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编者小注：
本套专辑专为上海市2023-2024学年第一学期期末考试研发。
其中6-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分150分制），分基础卷（适合100分以下学生使用）、提升卷（适合100-130分学生使用）、满分卷（适合130分以上学生使用）。其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
所有资料研发均为我工作室原创，希望助广大中学生一臂之力。
（基础卷）2023-2024学年九年级数学上学期期末临考押题卷
（范围：中考一模内容）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题4分，共24分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．为保证“神舟十六号”的成功发射，对其零部件进行检查可以采用抽样调查
B．对全市中学生阅读时间进行调查，可以采用普查
C．为了解某校学生的视力情况，随机抽取50名学生进行调查，其中样本是50名学生
D．抽取20个灯泡检测其使用寿命，个体是每个灯泡的使用寿命
2．如图，六边形与六边形是位似图形，O为位似中心，，则为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中，将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C．（，） D．（）
5．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（ ）
A． B． C．20 D．10
6．若是方程的一个解，则的值是（ ）
A．2023 B． C．2022 D．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．定义新运算，规定．方程的解为 ．
8．在直角坐标平面内，函数的图像在同一个象限内经过A、B两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，连接、、，若，则点的坐标是 ．
9．如果点在抛物线上，那么 （“”、“”或“”）
10．若质数a，b满足，则数据a，b，2，3的中位数是 ．
11．已知点，点在数轴上的位置如图所示，则的最小值是 ．
12．如图，已知在扇形中，，半径，点在弧上，过点作于点，于点，那么线段的长为 ．
13．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知为整数，若函数与的图像的交点是整数点，则的值为 ．
14．方程的解是 ．
15．在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的方程是 ．
16．已知点在第一象限，且满足，则整数的值是 ．
17．如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．
18．如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到，点的对应点恰好落在边上，且点在同一条直线上．若，求旋转角 ．
三、解答题（共78分）
19．计算：
20．已知二次函数．
(1)用配方法将该二次函数化为的形式．并写出其图像的开口方向、对称轴和项点坐标；
(2)在直角坐标系中画出该函数的图像，并说明函数值随自变量的变化而变化的情况．
21．如图，平行四边形中，点E是上的一点，，和相交于点F．
(1)求的值；
(2)如果，请用表示．
22．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．
(1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？
(2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．
23．如图，在为等腰梯形中，，对角线、交于点沿着直线翻折得到联结，分别于、相交于点F、G．
(1)求证：、互相平分；
(2)若，求的比．
24．已知二次函数图像经过，、三点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)将该二次函数图像平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，若平移后的二次函数图像与x轴的另一个交点为E，求的正切值．
25．在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．
(1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度；
(2)如图2，当时，求四边形的面积；
(3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域．
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其中6-8年级（满分100分制），分基础卷（适合75分以下学生使用）、提升卷（适合60-90分学生使用）、满分卷（适合90分以上学生使用）。
9年级（满分150分制），分基础卷（适合100分以下学生使用）、提升卷（适合100-130分学生使用）、满分卷（适合130分以上学生使用）。其中18题为图形的变换压轴题、22题为解直角三角形题型、23题为相似三角形压轴题、24题为二次函数压轴题、25题为几何综合压轴题。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
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（基础卷）2023-2024学年九年级数学上学期期末临考押题卷
（范围：中考一模内容）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题4分，共24分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．为保证“神舟十六号”的成功发射，对其零部件进行检查可以采用抽样调查
B．对全市中学生阅读时间进行调查，可以采用普查
C．为了解某校学生的视力情况，随机抽取50名学生进行调查，其中样本是50名学生
D．抽取20个灯泡检测其使用寿命，个体是每个灯泡的使用寿命
【答案】D
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，统计图的特点和总体、个体、样本、样本容量的定义，根据普查和抽样调查的特点来判断A、B选项，根据统计图的特点和总体、个体、样本、样本容量的定义判断C和D选项．
【详解】解：A．为保证“神舟十六号”的成功发射，对其零部件进行检查应采用全面调查，故不符合题意；
B．对全市中学生阅读时间进行调查，可以采用抽样调查，故不符合题意；
C．为了解某校学生的视力情况，随机抽取50名学生进行调查，其中样本是50名学生的视力情况，故不符合题意；
D．抽取20个灯泡检测其使用寿命，个体是每个灯泡的使用寿命，故符合题意．
故选：D．
2．如图，六边形与六边形是位似图形，O为位似中心，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查位似图形的性质，根据对应边之比等于位似比直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵六边形与六边形是位似图形，，
∴，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中，将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质和平移，分情况讨论：或，根据抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，故得到交点横坐标之间的关系．由对称轴得到抛物线与x轴交点的横坐标之间的数量关系是解题的关键．
【详解】当时，如图所示：
由图象可得，
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
由∵，
∴，，
