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编者小注：
本套专辑专为上海市2023-2024学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分150分制），分基础卷（适合100分以下学生使用）、提升卷（适合100-130分学生使用）、满分卷（适合130分以上学生使用）。其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2023-2024学年九年级数学上学期期末临考押题卷
（范围：中考一模内容）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题4分，共24分）
1．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．在十进制中，
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．任意一个三角形的内角和为360°
【答案】D
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 ，是随机事件，故该选项不符合题意；
B. 在十进制中，，是必然事件，故该选项不符合题意；
C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件，故该选项不符合题意；
D. 任意一个三角形的内角和为，是不可能事件，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
2．如果（、均不为零），那么下列四个结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将四个选项的比例式都转化成等积式，看哪一个结果为，即可选出正确答案．
【详解】A、将转化成等积式为；
B、将转化成等积式为；
C、将转化成等积式为；
D、将将转化成等积式为．
故选：B
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，若，则．反之，若，则．熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
3．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了对根的判别式的理解和掌握，根据根的判别式进行推理是解答本题的关键．
求出根的判别式的值，根据结果判断它的正、负，根据根的判别式得到答案．
【详解】解：由已知得：
一元二次方程，
，
无论取何值，，即，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式的运算．根据合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式，积的乘方法则，逐一计算后进行判断即可．
【详解】解：A、，选项错误；
B、，选项正确；
C、，选项错误；
D、，选项错误；
故选B．
5．如图，是边上的一点，的平分线交边于点，交于点，则图中一定相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成．
【详解】在与中，
∵，
∴，
在与中，
∵平分，
∴，
又，
∴．
∵,
∴,
∵,
∴，
所以图形中共有3对相似三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点．
6．若点,,在反比例例函数的图象上,则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B和点C的纵坐标的大小即可．
【详解】解：∵反比例函数的比例系数为，
∴图象的两个分支在二、四象限；
∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限，
∴最大，
∵，y随x的增大而增大，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．已知是方程的解，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的解的定义，得出，整体代入代数式求值即可求解．
【详解】∵是方程的解，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．函数的定义域是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由，
∴，解得：，
故答案为：．
9．在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数内的因式分解、综合运用平方差公式和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算公式是解题关键．利用配方法将原式整理为，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
10．如图，已知，D是的中点，E是的中点，则 ．
【答案】
【分析】过点作，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点作，交于点，
，
是的中点，是的中点，
，，
在和中，，
，
，
又，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
11．一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ．
【答案】
【分析】由题意画树状图，可得共有36种等可能的结果，然后求出在直线上的点的坐标，最后计算求解即可．
【详解】解：由题意画树状图如下：
共有36种等可能的结果，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
∴在直线上的点的坐标为，，共个，
∴点、落在直线上的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，一次函数．解题的关键在于列举所有可能存在的情况．
12．如图，切圆于点切圆点，交，于，则的周长为 ．
【答案】
【分析】利用切线长定理得到，，，然后利用等线段代换得到的周长．
【详解】解：、分别与相切于点、，
，
直线与相切于点，
，，
的周长
．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
13．如图，在中，，四边形，，均为正方形，P，G，N在BC边上，点E，H，P在AB边上．如果，，那么正方形的面积为 ．
【答案】/
【分析】证明，得出，即，求出，最后算出正方形的面积即可．
【详解】解：∵四边形，，均为正方形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，正方形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法证明．
14．如图，点A在x轴的正半轴上，函数的图像经过的顶点B和边AB上的点C，且，点B的横坐标为2，则点C的坐标是 ．
【答案】
【分析】分别过B，C作，，垂足为D，E，得到，求出点B的坐标，证明，得到，设，代入函数表达式，求出a值，可得，进一步计算可得，从而得到点C的坐标．
【详解】解：分别过B，C作，，垂足为D，E，
则，
∵点B在图象上，横坐标为2，
∴纵坐标为，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
则，即，代入，得，
解得：，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，解题的关键是将点的坐标和线段的长相互转化．
15．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．已知平面内有两点，P点在y轴上，M点在直线上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】设，分别以为平行四边形的对角线，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：由题意，设：，
∵以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，
①当为对角线时：，解得：，
∴；
②当为对角线时：，解得：，
∴；
③当为对角线时：，解得：，
∴；
综上：或或；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，以及中点坐标公式，是解题的关键，注意，分类讨论．
17．如果关于的无理方程有实数根，那么的值为 ．
【答案】
【分析】把方程两边平方去根号得一元二次方程，然后将代入方程即可求出值．
【详解】解：，
两边同时平方可得：
实数根是方程的解，代入方程，
可解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了无理方程的解法，熟练掌握解无理方程的方法两边平方法及换元法，本题用了平方法，是解答本题的关键．
18．如图，在Rt中，， ，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点顺时针方向旋转，点、的对应点分别是点、．如果点落在线段上，那么线段 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理求得，根据旋转的性质得出，，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】在Rt中，， ，，点、分别是边、的中点，
∴,，
如图所示，点落在线段上，
设旋转角为，
∴，
旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19．计算：．
【答案】
【分析】将特殊角的三角函数值代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，准确进行计算是解此题的关键．
20．如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．
(1)已知，，求圆O的半径；
(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；
（2）连接，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：连接，如图，设的半径为，则，，
平分，
，，
在中，，
解得，
即的半径为；
（2）连接，如图，
，
，
即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即弦所对的圆心角的度数为．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
21．如图，已知在中，，，点是边上的一点，．
(1)试用和表示，即______；
(2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．
