2024年浙江省中考数学易错精选练习（一）（含解析）

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2024年浙江省中考数学易错精选练习（一）
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．
2．如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
3．不等式组的整数解是（　　）
A．0 B． C． D．1
4．如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是，下列各地点中，离原点最近的是（ ）
A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校
5．如图，直线a，b被c所截，则与是（ ）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是(　　)
A．22 B．20
C．22或20 D．18
10．如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．分解因式：
12．如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片30cm，幻灯片距屏幕1.5m，幻灯片中的小树高8cm，则屏幕上的小树高是 .
13．已知：，，则 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．

15．一家商店某种衣服按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利元，则这件衣服的进价是 元．
16．已知符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.3]＝1，[3.2]＝4，[7]＝7，若[x]＝3，则x的取值范围
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）解方程组
18．总务处为合理配置学校的体育器材，委托体育教研组调查了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等五项体育活动的喜欢程度，体育教研组随机抽查了部分学生，对同学们最喜欢的体育项目（每人只选一项）进行问卷调查，并将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图．

解答下列问题：
(1)填空：________%，这次问卷调查共抽取了________名学生进行调查．
(2)补全图2中的条形统计图．
(3)若全校共有1800名学生，则该校约有多少名学生喜爱打篮球？
19．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下的实验研究：在滴水的水龙头下以置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏内收集到的一组数据．
时间 0 5 10 15 20 25 30
水量 0 4 8 12 16 20 24
为了描述漏水量与漏水时间的关系，现有以下三种函数模型供选择：．

(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式并画出这个函数的图象，
(2)当容器内水量显示的读数为时，求漏水时间．
(3)在这种漏水状态下，请你估算一天的漏水量．
20．如图，数学兴趣小组的几位同学在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为．测得与的延长线交于点，同学们用测倾器测得山坡的坡度为（即）．

(1)求该建筑物的高度的长．
(2)求山坡上点处的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号的形式）．
21．如图，为的直径，是延长线上一点，且为的切线，为切点，连结．

(1)求的长（结果保留）．
(2)求证：为等腰三角形．
22．如图1，中，，，．为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连接．

(1)如图2，当时，求的长．
(2)当翻折得到的中有一边与垂直时，求的长．
23．在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
24．如图1，菱形中，，，是边上一动点（不与点、重合）连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交直线于点、是的中点，连结、．

(1)填空：________；________．
(2)如图2，将题中条件“”改成“”，其余条件均不变，连结，猜想、、这三条线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明．
(3)在（2）的条件下，连结．
①若动点运动到边的中点处时，求的面积；
②在动点的整个运动过程中，求面积的最大值．
参考答案：
1．A
【分析】直接利用相反数的定义得出即可．
【详解】解：的相反数是：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．B
【详解】线段有：AB、AC、BC.
故选：B.
3．B
【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解是，
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．
4．A
【分析】根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，利用勾股定理求出各点到原点的距离，由此得到答案．
【详解】解：根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，
超市到原点的距离为，
医院到原点的距离为，
学校到原点的距离为，
体育场到原点的距离为，
故选：A．
【点睛】此题考查了根据点坐标确定原点，勾股定理，正确理解点坐标得到原点的位置及正确展望勾股定理的计算是解题的关键．
5．B
【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答．
【详解】解：如图所示，

两条直线a、b被直线c所截形成的角中，与都在a、b直线的之间，并且在直线c的两旁，所以与是内错角．
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角，内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
6．D
【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
7．D
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【详解】解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为：
故选D
【点睛】考核知识点：二元一次方程组应用.理解题意列出方程是关键.
8．A
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，
故选A．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
9．C
【详解】试题解析：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
如图，
①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故选C．
考点：平行四边形的性质．
10．B
【详解】【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．
【详解】∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，
∴点A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；
∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，
∴⊙D的面积为25π，故②错误；
在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，
∴点C（0，﹣4），
当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，
解得：x1=0、x2=6，
所以点E（6，﹣4），
则CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，
∴点M（3，﹣），
∴DM=，
如图，连接CD，过点M作MN⊥y轴于点N，则有N（0，﹣），MN=3，
∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，
在Rt△ODC中，∠COD=90°，∴CD2=OC2+OD2=25，∴CM2+CD2=，
∵DM2=，
∴CM2+CD2=DM2，
∴∠DCM=90°，即DC⊥CM，
∵CD是半径，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关知识是解题的关键.
11．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用十字相乘法继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．48cm
【分析】由题意可知图中小三角形与大三角形为相似关系，由距离可知相似比，根据相似性质即可求解小树高.
【详解】解：设屏幕上小树高度为xcm，由题意可知小三角形与大三角形为相似关系，且相似比为0.3:1.8=1:6，故此可得关系式：
，解得x=48，
故屏幕上小树高为48cm.
【点睛】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，理解本题距离比就是相似比是解题关键.
13．2
【分析】利用负整数指数幂和零指数幂求出a的值，利用平方差公式，求出b的值，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键．
14．2或10
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
∴(秒)；
当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
∴(秒)；
故答案为：2或10
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
15．
【分析】设这件衣服的进价元，标价为，根据题意可得等量关系：标价八折进价利润，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设这件衣服的进价x元，由题意得：
，
解得：，
即：这件衣服的进价元．
故答案是：．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
16．2＜x≤3
【分析】按材料上提供的计算方法，就是表示若是整数，就是数本身，如果是一个小数，是指比这个数较大的最小的整数，计算即可．
【详解】符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.3]＝1，[3.2]＝4，[7]＝7，若[x]＝3，则x的取值范围2＜x≤3．
故答案为2＜x≤3
【点睛】本题考查了新定义的题目，解题的关键是根据材料上提供的方法解题，要培养归纳总结的能力．
17．（1）1；（2）
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）②①得出，求出，再把代入①求出即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
②①，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的混合运算，解二元一次方程组等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（2）的关键．
18．(1)20，50
(2)见解析
(3)432名
【分析】（1）由扇形统计图的知识，可求得的值，继而求得抽取了的学生数，
（2）总数减去其它即可得乒乓球人数，可补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【详解】（1）解：，
，
喜欢跳绳的占，有4人，
（名），
共抽取了50名学生；
故答案为：20，50；
（2）喜欢乒乓球的：（名），
条形统计图如图所示；

