中小学教育资源及组卷应用平台
编者小注：
本套专辑为浙江地区2023学年第一学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合75-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分120分制），分基础卷（适合90分以下学生使用）、提升卷（适合90-110分学生使用）、满分卷（适合110分以上学生使用）。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
来源为近两年浙教版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（满分卷）2023-2024学年浙教版数学九年级上学期期末临考押题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题2分，共20分)
1．下列说法正确的是（ ）
A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影
B．正投影一定是平行投影
C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影
D．正投影可能是中心投影
2．如图，圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成一个影子（圆形）．已知桌面直径为，桌面离地面．若灯泡离地面，则地面上影子 部分（包括桌腿底部）的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点、、、在上，，，则等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．如图，已知正方形的边长为6，以点C为圆心，3为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接，则的最大值是（ ）
A．9 B． C． D．7.5
6．下列成语中，表示随机事件的是（ ）
A．竹篮打水 B．杀鸡取卵 C．水中捞月 D．守株待兔
7．将二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( )
A． B． C． D．
9．在中，，若，则的值为（）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形的对角线上取一点E．使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题2分，共16分)
11．若关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，则所有的满足条件的整数a的值之和是 ．
12．如图，，以为直径的半圆绕点逆时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是 ．
13．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．
14．若三个边长为1的正方形按如图的方式放在内，其中为中的直角，两点都是正方形的顶点，点在边上，点在线段上，则斜边的长为 ．
15．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ．
16．桌面上放有四张背面完全一样的卡片，每张卡片正面分别标有数字，，，．将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
17．如图，正方形的边长为是边的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长的最小值为 ．
18．已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题(共84分)
19．（1）计算：；
（2）用配方法解方程：．
20．如图是用12块完全相同的小正方体搭成的几何体．
(1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
21．如图，是的两条直径，连接．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出交于点（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)在（1）的条件下，试判断与之间的大小关系，并说明理由．
22．九年级组织“11·9全国消防日”消防安全知识竞赛活动，其中本次竞赛成绩分为“优秀”“良好”“一般”“较差”四个等级，为了解全体九年级同学的消防安全知识水平，随机抽取了m个同学的竞赛成绩进行统计整理，根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图：
请结合以上信息完成下列问题：
(1)______；
(2)如果九年级共有600名学生参加本次活动，那么可估计竞赛成绩为“优秀”的学生有______人；
(3)此次活动中有五名同学获得满分，其中有三名女生和两名男生．现从这五名同学中随机挑选两名同学参加校外比赛，请用列表法或画树状图法求出选中的两名同学恰好是一男一女的概率．
23．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月能售出100件，根据以往销售经验，销售单价每降低1元，月销售量就会增加10件．
(1)服装店希望一个月内销售该T恤能获得利润3360元，并且尽可能的减少库存，问T恤的销售单价应为多少元？
(2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．如图，在⊙O中，弦与弦相交于点G，于点E，过点B的直线与的延长线交于点F，．
(1)若，求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)请问的值为定值吗？如是，请写出计算过程，若不是请说明理由．
25．【问题背景】（1）如图1，在中，为上一点，，求证：；
【变式迁移】（2）如图2，为等边三角形，为延长线上一点，E为延长线上一点，，，求的长；
【拓展创新】（3）如图3，在中，，，为边上点，E为线段上一点，，若，求的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与轴、轴分别交于点，抛物线交轴于点A、B（点A在点B左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上第三象限的点，点的横坐标为t，连接、，的面积为，求与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，如图，连接，点在线段上，连接交于点，过点作于点H，若，．
①求点的坐标；
②点是坐标平面内的点，以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者小注：
本套专辑为浙江地区2023学年第一学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合75-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分120分制），分基础卷（适合90分以下学生使用）、提升卷（适合90-110分学生使用）、满分卷（适合110分以上学生使用）。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
来源为近两年浙教版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（满分卷）2023-2024学年浙教版数学九年级上学期期末临考押题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题2分，共20分)
1．下列说法正确的是（ ）
A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影
