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编者小注：
本套专辑专为上海市2023-2024学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分150分制），分基础卷（适合100分以下学生使用）、提升卷（适合100-130分学生使用）、满分卷（适合130分以上学生使用）。其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（满分卷）2023-2024学年九年级数学上学期期末临考押题卷
（范围：中考一模内容）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题4分，共24分）
1．化简的结果等于（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为
A． B． C． D．
4．下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
5．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在下列运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．已知为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是 ．
8．已知，则 ．
9．已知非零实数，，满足，则 ．
10．计算： .（结果用幂的形式表示）
11．已知函数f（x）＝，则f（）＝ ．
12．在矩形中，，，点在边上，，以点为圆心、为半径作(如图)，点在边上，以点为圆心、为半径作．如果与外切，那么的长是 ．
13．
如图，在梯形中，，，，，，则 .
14．如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为 ．
15．如图， 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点,点D是正比例函数图象上的一点， 过点D作轴的垂线， 垂足为Q ，交反比例函数的图象于点A ，过点A 作 轴的垂线， 垂足为B ，交正比例函数的图于点E .当点D的纵坐标为9时，连接，则的面积是
16．已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则 ．
17．在中，，，，为的重心，过点的直线截，交边于点，交边于点，若与相似，则的长为 ．
18．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为 ．
三、解答题（共78分）
19．计算：．
20．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图像上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图像上．
(1)求点A、B坐标．
(2)联结并延长，交反比例函数的图像于点，求．
21．如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点．
(1)求的值；
(2)如果，，用、表示向量．
22．祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点．
(1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离；
(2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，）
23．如图，在四边形中，，，O是对角线的中点，联结并延长交边于点E．
(1)①求证：；
②若，求的值：
(2)若，求的长．
24．已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标；
(3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式．
25．如图1，梯形中，，，，，，在边上，连接，．
(1)求的长；
(2)如图2，作，交于点，交于点，若，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值．
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本套专辑专为上海市2023-2024学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分150分制），分基础卷（适合100分以下学生使用）、提升卷（适合100-130分学生使用）、满分卷（适合130分以上学生使用）。其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（满分卷）2023-2024学年九年级数学上学期期末临考押题卷
（范围：中考一模内容）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题4分，共24分）
1．化简的结果等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加减法的法则化简即可.
【详解】解：原式=
=，
故选B.
【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.
2．如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．
【详解】解：A．由，得，故A选项错误；
B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；
C．由，得，故C选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
3．已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到．
【详解】解：，
函数图象的对称轴是轴，图象的开口向下，
当时，随的增大而增大，
点，关于对称轴的对称点的坐标是，，且，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函数的性质．
4．下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、正比例函数、反比例函数图象的性质进行判断即可；
【详解】解：当时，、、中y随x的增大而减小；中y随x的增大而增大．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数、正比例函数、反比例函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键．
5．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图（或列表），共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】将宫、商、角、徵、羽、分别记为1，2，3，5，6．根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
6．在下列运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查同底数幂，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，利用法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．已知为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是 ．
【答案】6
【分析】先求得的两个根，根据等腰三角形分类计算即可．
【详解】∵，
∴
解得，
∴为等腰三角形三边长为或（不存在，因,故舍去），
∴为等腰三角形周长为，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握解方程，等腰三角形的分类是解题的关键．
8．已知，则 ．
【答案】2
【分析】设，可得，再解方程并结合非负数的性质即可求解．
【详解】解：设，
则，
整理得，，
配方得，，
即，
开平方得，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：2．
9．已知非零实数，，满足，则 ．
【答案】或/或
【分析】设，整理即可求解．
【详解】解：设，
整理得：，
三式相加得：，
若，则，解得，
∴，
若，
则；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是设．
10．计算： .（结果用幂的形式表示）
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
11．已知函数f（x）＝，则f（）＝ ．
【答案】2＋
【分析】将代入解析式，化简即可．
【详解】解：∵f（x）＝，
∴f（）＝＝＝2＋，
故答案为：2＋．
【点睛】本题考查了求函数值，分母有理化，解题的关键是理解求函数值的方法及分母有理化．
12．在矩形中，，，点在边上，，以点为圆心、为半径作(如图)，点在边上，以点为圆心、为半径作．如果与外切，那么的长是 ．
【答案】
【分析】连接，作于，设的半径是，得到，，，由勾股定理得到，求出，即可解决问题．
【详解】解：连接，作于，∵，，点在边上，，
设的半径是，
两圆外切，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
的长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，关键是通过作辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．
13．
如图，在梯形中，，，，，，则 .