当时，如图所示：
由图象可得，
∵抛物线
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，．
故选：A．
4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C．（，） D．（）
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐个判断即可，熟记最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、（，）中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、（），不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
5．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（ ）
A． B． C．20 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形为矩形是解题关键．结合题意及菱形的性质，证明四边形为矩形，再在中利用勾股定理解得，然后根据矩形的性质“矩形的对角线相等”，即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∴平行四边形为矩形，
∴．
故选：B．
6．若是方程的一个解，则的值是（ ）
A．2023 B． C．2022 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．
先根据一元二次方程的解的定义得到，变形得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴
．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．定义新运算，规定．方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义和解分式方程，已知方程利用题中的新定义，得，化简，计算求出解即可．熟练掌握分式方程的解法是关键．
【详解】解：因为，，
∴
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
故方程的解为．
故答案为：
8．在直角坐标平面内，函数的图像在同一个象限内经过A、B两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，连接、、，若，则点的坐标是 ．
【答案】或．
【分析】此题主要考查了反比例函数的图像，利用待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度．根据过点求得反比例函数，再设点B的坐标为，则有，过点作则有，结合三角形面积公式即可求得答案．
【详解】解∵函数的图像经过，
∴，
∴该函数得为：，
∵点在反比例函数上，
∴设点的坐标为，
∵轴于点，则，
过点作于点，如下图所示：
∵点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，解得：，
由，解得：，
当时，点的坐标为，
当时，点的坐标为，
故答案为：或．
9．如果点在抛物线上，那么 （“”、“”或“”）
【答案】
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【详解】∵
∴，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键．
10．若质数a，b满足，则数据a，b，2，3的中位数是 ．
【答案】4或7
【分析】本题考查了解二元一次方程组，中位数，因式分解的应用．解题的关键在于根据题意列二元一次方程组．由题意知，即，且a，b是质数，可得或或或，解方程组可得满足要求的的值，然后根据中位数是第二、三位数的平均数求解即可．
【详解】解：由题意知，即，
∵a，b是质数，
∴或或或，
解得或或（舍去）或（舍去），
当时，2，3，5，7的中位数为；
当时，2，3，11，13的中位数为；
∴数据a，b，2，3的中位数是4或7，
故答案为：4或7．
11．已知点，点在数轴上的位置如图所示，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查绝对值的几何意义，整式的加减运算，将原式变形为，可知原式表示数轴上某点到点，点，三个点的距离之和，结合数轴可得当时取最小值．
【详解】解：，
由绝对值的几何意义可知，该式表示数轴上某点到点，点，三个点的距离之和，
由数轴可知，当时，的值最小，最小值为：，
因此当时，取最小值，
最小值为：，
故答案为：．
12．如图，已知在扇形中，，半径，点在弧上，过点作于点，于点，那么线段的长为 ．
【答案】
【分析】连接，取中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，进而可知点，，，四点均在同一个圆，即上，由圆周角定理可知，可知，过点作，垂足为点，由垂径定理得，，在中，，，可得．
【详解】如图，连接，取的中点，连接，，
在和中，点是斜边的中点，
，
根据圆的定义可知，点，，，四点均在同一个圆，即上，
又，
，
，
过点作，垂足为点，
由垂径定理得，，
在中，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，圆的定义，圆周角定理，垂径定理，含的直角三角形，根据相关性质定理得到点，，，四点均在同一个圆是解决问题的关键．
13．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知为整数，若函数与的图像的交点是整数点，则的值为 ．
【答案】或
【分析】联立两个函数，用含的代数式表示出、，再根据、均为整数，找出符合条件的值即可．
【详解】解：联立，解得：，
函数与的图像的交点是整数点，
、均为整数，
当、时，、均为整数，符合题意，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，正确表示出、，并找出符合条件的值是解题关键．
14．方程的解是 ．
【答案】
【分析】两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的x的值，可得答案．
【详解】解：
两边平方得,
则或,
解得：或,
又
解得：，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
15．在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的方程是 ．
【答案】
【分析】利用换元法，将代入原方程，再将其化为整式方程即可．
【详解】解：设，则原方程可化为，
即，
故答案为：．
【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解分式方程的特点，寻找解题技巧．
16．已知点在第一象限，且满足，则整数的值是 ．
【答案】
【分析】先解二元一次方程组，求出的值，再根据点在第一象限，可求得的范围，再由为整数，即可得到答案．
【详解】解：，
得：，
解得：，
将③代入①可得：，
，
点在第一象限，
，
解得：，
为整数，
的值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，平面直角坐标系中点的坐标特征，解不等式组，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，二元一次方程组以及不等式组的解法，是解题的关键．
17．如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值．
【详解】解： 点和点关于直线对称，
，
，
．
，
，
点和点关于直线对称，
，
又，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
在和中，
，
．
在中，，
，，
，
，
，
，
，，
．
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明．
18．如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到，点的对应点恰好落在边上，且点在同一条直线上．若，求旋转角 ．