（3），
该校约有432名学生喜爱打篮球．
【点睛】本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
19．(1)，画图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先设出与的一次函数关系式，用待定系数法求出、即可；
（2）把代入（1）中解析式即可；
（3）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设，
将，代入得：
，
解得：，
，
描点并画图象如图所示；

（2）当时，，
解得，
故当容器内水量显示的读数为时，漏水时间为；
（3），
当时，
，
故在这种漏水状态下，可估算一天的漏水量为．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，关键是对知识的掌握与运用．
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用正切函数的定义列式求值即可；
（2）过点作于点，过点作于点．设，利用三角函数关系设法用表示和，再利用列方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，
，，
，
即，
．
答：该建筑物的高度的长为．
（2）如图，过点作于点，过点作于点．

设．
在中，
，
，，
又，
，
，
即，
解得：．
山坡上点处的铅直高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，解题的关键是构造直角三角形，利用三角函数关系求值，或列方程求解．
21．(1)；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据切线的性质得到，，再利用弧长公式即可解答；
（2）利用圆周角的性质得到，再根据等腰三角形的判定即可解答．
【详解】（1）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；

（2）证明：∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的基本性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，弧长公式，圆周角定理，掌握切线的性质及圆周角定理是解题的关键．
22．(1)
(2)或或
【分析】（1）当时，由勾股定理求出的长，在中，，在中，，求出AP的长，再由，，即可求出的长；
（2）当于时，在中，，和的长，由折叠性质得的长，在中，利用勾股定理得出的长，当时，过点作于，由（2）可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，当时，

在中，，
，
，
，
在中，，
，，
在中，，
，
，
由折叠性质可知，
又，
；
（2）当时，由（1）可知，
当于时，如图，

在中，，
，，
，，
又，
，
由折叠性质可知，，
又，
，
在中，，
，
，
；
当时，如图

过点作于，由（2）可知，，
由折叠性质可知，，
又
，
又，
，
，
，
又，
，
又，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
的长可能为或或．
【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及勾股定理，折叠的性质，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键．
23．(1)函数表达式为：，顶点坐标为
(2)，
(3)
【分析】（1）根据当和时，二次函数的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为1，可写出抛物线的顶点式和顶点坐标，即可解答；
（2）根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，得出的判别式，以及，可求出a，b的值；
（3）根据（2）中抛物线的解析式，再根据二次函数的平移规律求出平移后的解析式，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（a，b是常数，）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵该函数的最大值为1，
∴该函数的顶点坐标为，
设函数的解析式为，即，
∴，
解得，
∴函数表达式为：，
∴该函数的顶点坐标为；
（2）∵该函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，
∴，
∵对称轴为，
∴，
将代入中，
解得（舍去），，
∴，
∴，；
（3）由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，
∴，
即
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，
且，
∴，随x的增大而增大，
∴当时，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．(1)，
(2)猜想：，证明见详解
(3)①②
【分析】（1）由是关于的对称点，可得沿翻折后可得到，可求，，进而可求解；
（2）过作，交的延长线于， 在中，可求，再证，即可得证；
（3）连接交于，连接，可证、、、四点共圆，为圆心，在上，再证，可求，，从而可求，在中，，即可求解；②过作，交于，的运动轨迹是以为圆心，为半径的，与交于，可得，当取最大时，最大，所以当与重合时，即，最大，即可求解.
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，，
是关于的对称点，
沿翻折后可得到，
，，
，
是的中点，
，
，
．
故答案：，．
（2）结论：，
证明：如图，过作，交的延长线于，

，
四边形是菱形，，
四边形是正方形，
，
，
由（1）得：，
，，
，
，
，
，
在中，，
；
，
，
，
在和中
，
（），
，
．
（3）解：①如图，连接交于，连接，

由（2）得：，
，
、、、四点共圆，为圆心，
四边形是正方形，
，
在上，
，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
在中，，
，
，，
由（1）折叠得：，
．
②如图，过作，交于，的运动轨迹是以为圆心，为半径的，与交于，

，
，
，
当取最大时，最大，
如图，当与重合时，即，最大，

，
，
，
，
故面积的最大值为.
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定及性质，对称和折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
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