【答案】(1)
(2)作图见详解，，
【分析】本题考查了平面向量的三角形法则和平行四边形法则等知识，
（1）根据三角形法则求解即可；
（2）利用平行四边形法则求解，再利用平行线分线段成比例求出向量，向量．
解题的关键是理解题意，灵活运用平面向量的相关知识解决问题．
【详解】（1），
∵，
∴，
故答案为；
（2）
如图，，即为所求．
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，．
22．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．
(1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由．
(2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，）
【答案】(1)不会，理由见解析
(2)7米
【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案；
（2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点作，交于点，
，，
，
不会碰到头部；
（2），
，
过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
设，则，
段和段的坡度，
，，
，
（米）．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．
23．如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设．
(1)使用的代数式表示；
(2)设，求关于的函数关系式，并写出定义域；
(3)当是等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)的长为、10或7
【分析】（1）易证，则有，由可得，从而得到，然后根据相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得，根据可得，从而得到．易证，从而得到，问题得以解决；
（3）易证，因而当是等腰三角形时，也是等腰三角形，然后只需分三种情况①，②，③，讨论，就可解决问题．
【详解】（1）解：如图1，
，
．
∵，
．
，，，
，．
，，
，
．
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
．
∵，
，
，
，
整理得：；
（3）解：当是等腰三角形时，的长为、10或7．
解题过程如下：
，，
．
∵，，
，
当是等腰三角形时，也是等腰三角形．
①当时，
则有，
，，
，
，
，
，
；
②当时，，
，
；
③当时，
作于，如图2，
则有．
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到了面积法、分类讨论的思想，有一定的难度，证到是解决第（1）小题的关键，证到，从而得到是解决第（2）小题的关键，证到，从而把是等腰三角形转化为是等腰三角形是解决第（2）小题的关键．
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点在线段上，且，连接，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)连接，求的值；
(3)点在直线上，且，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）过点作于点，证明，根据全等三角形的性质得，，可得，求出，则，，根据等腰直角三角形的性质可得，则，在中，根据余弦的定义即可求解；
（3）分两种情形①当点在点的上方时；②当点在点的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．
【详解】（1）解：点，在抛物线上，
将点，，
，解得：，
这条抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，，
，
过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点，
的横坐标为，代入解析式，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，
；
（3）①当点在点的上方时，
，是公共角，
，
，
，
设，则，
又，，
，
解得：，
点的坐标为；
②当点在点的下方时，
，是公共角，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，当时，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，三角形相似的判定及性质是解答本题的关键．
25．如图，在中，，，．点是线段上一动点，点在的延长线上，且，连接，以线段为对角线作正方形，边交边于点，线段交边于点，边交边于点．
(1)求证：；
(2)设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的定义域；
(3)连接，当是直角三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)，定义域为
(3)的长为或
【分析】（1）过点作交于，由直角三角形的性质证出，再由相似三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出、、，由三角形的面积公式可得出答案；
（3）分两种情况：当时，当时，过点作交于点，由全等三角形的性质以及直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，过点作交于，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作交于，
由题意得：，，，，
，
，
，
，
，
，
，
定义域为；
（3）解：①当时，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
解得：，
；
②当时，过点作交于点，
，，
，
，
同①可得，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题．
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其中6-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分150分制），分基础卷（适合100分以下学生使用）、提升卷（适合100-130分学生使用）、满分卷（适合130分以上学生使用）。其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2023-2024学年九年级数学上学期期末临考押题卷
（范围：中考一模内容）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题4分，共24分）
1．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．在十进制中，
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．任意一个三角形的内角和为360°
2．如果（、均不为零），那么下列四个结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是边上的一点，的平分线交边于点，交于点，则图中一定相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．若点,,在反比例例函数的图象上,则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．已知是方程的解，则代数式的值为 ．
8．函数的定义域是 ．
9．在实数范围内因式分解： ．
10．如图，已知，D是的中点，E是的中点，则 ．
11．一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ．
12．如图，切圆于点切圆点，交，于，则的周长为 ．
13．如图，在中，，四边形，，均为正方形，P，G，N在BC边上，点E，H，P在AB边上．如果，，那么正方形的面积为 ．
14．如图，点A在x轴的正半轴上，函数的图像经过的顶点B和边AB上的点C，且，点B的横坐标为2，则点C的坐标是 ．
15．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
16．已知平面内有两点，P点在y轴上，M点在直线上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标是 ．
17．如果关于的无理方程有实数根，那么的值为 ．
18．如图，在Rt中，， ，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点顺时针方向旋转，点、的对应点分别是点、．如果点落在线段上，那么线段 ．
三、解答题（共78分）
19．计算：．
20．如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．
(1)已知，，求圆O的半径；
(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．
21．如图，已知在中，，，点是边上的一点，．
(1)试用和表示，即______；
(2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．
22．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．
(1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由．
(2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，）
23．如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设．
(1)使用的代数式表示；
(2)设，求关于的函数关系式，并写出定义域；
(3)当是等腰三角形时，直接写出的长．
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点在线段上，且，连接，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)连接，求的值；
(3)点在直线上，且，直接写出点的坐标．
25．如图，在中，，，．点是线段上一动点，点在的延长线上，且，连接，以线段为对角线作正方形，边交边于点，线段交边于点，边交边于点．
(1)求证：；
(2)设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的定义域；
(3)连接，当是直角三角形时，求的值．
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