中小学教育资源及组卷应用平台
编者小注：
本套专辑为江苏地区2023学年第一学期期末考试研发。
7-9年级（满分100分制），分基础卷（适合80分以下学生使用）、提升卷（适合80-95分学生使用）、满分卷（适合95分以上学生使用）。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
来源为近两年江苏苏科版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（基础卷）2023-2024学年苏科版九年级数学上学期期末临考押题卷
（范围：九上下）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题3分，共24分)
1．将分别标有“最”、“美”、“济”、“外”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上汉字可以组成“济外”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（ ）
A．80 B．82 C．84 D．86
3．某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是( )
A．这次调查的样本容量是
B．全校名学生中，估计最喜欢排球的大约有人
C．扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是
D．被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有人
4．如图，四边形，有，，，以中点O为圆心作弧及弧，动点P从C点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点P运动到点D时，线段扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点，都在格点上，点在格线上，则点与点之间的距离为（ ）
A．5 B． C． D．
6．对于抛物线，下列结论：①抛物线开口向下；②抛物线经过点③抛物线的顶点为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
8．一种微波炉每台成本价原来是元，经过两次技术改进后，成本降为元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．在中，，，，则 ．
10．如图，点O为正六边形对角线上一点，随机在正六边形内取一点P，那么点P取在阴影部分的概率是 ．
11．甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射击成绩的方差分别为，则 （填“>”“<”或“=”）．
12．如图，、、所组成的图形叫做勒洛三角形．它是以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间做一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形．若，顶点A与数轴上表示的点重合，将勒洛三角形向右沿数轴滚动一周，则点A对应的数是 ．
13．如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是 ．
14．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ．
15．如图，已知，，则 ．
16．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ．
三、解答题(共52分)
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸、琮琮、莲莲”．我校举办了“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟将一些吉祥物“宸宸、琮琮、莲莲”作为竞赛奖品．主持人在3张完全相同的卡片上分别写上“”后放入一个盒子里．
(1)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“宸宸”的概率为 ；
(2)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回，再随机抽取一张卡片．请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母相同”的概率．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论实数取何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求的值．
20．2023年3月15日，由中国航天科技集团研制的“长征十一号”运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将试验十九号卫星送入预定轨道，发射取得圆满成功.某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，开展了航天知识答题竞赛活动，现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，单位：分），共分成四个组：
（.；.；.；.），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：69，73，75，81，82，82，88，92，93，95．
八年级10名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在组的数据是：86，88，83．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 82
八年级 83 95
(1)直接写出_________，_________，_________；
(2)根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好 请说明理由；
(3)若七年级有700人，八年级有800人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩在90分及以上的共有多少人
21．如图，，、交于点M，．
(1)若，，求的长；
(2)连接、，求证平分．
22．如图，四边形是江北云海南湾小区外公园人工湖旁的林荫小道．晚饭后，小东陪爸爸妈妈散步，从点出发，走了米后到达点，再走米后到达点，再走一段路走到了点，小东发现：点在点正西方向，点在点西北方向，在点南偏西方向，点恰好在点的正北方．
(1)求的长度．
(2)小东和小芳决定从点同时出发来一场比赛，小东速度快，以米每秒的平均速度沿的路线跑，小芳以米每秒的平均速度沿的路线跑，谁先到达终点？（参考数据：；）
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标；
(3)是第二象限抛物线上一动点，求点的坐标并求面积的最大值；
24．如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积．
25．在平行四边形中，，，点、分别为、的两点．
(1)如图1，若，且，连接、，判断和的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，，，求证：；
(3)如图3，若，点关于的对称点为点，点为平行四边形对角线的中点，连接交于点，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者小注：
本套专辑为江苏地区2023学年第一学期期末考试研发。
7-9年级（满分100分制），分基础卷（适合80分以下学生使用）、提升卷（适合80-95分学生使用）、满分卷（适合95分以上学生使用）。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
来源为近两年江苏苏科版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（基础卷）2023-2024学年苏科版九年级数学上学期期末临考押题卷
（范围：九上下）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题3分，共24分)