B．正投影一定是平行投影
C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影
D．正投影可能是中心投影
【答案】B
【分析】首先明确：平行投射线垂直于投影面的称为正投影；接下来根据正投影的定义进行分析即可得答案．
【详解】解：A．物体在太阳光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
B．正投影一定是平行投影，正确，符合题意；
C．物体在灯光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
D．正投影是平行投影，错误，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行投影中正投影的相关知识，解题需掌握正投影的特点．
2．如图，圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成一个影子（圆形）．已知桌面直径为，桌面离地面．若灯泡离地面，则地面上影子 部分（包括桌腿底部）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似图形的性质，对应高线的比等于相似比，由题意可知，桌面直径为，，首先判定出，进而得到即可底面影子的半径，进而求出结果即可．
【详解】解：如图，
由题意可知，桌面直径为，，
桌面半径，
，
，，
，
即，
解得：，
即地面阴影的半径为，
，
故选：C．
3．如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．
【详解】解：延长交的延长线于点G，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，经检验符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明，求出．
4．如图，点、、、在上，，，则等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
5．如图，已知正方形的边长为6，以点C为圆心，3为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接，则的最大值是（ ）
A．9 B． C． D．7.5
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆外一点到圆上一点的最值．连接，，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，进而得到当三点共线时，的值最大为，即可得出结果．确定点的运动轨迹，是解题的关键．
【详解】解：连接，，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∴当点在的延长线上时，取最大值，如图：
∴的最大值为．
故选A．
6．下列成语中，表示随机事件的是（ ）
A．竹篮打水 B．杀鸡取卵 C．水中捞月 D．守株待兔
【答案】D
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件；在一定条件下，必然发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；据此进行判断即可求解．
【详解】解：A、是不可能事件，故不符合题意；
B、是必然事件，故不符合题意；
C、 是不可能事件，故不符合题意；
D、是随机事件，故符合题意；
故答案：D．
【点睛】本题考查了事件的分类，必然事件、不可能事件、随机事件的定义，理解定义是解题的关键．
7．将二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象翻折的规律求解即可．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为
又点关于轴对称点坐标为，
所以，二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的解析式是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的翻折规律，熟练掌握二次函数图象的翻折规律是解题的关键．
8．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可．
【详解】解：连接，．
，
点的坐标为，
令，则，
解得，，，
，，
，
∴，
∴轴．，
∴点在上，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，
点运动的路径长是．
故选：D
9．在中，，若，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案．
【详解】解：由题意，得，
故设
则，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键．
10．如图，在正方形的对角线上取一点E．使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正方形的性质可以得出，，通过证明，可以得出，即可判断A；在上取一点G，使，连接，利用全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质，可利用证明，进而可得，利用等量代换可判断B；过D作交于M，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，根据勾股定理及三角形的面积公式即可求得，进而可判断C；解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，根据相似三角形的判定得，进而可得，进而可判断D．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
，
，故A正确；
在上取一点G，使，连接，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
，
是等边三角形．
，，
，
．
，，
．
在和中，
，
，
．
，
，故B正确；
过D作交于M，
在中，根据勾股定理求出，
由面积公式得：，
∴，
，
，
中，，在中，，
在中，，中，，
∴，．
∴．
∴，故C正确；
在中，，
是等边三角形，
∴，
，，
．
∴，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的面积、勾股定理、含角的直角三角形的性质以及三角形相似性质，掌握其基础知识，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
二、填空题(每小题2分，共16分)
11．若关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，则所有的满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了抛物线与的交点，分式方程的解法以及一元二次方程根的判别式．
先根据分式方程有整数解求出的整数值，再根据二次函数与轴有交点求出的范围，求出的整数值，进而求和．
【详解】解：在分式方程两边同乘以得：，
，
由题意得：，且，为整数，
的值为：1，3，8，，5，0，4，
二次函数，
，且△，
解得：且，
的值为：1，，0，3，
所有整数的和为：0，
故答案为：0．
12．如图，，以为直径的半圆绕点逆时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积的应用，
根据题意得出，，根据图形得出图中阴影部分的面积，求出即可；
掌握旋转的性质以及扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：
，，
图中阴影部分的面积是：
．
故答案为：．
