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编者小注：
本套专辑专为上海市2023-2024学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分150分制），分基础卷（适合100分以下学生使用）、提升卷（适合100-130分学生使用）、满分卷（适合130分以上学生使用）。其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（满分卷）2023-2024学年七年级数学上学期期末临考押题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转5次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．如，同号，则， B．如，异号，则，
C． D．
4．已知，则式子化简的结果是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
5．若，则当时，式子的值为（ ）
A．5 B． C．2 D．
6．如图，将正整数按此规律排列成数表，若是表中第行第列，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共36分）
7．如图，将一块含角的三角板绕点A按逆时针方向旋转到的位置．若，则旋转的角度为
8．已知，在纸面上有一个数轴，折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是 ．
9．已知是常数，若关于的多项式不含二次项，则代数式 ．
10．已知，且，则 ．
11．因式分解： ；
12．若，则 ．
13．若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
14．计算： ．
15．已知m、n、p是正数，且满足，，则 ．
16．一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出，，，试着计算出折线（即楼梯表面）的长度为 ．
17．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）
①小长方形C的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
18．已知，为自然数，且，若，则 ， ．
三、解答题（共46分）
19．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．利用网格点和直尺画图：
(1)补全；
(2)画出边上的高线，图中的面积是 ；
(3)与面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为、、．
20．已知关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何整数时，分式方程无解．
21．（1）计算：；
（2）因式分解：．
22．定义☆运算：观察下列式：
1☆；
4☆；
☆；
☆
(1)☆ ，☆ ；
(2)若，那么☆☆ 0（用“”、“ ”或“连接”）；
(3)若☆，请计算☆的值．
23．阳光小区在一块长方形土地上修建两个如图所示的扇形水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理．（结果保留）
(1)用含a，b的代数式表示长方形的长：____________；
(2)用含a，b的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积S；
(3)当米，米时，求绿化土地（阴影部分）的面积S．
24．已知，射线、在的内部（OC与OD不重合），且．将射线沿直线翻折，得到射线；将射线沿直线翻折，得到射线（与不重合）．
(1)如图①，若，则______°，______°；
(2)若，请画出不同情形的示意图，并分别求出和的度数；
(3)设，请直接写出与之间的数量关系及相应的的取值范围．
25．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内三分角．如图①，若，则是的内三分角．
(1)如图①，已知，．是的内三分角，则_________．
(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转（）至，当旋转的角度为何值时，是的内三分角
(3)已知，把一块含有角的三角板按如图③叠放，将三角板绕顶点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒，当转至与重合即停止．在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得与其中一个角是另一个角的内三分角，若存在，请直接写出所有t的值；若不存在，请说明理由．
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易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转5次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图②是由图①顺时针旋转5次而生成的，且旋转一周的角度是即可得．
【详解】解：由题意得：图②是由图①顺时针旋转5次而生成的，
则，
所以每一次旋转的角度应为的倍数，
所以每一次旋转的角度至少为，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是观察图形，得出旋转度数．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，对选项进行分析判断即可．
【详解】解：选项、、中的图形都能找到对称轴，使得对称轴两旁的部分能够相互重合，都是轴对称图形，选项中的图形，没有对称轴可以使对称轴两旁的部分能够相互重合，不是轴对称图形，
故选：．
【点睛】本题考查轴对称图形，解答本题的关键是明确轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
3．下列说法错误的是（ ）
A．如，同号，则， B．如，异号，则，
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质和等式的性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、当，同号，则， 成立，故此项正确；
B、当，异号，则，成立，故此项正确；
C、成立，故此项正确；
D、，故D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质和等式的变形，熟练掌握两个实数在乘除时，同号为正，异号为负是解题的关键．
4．已知，则式子化简的结果是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．