1．将分别标有“最”、“美”、“济”、“外”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上汉字可以组成“济外”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济外”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济外”的结果有2种，
两次摸出的球上的汉字可以组成“济外”的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
2．“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（ ）
A．80 B．82 C．84 D．86
【答案】B
【分析】本题主要考查了求加权平均数，用对应学科的分数乘以对应的权重求出每一科的分数，再求和，最后除以10即可得到答案，熟知加权平均数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，平均成绩为，
故选：B．
3．某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是( )
A．这次调查的样本容量是
B．全校名学生中，估计最喜欢排球的大约有人
C．扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是
D．被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有人
【答案】C
【分析】本题主要考查了求样本容量、求扇形统计图的圆心角度数、由样本估计总体；从统计图获取信息，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：，
这次调查的样本容量为，故A选项不符合题意；
最喜欢羽毛球的有（人），
最喜欢排球的有（人），
（人），
全校名学生中，估计最喜欢排球的大约有人，故B选项不符合题意；
，
扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是，故C选项符合题意；
（人），
被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有人，故D选项不符合题意；
故选：C
4．如图，四边形，有，，，以中点O为圆心作弧及弧，动点P从C点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点P运动到点D时，线段扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，过作于，证明，根据三角函数得出，求出，证明为等边三角形，求出，求出，得出．
【详解】解：连接，，过作于，
∵点O是中点，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，，
∵为直角三角形，点O是中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
同理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，扇形面积公式及解直角三角形，根据线段长度得到直角三角形， 结合特殊三角形的正弦值得到圆周角从而得到圆心角，结合扇形面积公式即可得到答案．
5．如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点，都在格点上，点在格线上，则点与点之间的距离为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作交于点，交于，由图可得：，，，，则，从而得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，作交于点，交于，
，
由图可得：，，，，
，
，即，
，
故选：D．
6．对于抛物线，下列结论：①抛物线开口向下；②抛物线经过点③抛物线的顶点为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．
根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：抛物线中，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴时，随的增大而减小，
将代入可得，即抛物线经过点，
故③错误，①②④正确．
故选：B．
7．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案；
【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，
∵点Q是的中点，
∴，
∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴当、 、、四点共线时的值最小，
，
∴的最小值为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹．
8．一种微波炉每台成本价原来是元，经过两次技术改进后，成本降为元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
由题意知，第一次降价后成本为，第二次降价后成本为，然后根据题意列方程即可．
【详解】解：由题意知，第一次降价后成本为，第二次降价后成本为，
依题意得，，
故选：A．
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．在中，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，先根据余弦的定义求出，再根据勾股定理即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．如图，点O为正六边形对角线上一点，随机在正六边形内取一点P，那么点P取在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了几何概率．连接、、，则交点为M，设正六边形的边长为a，每个小三角形底边上的高为h，则的长为，利用正六边形的面积公式及割补法分别计算出正六边形的面积及阴影部分的面积，在利用几何概率计算公式即可求解，计算求解即可解题的关键在于正确表示阴影部分、正六边形的面积．
【详解】解：∵正六边形，如图，连接、、，则交点为M，
设正六边形的边长为a，每个小三角形底边上的高为h，
则的长为，
∴正六边形的面积为，，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
11．甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射击成绩的方差分别为，则 （填“>”“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查了方程，根据方差的定义“各个数据与平均数的差的平方的平均数”，求出两人的方程，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
，
，
，
，
∴，
故答案为：．
12．如图，、、所组成的图形叫做勒洛三角形．它是以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间做一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形．若，顶点A与数轴上表示的点重合，将勒洛三角形向右沿数轴滚动一周，则点A对应的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴的关系、等边三角形的性质、求弧长，利用等边三角形的性质及三角形内角和求得三条弧长的和，然后根据实数与数轴的关系即可求解，结合已知求得是解题的关键．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
的长度即为以为半径的半圆的弧长，
即：，
点A表示的数为，
将勒洛三角形向右沿数轴滚动一周，则点A对应的数是，
故答案为：．
13．如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数关系定理计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】∵、是一元二次方程的两个根，
∴，
故答案为：．
14．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ．
【答案】4