【答案】7
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，延长相交于点，可得，则可得的值，设，再利用已知条件表示出的值，通过证明，即可解答，看到平行线则可构造出相似三角形，从而作出正确的辅助线，是解题的关键．
【详解】解：如图，延长相交于点，
，，
，
，
，
，
设，则,
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：7．
14．如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据坐标得出规律第列：共个点，前列总点数为：，当时，，当时，，第1000个数位于第45列，由图可知，奇数列各点是从下往上排列，纵坐标为，即可得到答案．
【详解】解：由图可知：
第1列：共1个点，
第2列：共2个点，
第3列：共3个点，
第4列：共4个点，
第5列：共5个点，
……
第列：共个点，
前列总点数为：，
当时，，
当时，，
第1000个数位于第45列，
由图可知，奇数列各点是从下往上排列，
第1000个点位于第45列从下到上：个位置上，其横坐标为45，纵坐标为，
第1000个点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的找规律，根据图观察得出规律，是解题的关键．
15．如图， 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点,点D是正比例函数图象上的一点， 过点D作轴的垂线， 垂足为Q ，交反比例函数的图象于点A ，过点A 作 轴的垂线， 垂足为B ，交正比例函数的图于点E .当点D的纵坐标为9时，连接，则的面积是
【答案】/
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点，
∴，，
∴，，
∴正比例函数解析式为，反比例函数解析式为；
当时，时，解得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
16．已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则 ．
【答案】
【分析】利用新定义运算的含义，建立方程即可求出m的值．
【详解】解：∵，，
∴ ，即
整理得：，
移项合并得：，
解得： ，
检验当时， ，
∴是分式方程的解，
则．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键，还要注意要验根．
17．在中，，，，为的重心，过点的直线截，交边于点，交边于点，若与相似，则的长为 ．
【答案】或
【分析】分两种情形：①如图，当时，．②当时，．分别求解即可解决问题．
【详解】解：①当时，，
延长交于．
是重心，
，
，
，
，
，．
②当时，．
作于．
，．
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为 ．
【答案】2或或
【分析】分情况讨论：①当点在轴的正半轴上，且时，②当点在轴的正半轴上，且时，③当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可．
【详解】解：，，
，，
设点，
当时，点在直线上（且不与点重合），
点不能为直角顶点，
①如图，当点在轴的正半轴上，且时，
由旋转可知，，，
，，
，
，
，，
，
，即点的横坐标为2；
②如图，当点在轴的正半轴上，且时，
过点作于点，则，
由旋转可知，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，即，
解得：或（不合题意，舍去），
点的横坐标为；
③如图，当点在轴的负半轴上，且时，
过点作于点，则，
同理可得，
，，
，，
同理可得，
，
，即，
解得：或（不合题意，舍去），
点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为2或或，
故答案为：2或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，解题的关键是熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用．
三、解答题（共78分）
19．计算：．
【答案】
【分析】根据完全平方公式可得，再开方得，即可运算出结果．
【详解】原式=，
，
．
【点睛】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算，利用完全平方公式化简，并能熟记特殊值的三角函数值是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图像上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图像上．
(1)求点A、B坐标．
(2)联结并延长，交反比例函数的图像于点，求．
【答案】(1)，
(2)6
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合运用．
（1）由反比例函数关系式求出点A，再由点A平移得到点B的坐标，将点B代入反比例函数表达式即可求解；
（2）根据反比例函数图象与性质可得点B与点C关于原点对称，从而得到点C的坐标，由A、C的坐标，运用待定系数法即可求得直线的解析式，进而得到直线与y轴的交点D的坐标，作轴，轴，再由即可求解．
【详解】（1）∵点在反比例函数上的图像上，
∴，
解得，
∴点A的坐标为，
∵点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，
∴点B的坐标为，
∵恰好落在反比例函数的图像上，
∴，
解得
∴点B的坐标为．
（2）由反比例函数性质可得点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得
∴直线的解析式为，
令，则，
∴直线与y轴的交点D的坐标为，
过点作轴于点E，过点作轴于点F，
∵，，，，
∴
．
21．如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点．
(1)求的值；
(2)如果，，用、表示向量．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，