【详解】解：∵，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，分式的化简，熟记绝对值的性质是解题的关键．
5．若，则当时，式子的值为（ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查代数式求值，将，代入计算即可．
【详解】当，时，
，
故选：C．
6．如图，将正整数按此规律排列成数表，若是表中第行第列，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数字类规律题，根据题意得：第行个数字，第行个数字，第行个数字，第行个数字，第行个数字， 由此发现规律：第行有个数字，从而得到前行有个数字，再由，，可得到位于第行第列，代入即可求解，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：第行个数字，
第行个数字，
第行个数字，
第行个数字，
第行个数字，
由此发现规律：第行有个数字，
∴前行有个数字，
∵，，
∴位于第行第列，
∴ ，，
∴，
故选：．
二、填空题（每小题3分，共36分）
7．如图，将一块含角的三角板绕点A按逆时针方向旋转到的位置．若，则旋转的角度为
【答案】
【分析】根据旋转的性质得出，再根据即可求解．
【详解】解：∵将一块含角的三角板绕点A按逆时针方向旋转到的位置．
∴，
∵，
∴旋转角．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正确确定旋转角是解题的关键．
8．已知，在纸面上有一个数轴，折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是 ．
【答案】/
【分析】若表示的点与表示的点重合，则折痕经过，若数轴上A、B两点之间的距离为，则两个点分别距离中点是，根据在的左侧即可求出．
【详解】解：根据题意得：两数是关于和的中心对称，
即关于对称，
、两点之间的距离为且折叠后重合，
、两点关于对称，
表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数是解答本题的关键．
9．已知是常数，若关于的多项式不含二次项，则代数式 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的知识——无关型问题，根据多项式中不含二次项得出，，求出，的值，代入求出的值即可，解题的关键是理解题目中与字母取值无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于．
【详解】∵关于的多项式不含二次项，
∴，，解得：，，
∴，
故答案为：．
10．已知，且，则 ．
【答案】-42
【详解】，①，②由①-②得．
11．因式分解： ；
【答案】
【分析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解答本题的关键．
12．若，则 ．
【答案】
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则化简进而求出答案．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
13．若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
【答案】
【分析】由第一次操作可得：，则，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得，解得，再代入化简即可．
【详解】解：由第一次操作可得：，
∴，
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则
，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．
14．计算： ．
【答案】/1.5/
【分析】根据积的乘方的逆运算法则、乘方运算法则以及零指数幂运算法则求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算、乘方运算以及零指数幂运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
15．已知m、n、p是正数，且满足，，则 ．
【答案】
【分析】设，先用含x的代数式分别表示出p、m、n，代入分式，再利用分式的性质化简等式，最后整体代入求值．
【详解】解：设，则，．．
∴等式可变形为：
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和化简求值，掌握分式的运算法则和整体的思想方法是解决本题的关键．
16．一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出，，，试着计算出折线（即楼梯表面）的长度为 ．
【答案】
【分析】楼梯长度的和等于楼梯的水平宽度与垂直高度的和．
【详解】解：如下图，过点，，作，，交于点，，，过点，，作，，交于点，，，
由图可知：，，，，
，，，，
折线，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平移的知识，与实际生活相联系，熟练掌握平移的知识并灵活运用是解答本题的关键．
17．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）
①小长方形C的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
【答案】①③④
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意．
【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．
18．已知，为自然数，且，若，则 ， ．
【答案】 8 2
【分析】化简原式可得：，设，则，再根据可求，．
【详解】，
，
，
．
设，则，
，为自然数，
，，
，或 ，，
不合题意，舍去或，，
．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键．
三、解答题（共46分）
19．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．利用网格点和直尺画图：
(1)补全；
(2)画出边上的高线，图中的面积是 ；
(3)与面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为、、．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析，8
(3)作图见解析
【分析】（1）根据平移方式作图即可；
（2）根据三角形高的定义画图即可，再利用分割法求三角形面积即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等，过点A作的平行线，经过的格点即为所求．