【答案】
【分析】根据旋转的性质和等边对等角可以得到，设与交于点，则得以推出进而得到方程，解方程即可．
【详解】证明：如图，
由旋转得：，
平分；设与交于点，由旋转得：
，
，
是的一个外角，
，
解得：
∴旋转角的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，根据题目的一直条件并结合图形进行分析是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19．计算：
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．已知二次函数．
(1)用配方法将该二次函数化为的形式．并写出其图像的开口方向、对称轴和项点坐标；
(2)在直角坐标系中画出该函数的图像，并说明函数值随自变量的变化而变化的情况．
【答案】(1)，该图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标．
(2)见详解．
【分析】本题考查了二次函数的顶点式、图像特征及用描点法画二次函数的图像．
（1）先用配方法将该二次函数化为的形式，根据a的符号可判断开口方向，二次函数的对称轴为，顶点坐标为．
（2）用描点法画函数图像，取点时先取顶点，再以对称轴为轴取几对对称点，再描点即可．
熟练掌握二次函数图像的画法及二次函数图像的特征是解题的关键．
【详解】（1）
该图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标．
（2）列表格如下：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 …
如图，二次函数的图像如下图所示：
由图像可知，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．
21．如图，平行四边形中，点E是上的一点，，和相交于点F．
(1)求的值；
(2)如果，请用表示．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量．
（1）由平行四边形的性质得，从而，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得的值；
（2）先求出再利用向量的加法可得答案．
【详解】（1）解：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
．
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
22．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．
(1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？
(2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．
【答案】(1)有危险
(2)时，轮船能安全通过这一区域
【分析】（1）过P作于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可；
（2）设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，利用特殊角的三角函数值确定答案．
【详解】（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，
由题意得，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险．
（2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，
当时，角的度数最大，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域，
即时，轮船能安全通过这一区域．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长．
23．如图，在为等腰梯形中，，对角线、交于点沿着直线翻折得到联结，分别于、相交于点F、G．
(1)求证：、互相平分；
(2)若，求的比．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到，根据翻折性质得到，从而证出，得出四边形是平行四边形，即可求证；
（2）过点D作交于点M，得出是等边三角形，，再证明，得出，即可求证
【详解】（1）证明：在等腰梯形中，
∴．
∵沿着直线翻折得到，
∴．
∴．
∴．
又．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴、互相平分；
（2）解：过点D作交于点M，
四边形是平行四边形，
则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】该题主要考查了相似三角形判定和性质“对应边的比等于相似比”、平行四边形的判定和性质、等腰梯形的性质“两腰相等，两底角相等”、翻折的性质“翻折前后对应边相等，对应角相等”、等边三角形的判定和性质“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”“等边三角形三边相等”等知识点，解题的关键是作平行线，构建平行四边形．
24．已知二次函数图像经过，、三点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)将该二次函数图像平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，若平移后的二次函数图像与x轴的另一个交点为E，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据对称轴为直线，可得抛物线向右平移3个单位，设抛物线向下平移个单位，则平移后的抛物线为，将点代入，求得的值，进而即可求解；
（3）过点作轴于点，得出是直角三角形，，过点作，勾股定理求得，进而得出，根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数图像经过，、三点
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
对称轴为直线
∵平移使其经过点，且对称轴为直线，
∴抛物线向右平移3个单位，
设抛物线向下平移个单位，则平移后的抛物线为，
∵经过点，
∴，
解得：，
∴平移后的解析式为，即，
（3）解：如图所示，过点作轴于点，
当时，，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴，，，
∴是直角三角形，
过点作，
∵，
∴，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求正确，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．
(1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度；
(2)如图2，当时，求四边形的面积；
(3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域．
【答案】(1)
(2)
(3)，（）
【分析】（1）由题意，可求得，由勾股定理求，再由可得，即，则可求的长度；
（2）证明可求得，由可知，则，解得，,四边形的面积为解得四边形的面积为．
（3）分别证明和，故可得由相似分别得到，．再由可证，代入得到，则问题可证．
【详解】（1）∵四边形是矩形，，，
，，．
又，
．
在中，，，，
．
∵，
．
．
．
（2）∵，，
．
．
∵，，
．
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴,
四边形的面积为
四边形的面积为．
（3）过点作交于点，则．
∵四边形是矩形，
．
∵，，
．
．
．
．
∵，，
，．
∵，
．
∵，，，
．
．
∵，，
．
．
即．
整理得，（）．
【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式．
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