（1）利用相似三角形的判定与性质即可解决问题；
（2）利用三角形法则即可解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点．
(1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离；
(2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，）
【答案】(1)点A距离地面2尺
(2)点到地面之间的垂直距离约为尺
【分析】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D；根据30度角所对的边是斜边的一半，可得，，即可求得；
（2）根据，，求得，根据三角函数的定义，可得，即可求得．
【详解】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D．
∵，
∵
∴，
∴点A距离地面2尺；
（2）∵，
∴
∴
∴
故点到地面之间的垂直距离约为0.28尺．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如图，在四边形中，，，O是对角线的中点，联结并延长交边于点E．
(1)①求证：；
②若，求的值：
(2)若，求的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，根据相似三角形的判定定理可得出结论；
②得出．过点D作于点H，设，则，则可得出答案；
（2）设，则，设，由相似三角形的性质得出，证明，得出比例线段，可得出方程，解方程可得出答案．
【详解】（1）解：①证明：如图1，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：如图2，若，
在中， ，
∴．
过点D作于点H，
设，
则，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）设，
则，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入，
整理得，，
解得，或（舍去）．
∴．
【点睛】本题考查了相似形综合题，掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键．
24．已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标；
(3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）首先由抛物线的解析式可求得点C的坐标，由，可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解；
（2）首先可求得点A的坐标，记直线交于点F，由直线恰好平分的面积，可知点F为的中点，即可求得点F的坐标，即可求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况；当点P在x轴上方时，在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使，则，过点G作于点H，根据角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，即可求得点M的坐标，据此即可求解；同理可得点P在x轴下方时的解．
【详解】（1）解：令，则，
，，
∵，
，
，
把点B代入得：，解得：，
故抛物线表达式为；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式为，
故令得：解得：，，
点A的坐标为，
如图：记直线交于点F，
直线恰好平分的面积，
点F为的中点，
，，
点F的坐标为，
设直线的解析式为，
把点B、F的坐标分别代入，得
解得
直线的解析式为，
解得或(舍去)，
故点D的坐标为；
（3）解：当点P在x轴上方时，
如图：在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使，
则，过点G作于点H，
点E坐标为，
，
，，，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，(舍去)，
，
，
，
设直线的解析式为，
把点M、B的坐标分别代入解析式，得
解得
故此时直线的解析式为；
当点P在x轴下方时，
同理可得，直线的解析式为，
综上，直线的解析式为或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，采用分类求解是解决本题的关键．
25．如图1，梯形中，，，，，，在边上，连接，．
(1)求的长；
(2)如图2，作，交于点，交于点，若，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或8
【分析】（1）过点作于点，证明四边形为矩形，则，，再根据勾股定理定理即可求出；
（2）连接，先用等面积法求出，再证明，从而得出，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据可得为等腰三角形，根据题意进行分类讨论，当点在线段上时，当点在延长线上时．
【详解】（1）解：过点作于点，
∵，，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得：．
（2）解：连接，
，，
，
即，
解得：，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
整理得：．
（3）解：①当点在线段上时，
由（2）可得，
为等腰三角形，
为等腰三角形，
当时，；
当时，过点作于点，
由（1）可得：，
，
，
，
，，
，不符合题意，舍去；
当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
②当点在延长线上时，
，，
，
当点在延长线上时，只能为等腰三角形的顶角，
，
．
综上：或或8．
【点睛】本题主要考查了四边形和三角形的综合应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握各个相关知识点并灵活运用，根据题意正确作出辅助线，构造直角三角形那个和全等三角形求解．
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