【详解】（1）解：如图，把点A、B、C分别向右平移4个单位长度得到点、、，再把点连接得到即所求；
（2）解：延长，过点C作于点D，如图，即为所求；
由图可得，，
故答案为：8；
（3）解：如图，格点、、即为所求；
【点睛】本题考查作图 平移变化，熟知平移的性质是解题的关键．
20．已知关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何整数时，分式方程无解．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）将字母值代入，解分式方程，注意验根；
（2）将字母值代入，求解含参方程，变形得，分情况讨论：①时，，原方程无解；②时，，由增根情况，得时，即或，得到关于参数b的方程，分别求解，得．
【详解】（1）解：将，代入，得
，
去分母，得，
解得，，
当时，
∴是原方程解．
（2）解：把代入，得
去分母，得，
时，，，此时，左边右边，方程无解；
时，，
当时，原方程无解，即或；
当时，解得b不存在；
当时，解得，
综上，为整数5时，原方程无解．
【点睛】本题考查分式方程的求解，含参数方程的求解；理解增根的定义是解题的关键．
21．（1）计算：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得到答案；
（2）利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、分解因式，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键．
22．定义☆运算：观察下列式：
1☆；
4☆；
☆；
☆
(1)☆ ，☆ ；
(2)若，那么☆☆ 0（用“”、“ ”或“连接”）；
(3)若☆，请计算☆的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)16
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，大小比较，解题的关键是：
（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；
（2）按照定义的新运算可得☆☆，然后利用大小关系进行计算，即可解答；
（3）按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：☆；
☆；
故答案为：；；
（2）☆☆
，
，
，
，
☆☆，
故答案为：；
（3）☆，
，
☆
．
23．阳光小区在一块长方形土地上修建两个如图所示的扇形水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理．（结果保留）
(1)用含a，b的代数式表示长方形的长：____________；
(2)用含a，b的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积S；
(3)当米，米时，求绿化土地（阴影部分）的面积S．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了列代数式和整式的混合运算，
（1）长方形的长为两个圆的半径之和；
（2）先根据长方形的边长，得到两个四分之一圆的半径，根据“阴影部分的面积=长方形的面积两个四分之一圆的面积”计算出阴影部分的面积；
（2）把a、b的值代入化简后的（2）计算即可．
【详解】（1）长方形的长为，
故答案为：；
（2）
；
（3）当米，米时，平方米．
24．已知，射线、在的内部（OC与OD不重合），且．将射线沿直线翻折，得到射线；将射线沿直线翻折，得到射线（与不重合）．
(1)如图①，若，则______°，______°；
(2)若，请画出不同情形的示意图，并分别求出和的度数；
(3)设，请直接写出与之间的数量关系及相应的的取值范围．
【答案】(1)10；70
(2)和的度数分别为和或和；
(3)当时，；当时，．
【分析】（1）由可求得的度数；由折叠的性质得，，先求得和的度数，再利用即可求解；
（2）分两种情况，画出图形，同（1）的方法即可求解；
（3）分当和两种情况讨论，画出图形，同（1）的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，，
∴，
故答案为：10；70；
（2）解：如图，，，
∴，，
∴，
如图，，，
∴，，
∴，
综上，和的度数分别为和或和；
（3）解：当，设，如图，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
当，设，如图，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
综上，当时，；当时，．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角度的和差计算，正确的识别图形、分类讨论是解题的关键．
25．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内三分角．如图①，若，则是的内三分角．
(1)如图①，已知，．是的内三分角，则_________．
(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转（）至，当旋转的角度为何值时，是的内三分角
(3)已知，把一块含有角的三角板按如图③叠放，将三角板绕顶点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒，当转至与重合即停止．在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得与其中一个角是另一个角的内三分角，若存在，请直接写出所有t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当旋转的角度为时，是的内三分角
(3)存在，t的值分别为5或20或100
【分析】（1）根据内三分角的定义，即可求解；
（2）根据旋转的性质可得：，，再根据内三分角的定义，即可求解；
（3）分三种情况，找准与与t的关系，运用一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵是的内三分角，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据旋转的性质可得：，，
∴，，
若是的内三分角，
则，解得，
所以当旋转的角度为时，是的内三分角；
（3）解：如图1，当在内部，是的内三分角时，
，，
有，
解得：；
如图2，当在外部，且是的内三分角时，
，，
有，
解得：；
如图3，当在外部，且是的内三分角时，
，，
有，
解得： ，
综上，存在，t的值分别为5或20或100．
【点睛】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
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