2024年湖北省中考数学易错精选练习（一）（含解析）

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2024年湖北省中考数学易错精选练习（一）
一、单选题
1．﹣1的绝对值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
2．2022年恩施自治州参加中考的考生数是44695人，将44695用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在一个正方体纸盒上切一刀，切面与棱的交点分别为，，，切掉角后，将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是( )
A． B．
C． D．
6．如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A． B． C． D．
7．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．且 B． C．或 D．
8．关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．已知A，B两地相距4千米，上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离(千米)与甲所用的时间(分)之间的关系如图所示．由图中的信息知，乙到达A地的时刻为(　　)
A．8：30 B．8：35 C．8：40 D．8：45
10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（　　）

A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
11．如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
12．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．计算的结果是 ．
14．初三（4）班8名同学在一次测试中成绩（单位：分）如下：98，106，110，108，118，86，106，113．这组数据的中位数是 ．
15．计算的结果是 ．
16．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在水平地面L的影长BC为5米，落在斜坡上的部分影长CD为4米．测得斜CD的坡度i＝1：．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC＝80°，则旗杆AB的高度 ．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2，＝1.732）
17．已知开口向下的抛物线经过点，，下列四个结论①；②；③；④.其中正确的结论是 ．
18．如图，已知D为等腰的腰上一点，绕点D逆时针旋转至，连接，，M为的中点，则当时， ．

三、解答题
19．先化简：，再从不等式组中选取一个合适的整数，代入求值．
20．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．
求证： ．
21．如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
（2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值．
22．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．

（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求的面积．
24．天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
25．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；
（3）如果PD＝PH，求证：AH OP＝HP AP．
26．如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，与ｙ轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少．
参考答案：
1．A
【分析】根据绝对值的性质进行解答即可．
【详解】∵﹣1＜0，
∴|﹣1|=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的计算，掌握绝对值的性质是关键．
2．A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．D
【分析】直接利用整式的加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．，原计算错误，故此选项不合题意；
B． 与不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
C．，原计算错误，故此选项不合题意；
D．，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了整式的加减运算以及同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．B
【分析】正方形的展开图有“”型；“”型，不能出现“田”字；“”型，不能出现“田”字；“”型，再根据图形被切去角后面与面的关系的特点，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，正方形展开图形，
“”型：
“”型：
“”型：
“”型：
根据正方形展开图，切掉角后，将纸盒剪开展成平面的特点，可知，被切去角的面是三个相邻的面，不能出现切去角的面是对面，
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形展开图的规律，掌握正方形展开图的特点，切去角后的面与面的关系是解题的关键．
6．D
【分析】由图可知，甲乙丙是彼此相邻的，所以甲的旁边是乙是必然事件，从而得出正确的选项．
【详解】解：这张圆桌的3个座位是彼此相邻的，甲乙相邻是必然事件，所以甲和乙相邻的概率为1．
故选：D．
【点睛】此题考查了求概率，解题的关键是判断出该事件是必然事件．
7．A
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且，
故选：A．
【点睛】本题考查的函数的自变量的取值范围，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，求解不等式组的解集，熟练的根据代数式有意义的条件求解函数的自变量的取值范围是解本题的关键．
8．C
【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由题意得，不等式组的解集为：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．
9．C
【分析】根据甲60分走完全程4千米，求出甲的速度，再由图中两图象的交点可知，两人在走了2千米时相遇，从而可求出甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5-）小时，所以乙的速度为：2÷，求出乙走完全程需要时间，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，即可求出答案．
【详解】因为甲60分走完全程4千米，所以甲的速度是4千米/时，
由图中看出两人在走了2千米时相遇，那么甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5-）小时，
所以乙的速度为：2÷=12，所以乙走完全程需要时间为：4÷12=（时）=20分，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，现在的时间为8点40．
故选C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的应用．做题过程中应根据实际情况和具体数据进行分析．本题应注意乙用的时间和具体时间之间的关联．
10．B
【分析】取的中点M，作于点M，取上的球心O，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：取的中点M，作于点M，取上的球心O，连接，
∴，

∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∴，，
在直角三角形中，
即：
解得：
故选：B．
【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，矩形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．D
【分析】先利用等腰三角形的性质可得，再利用等量代换可得，然后利用两角相等的两个三角形的相似证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．D
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在
之间，从而判断①；由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入函数解析式根据图象可判断②；由有两个相等实数根可得，从而判断③．由函数最大值为可判断④．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在和之间，
∴图象与x轴另一交点在之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
13．5
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
14．107
【分析】中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数．
【详解】解：将所给数据按照从小到大的顺序排列：86，98，106，106，108，110，113， 118.
故中位数为：
故答案为：
【点睛】本题考查中位数的求解．熟记相关定义即可．
15．
【分析】分式通分后即可进行运算．
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题考查分式的加减运算．通分是解题关键．
16．12.2m．
【分析】延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥CE于点F．解直角三角形求出EF，CF，即可解决问题．
【详解】延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥CE于点F．
在△DCF中，∵CD＝4m，DF：CF＝1：，
∴tan∠DCF＝，
∴∠DCF＝30°，∠CDF＝60°．
∴DF＝2（m），CF＝2（m），
在Rt△DEF中，因为∠DEF＝50°，
所以EF＝≈1.67（m）
∴BE＝EF+FC+CB＝1.67+2+5≈10.13（m），
∴AB＝BE tan50°≈12.2（m），
故答案为12.2m．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．①③④
【分析】根据的图象和性质即可求解．
【详解】解：①∵抛物线经过点，，
且抛物线的开口向下，
∴抛物线与轴的交点在轴的上方，
故：，
故①正确；
②∵抛物线经过点，
∴，
，
∵抛物线的开口向下，
，
，
故②错误；
③由②可得：，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
故③正确；
④，
，
，
，
，
故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题综合考查的图象和性质．熟记相关结论即可．
18．/0.25
【分析】连接，过点E作于点F，根据旋转的性质可得，，推出，则，根据三角形的中位线定理可得，通过证明，可推出，得出，即可求解．
【详解】解：连接，过点E作于点F，
∵绕点D逆时针旋转至，
∴，，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点D为中点，
∵M为的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
则，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，相似三角性质对应边成比例．
19．，-1
【分析】先将括号内的异分母分式通分，除式的分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分，结果化为最简分式或整式；求出不等式的整数解，从中选择符合条件的x值，代入求得化简后的分式或整式的值．
【详解】解：原式
．
不等式组的整数解为-2，-1，0，1，2，
其中时，原式都没有意义，
∴当时，
原式．
【点睛】本题考查了因式分解、分式的化简求值、一元一次不等式的整数解、分式有意义的条件等知识点，熟知分式的化简方法和步骤是化简的基础；确定符合条件的x值是求值的关键．
20．证明见解析．
【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴（SAS），
∴AE=BF．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见解析；（3）．
【分析】（1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可；
（2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可；
（3）由销量比，则，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）抽取的总数为：（件），
∴XXL的百分比：，
XL的百分比：；
∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%．
（2）根据题意，
S号的数量：（件），
L号的数量：（件），
XL号数量：（件），
补全条形图如图所示．
（3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则，
根据概率的意义，有，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．小山的高度为米
【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高．
【详解】解：设为米，则米，∵ ∴，而米，
在中，，
则米，米，
在中，，
解得．
答：小山的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键．
23．（1）y＝，y＝3x﹣3；（2）
【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【详解】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在和中
，
∴（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y＝，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得，
解得，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解
得或，
经检验：两组解都符合题意，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE＝＝，DB＝＝，
∴CN＝BD＝，
∴
【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，函数的交点坐标的求解，化为一元二次方程的分式方程的解法，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
24．（1）种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；（2）该商店有5种进货方案；（3）①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
【分析】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，然后根据“用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可；
（2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“种商品的数量不低于种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可；
（3）设销售、两种商品总获利元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可．
【详解】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元．
依题意得，解得，
经检验是原方程的解且符合题意
当时，．
答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；
（2）设购进种商品件，购进种商品件，
依题意得
解得，
∵为整数∴．
∴该商店有5种进货方案；
（3）设销售、两种商品总获利元，
则．
①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，
∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，熟练应用所学知识解决实际问题是解答本题的关键．
25．（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）连接BC，OB，证明OB⊥PB即可．
（2）解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN即可．
（3）证明△NAH∽△NPD，推出=，证明△PAN∽△OAP，推出=，推出=可得结论．
【详解】（1）如图，连接BC，OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO，
∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB，
∴∠CBO=∠PBD，
∴∠OBP=∠CBD=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵CD⊥AB，
∴CD垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AMO=90°，
∴OM===3，
∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，
∴△AOM∽△POA，
∴=，
∴=，
∴OP=，
∵PN⊥PC，
∴∠NPC=∠AMO=90°，
∴=，
∴=，
∴PN=．
（3）∵PD=PH，
∴∠PDH=∠PHD，
∴∠PDN=∠PHD=∠AHN，
∵∠NPC=90°，∠OAP=90°，
∴∠NAH =∠NPD=90°，
∴△NAH∽△NPD，
∴=，
∵∠APN+∠PNA=∠POA+∠PNA=90°，
∴∠APN=∠POA，
又∠PAN=∠PAO=90°，
∴△PAN∽△OAP，
∴=，
∴=，
∴==，
∴AH OP=HP AP．
【点睛】本题综合考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．（1）；（2）或；（3）F．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式；
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，
∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=
∴A（-2，0），B（4，0）
∵点B在直线上，∴，即
∴直线的解析式为
∵点D在直线上，且横坐标为-5，∴纵坐标为
∵点D在抛物线上，∴，解得
∴抛物线的函数表达式为
（2）易得，点C的坐标为，则
设点P的坐标为，
分两种情况：
①若△PAB∽△ABC，则∠PAB=∠ABC，
∴由∠PAB=∠ABC 得，即
∴，解得
此时点P的坐标为，，
∴由得，解得
②若△PAB∽△BAC，则∠PAB=∠BAC，
∴由∠PAB=∠BAC 得，即
∴，解得
此时点P的坐标为，，
∴由得，解得
（3）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求
∵直线BD的解析式为，∴∠FBA=∠FGD=30°
∵AB=6，∴AF=
∴点F的坐标为
【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用．
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