13．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法，若直线与半圆有交点，则直线和半圆相切于点开始到直线过点结束（不包括直线过点），当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的的锐角是，从而求得，即可得出点的坐标，进一步得出t的值；当直线过点时，直线根据待定系数法求得的值，进而即可求解．
【详解】若直线与半圆有交点，则
直线和半圆相切于点开始到直线过点结束，当直线和半圆相切于点时，直线与轴所形成的锐角是，
∴，
又∵半圆的半径，
∴，
∴代入解析式，得，
当直线过点时，把代入直线解析式，得，
即当，直线和半圆有交点．
14．若三个边长为1的正方形按如图的方式放在内，其中为中的直角，两点都是正方形的顶点，点在边上，点在线段上，则斜边的长为 ．
【答案】/
【分析】根据余角的性质得到，证明，得到，由勾股定理可得，求得，得到，求得，于是得到答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、正方形的性质，证得是解此题的关键．
15．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ．
【答案】乙和丁
【详解】．
【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定．
16．桌面上放有四张背面完全一样的卡片，每张卡片正面分别标有数字，，，．将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，画树状图得出共有种等可能的结果数，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有种，再由概率公式求解即可，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
【详解】解：用列表法列举出所有可能出现的结果如下：
第一张 第二张
共有种可能出现的结果，其中和为奇数的有种，
所以抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是，
故答案为：．
17．如图，正方形的边长为是边的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长的最小值为 ．
【答案】8
【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值．
【详解】解：如图，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，
，
，
在与中，
，
，
，
正方形中，，是边上的中点，
，
，
，
，
，
线段的最小值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
18．已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意求得，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，，可求出它函数图象与轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若新图象与直线无公共点，根据图象可得答案．
【详解】解：
∵函数与轴有两个交点，
解得，
当取最小整数时，，
∴抛物线为，
将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，
所以新图象的解析式为：．
因为的，所以它的图象从左到右是上升的，
当与相切时，
即，
解得：，
此时，，故不符合题意；
当它过时，把代入，
得，
所以，
当它与新图象无交点时，由图象可得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．
三、解答题(共84分)
19．（1）计算：；
（2）用配方法解方程：．
【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了特殊角的三角函数，解方程，熟练掌握解法，熟记函数值是解题的关键
（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的公式计算即可．
（2）根据配方法的基本步骤，计算即可．
【详解】（1）
．
（2）∵，
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
解得．
20．如图是用12块完全相同的小正方体搭成的几何体．
(1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据主视图和左视图的定义作图即可；
（2）从俯视图的相应位置增加小立方体，保持左视图和主视图不变即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示：
故如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加4个小正方体．
故答案为：4．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是解题的关键．
21．如图，是的两条直径，连接．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出交于点（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)在（1）的条件下，试判断与之间的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解；
(2)．
【分析】本题考查了作图一基本作图及平行线的判定、圆的相关性质，熟练掌握5种基本作图及圆的相关性质是解决问题的关键．
（1）利用基本作图作即可；
（2）连接，通过证明得到．
【详解】（1）解：在上任取一点F，以O 为圆心，的长为径画弧，交于点G；以C为圆心，以的长为径画弧，交于点H；以H为圆心，以的长为径画弧，两弧交于点M；作射线交于点，直线为求作的．如下图：
（2）
连接，
是的两条直径，
,
,
,
,
,
,
．
22．九年级组织“11·9全国消防日”消防安全知识竞赛活动，其中本次竞赛成绩分为“优秀”“良好”“一般”“较差”四个等级，为了解全体九年级同学的消防安全知识水平，随机抽取了m个同学的竞赛成绩进行统计整理，根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图：
请结合以上信息完成下列问题：
(1)______；
(2)如果九年级共有600名学生参加本次活动，那么可估计竞赛成绩为“优秀”的学生有______人；
(3)此次活动中有五名同学获得满分，其中有三名女生和两名男生．现从这五名同学中随机挑选两名同学参加校外比赛，请用列表法或画树状图法求出选中的两名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)120；
(2)120；
(3)．
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体．
（1）用“较差”人数和其所占百分百即可求解；
（2）根据竞赛成绩为“优秀”学生的占比乘以600即可求解；
（3）列出表格得可能出现的所有情况，再由概率公式即可得出答案．
解题的关键是从统计图表中获取信息．
【详解】（1）解：由题意可知：，
故答案为：120；
（2）竞赛成绩为“优秀”的学生有人，
故答案为：120；
（3）将三名女生，分别记作“女1，女2，女3”两名男生分别记作“男1，男2”，列表如下：
女1 女2 女3 男1 男2
女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男1） （女1，男2）
女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男1） （女2，男2）
女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男1） （女3，男2）
