AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点 C处用高 1.5m的测角仪
CD测得塔顶 A的仰角为 37°，然后沿 CB方向前行 7m到达点 F处，在 F处测得塔顶 A的
3
仰角为 45°．请根据他们的测量数据求塔高 AB的长度大约是多少．（参考数据：sin 37 ，
5
cos37 4 3 ， tan 37 ， sin53
4 cos53 3 tan53 4 ， ， ．）
5 4 5 5 3
23题图 1 23题图 2
24. 如图，AB是⊙O的直径，点 C在⊙O上，点 D为 AC的中点，过点 D作⊙O的切线，
交 BC延长线于点 P，连接 OD交 AC于点 E.
（1）求证：四边形 DECP是矩形；
3
（2）作射线 AD交 BC的延长线于点 F，若 tan∠CAB= ，
4
BC=6，求 DF的长.
24题图
25．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛
物线的一部分，小静和小林分别站在点 O和点 A处，测得 OA距离为 6m，若以点 O为原点，
OA所在直线为 x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面 1m 的 B处将沙包
抛出，其运动轨迹为抛物线 C1： y a(x 3)2 2的一部分，小静恰在点 C（0，c）处接住，
1 n
然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线 C2： y x2 x c 1的一部分．
8 8
（1）抛物线 C1的最高点坐标为__________；
（2）求 a，c的值；
（3）小林在 x轴上方 1m的高度上，且到点 A水平距离不超过 1m的范围内可以接到沙包，
若小林成功接到小静的回传沙包，则 n的整数值可为________________.
25题图 1 25题图 2
26. 2在平面直角坐标系 xOy中，点（0，3），（6， y1）在抛物线 y ax bx c a 0 上.
（1）当 y1 3时，求抛物线的对称轴；
2
（2）若抛物线 y ax bx c a 0 经过点（-1，-1），当自变量 x的值满足-1≤x≤2时，
y随 x的增大而增大，求 a的取值范围；
（3）当 a>0时，点（m-4， y2），（m， y2）在抛物线 y ax
2 bx c上. 若 y2＜ y1＜ c，
请直接写出 m的取值范围.
27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 M为 BC的中点，连接 AM，点 D为线段 CM上
一动点，过点 D作 DE⊥BC，且 DE=DM，（点 E在 BC的上方），连接 AE，过点 E作 AE的
垂线交 BC边于点 F.
（1）如图 1，当点 D为 CM的中点时，
①依题意补全图形；
②直接写出 BF和 DE的数量关系为______________；
（2）当点 D在图 2的位置时，用等式表示线段 BF与 DE之间的数量关系，并证明.
27题图 1 27题图 2
28.对于在平面直角坐标系 xOy中⊙T和⊙T外的点 P，给出如下定义：已知⊙T的半径为 1，
若⊙T上存在点 Q，满足 PQ≤2，则称点 P为⊙T的关联点.
（1）如图 1，若点 T的坐标为（0，0），
28题图 1
①在点 P1（3，0），P2（3，-2）， P3（-2，2）中，是⊙T的关联点的是____________；
②直线 y 2x b分别交 x轴，y轴于点 A，B，若线段 AB存在⊙T的关联点，求 b的取值
范围；
（2）已知点 C（0， 3），D（1，0），T（m，1），△COD上的每一个点都是⊙T的关联点，
直接写出 m的取值范围.
28题图 2