男1 （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） （男1，男2）
男2 （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） （男2，男1）
总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，
其中两名同学恰好是一男一女的有12种，
P（两名同学恰好是一男一女）
23．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月能售出100件，根据以往销售经验，销售单价每降低1元，月销售量就会增加10件．
(1)服装店希望一个月内销售该T恤能获得利润3360元，并且尽可能的减少库存，问T恤的销售单价应为多少元？
(2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)42元
(2)服装店将销售单价定为50元时，得到的最大利润是4000元
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出解析式是解题的关键．
（1）设T恤的销售单价为x元，根据“一个月内销售该T恤获得利润3360元”列出方程，再根据“尽可能的减少库存”排除更高的价格，从而得解．
（2）设利润为M元，利用“单件利润乘以销售量等于总利润”列出函数关系式，再化为顶点式，即可得解．
【详解】（1）解：设T恤的销售单价为x元．
由题意列方程得，
解得，．
∵要尽可能的减少库存，
∴不合题意，应舍去．
答：T恤的销售单价应为42元．
（2）设利润为M元，
由题意可得
，
当时，．
答：服装店将销售单价定为50元时，得到的最大利润是4000元．
24．如图，在⊙O中，弦与弦相交于点G，于点E，过点B的直线与的延长线交于点F，．
(1)若，求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)请问的值为定值吗？如是，请写出计算过程，若不是请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)是定值；理由见解析
【分析】（1）等边对等角，得到，根据等角的余角，得到，进而得到，即可；
（2）平行得到，垂径定理，得到，进而得到，求出的长，连接，设圆的半径为r，则，利用勾股定理进行求解即可；
（3）证明，得到，得到，代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，即，
∴，
∵是的弦，
∴点B在上，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
连接，如图1所示：
设圆的半径为r，则，
在中，，
即，
解得：；
（3）解：是定值；理由如下：
连接，如图2所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
25．【问题背景】（1）如图1，在中，为上一点，，求证：；
【变式迁移】（2）如图2，为等边三角形，为延长线上一点，E为延长线上一点，，，求的长；
【拓展创新】（3）如图3，在中，，，为边上点，E为线段上一点，，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意知直接证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）先证明，进而证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出；
（3）过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例可得，证明得出；过点作于点，设，则，，，根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，表示出，根据勾股定理可得，建立方程，得出，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵为等边三角形，
∴
∵，
又∵，即，
∴，
又∵，
∴,，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∴；
（3）如图所示，过点作交的延长线于点，
∴，
∴，
又∵在中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
设，则，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∴，
即，
解得：，
∴,，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平发信息分线段成比例，等边三角形的性质；熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与轴、轴分别交于点，抛物线交轴于点A、B（点A在点B左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上第三象限的点，点的横坐标为t，连接、，的面积为，求与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，如图，连接，点在线段上，连接交于点，过点作于点H，若，．
①求点的坐标；
②点是坐标平面内的点，以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②，
【分析】（1）直接求出点和点的坐标，直接带入二次函数解析式中，待定系数求出和的值即可．
（2）本题需要故点P作直线的平行线，因为，铅锤法并不可用，只能进行平行线转移面积，利用平行线间距离处处相等，直接转化到下图中去求解，通过计算长度就可以求出求与的函数关系式．
（3）第①小问主要先判定是直角三角形，如下图，再根据可以判定是等腰三角形，因为是确定的，且正切之比，所以可以直接通过设参数，在依据可推导出E是BT的中点，最终用表示出点坐标，带入解析式中去解方程．第②小问，点P坐标已经确定了，就是三点确定了，直接利用平移的思想可以直接求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：由题可知，直线确定的，直接令和，
∴，，
再把点B和点C坐标带入抛物线中得，
，
，
∴=，
即．
（2）解：如图所示，过点P作的平行线交轴于点M，
∴，
∴，
设点，
∵，
∴直线的解析式为，
令，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（3）解：按照题目要求，作出如下图，
根据抛物线的对称性,对称轴为，再结合点，可以得到点，
根据勾股定理：，，，
即满足，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
设，过点D作的垂线，垂直为，
∴，
∵，
∴在中，得到，，，即，
在中，，
同理，
设，，则，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
过点作的垂线，垂足为，
∴，
∵，
同理可以在中，列勾股方程，可得；，，
∵，
∴，
∴，即点，
把点P坐标带入抛物线解析式中得，，化简得，
解得：（舍）或，
∴点．
②如图所示，直接确定点，，，
∵确定是以为边的平行四边形，
∴只有如下图的两种情况，当三点确定时，直接利用平移就可以得到点的坐标，
当四边形时，，
即，
同理，当四边形时，，
∴；
综上所述：，．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式，关于三角形面积问题二次函数与几何综合，与求点坐标有关的代数几何综合，三定点的平行四边形的存在性，对于求解析式主要是通过解二元一次方程组解决，面积综合问题重视转移思想和分割思想，关于求点坐标，要抓住几何相关的要素，那些角是确定的，结合特殊三角形，建立方程，平行四边形的存在性问题，特别是个定点的，要用平移思想解决．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