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到．
【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，
由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴投掷距离为；
故答案为：4．
15．如图，已知，，则 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为3．
16．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、直线与圆的位置关系，先解方程得出，再根据即可得出直线与的位置关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，通过比较圆心到直线距离与半径的大小即可得出直线与的位置关系，是解此题的关键．
【详解】解：，
，
或，
解得：，，
的半径是一元二次方程的一个根，
，
圆心到直线的距离，
直线与的位置关系是相交，
故答案为：相交．
三、解答题(共52分)
17．（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值、实数的混合运算及解一元二次方程的能力；
（1）将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算顺序和法则计算可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）原式
；
（2）原方程可化为，
，
∴或，
∴．
18．2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸、琮琮、莲莲”．我校举办了“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟将一些吉祥物“宸宸、琮琮、莲莲”作为竞赛奖品．主持人在3张完全相同的卡片上分别写上“”后放入一个盒子里．
(1)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“宸宸”的概率为 ；
(2)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回，再随机抽取一张卡片．请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母相同”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了列表法与树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，符合题意的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“宸宸”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，“两次抽取卡片上字母相同”的结果有3种，
（两次抽取卡片上字母相同）．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论实数取何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)的值为或．
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法．
（1）计算出根的判别式的值即可判断，
（2）首先求出方程的两个根，进而得出，再利用已知条件得到关于的方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵
，
∴方程总有实数根，
即不论为何值，该方程总有实数根；
（2）解：由，
可得，
，，
，
又是方程的两个实数根，且，
，
或，
的值为或．
20．2023年3月15日，由中国航天科技集团研制的“长征十一号”运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将试验十九号卫星送入预定轨道，发射取得圆满成功.某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，开展了航天知识答题竞赛活动，现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，单位：分），共分成四个组：
（.；.；.；.），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：69，73，75，81，82，82，88，92，93，95．
八年级10名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在组的数据是：86，88，83．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 82
八年级 83 95
(1)直接写出_________，_________，_________；
(2)根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好 请说明理由；
(3)若七年级有700人，八年级有800人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩在90分及以上的共有多少人
【答案】(1)40，82，87
(2)八年级学生的竞赛成绩更好，理由见解析
(3)530人
【分析】本题考查统计图表的应用，涉及扇形统计图、平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，熟记统计图表及统计量定义和求法是解决问题的关键．
（1）根据扇形统计图表示的信息、中位数和众数定义求解即可得到答案；
（2）根据平均数、中位数和众数的统计含义求解即可得到答案；
（3）利用样本估计总体，求出样本中90分及以上的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由扇形统计图可知，，
；
由扇形统计图可知，八年级抽取的学生组1人、组2人、组3人、组4人，
八年级10名学生的竞赛成绩在组的数据是：86，88，83，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是86与88的平均数87，即；
七年级10名学生的竞赛成绩是：69，73，75，81，82，82，88，92，93，95，
七年级10名学生的竞赛成绩的众数是82，即；
故答案为：40，82，87；
（2）解：八年级成绩更好，
理由如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 82 82
八年级 83 87 95
从七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表中可知在两个年级成绩的平均值相同情况下，八年级成绩的中位数及众数都比七年级大，则八年级学生的竞赛成绩更好；
（3）解：七年级成绩在90分及以上的人数共有（人）；
八年级成绩在90分及以上的人数共有（人）；
总人数为（人），
答：估计七年级和八年级成绩在90分及以上的共有530人．
21．如图，，、交于点M，．
(1)若，，求的长；
(2)连接、，求证平分．
【答案】(1)MN＝
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、平行线的性质、角平分线的判定：
（1）根据三角形的判定及性质可得，，进而可得，进而可求解；
（2）根据相似三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，进而可求证结论；
熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ，，，
，
，，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：如图，
由（1）得：，，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，，
，
平分．
22．如图，四边形是江北云海南湾小区外公园人工湖旁的林荫小道．晚饭后，小东陪爸爸妈妈散步，从点出发，走了米后到达点，再走米后到达点，再走一段路走到了点，小东发现：点在点正西方向，点在点西北方向，在点南偏西方向，点恰好在点的正北方．
(1)求的长度．
(2)小东和小芳决定从点同时出发来一场比赛，小东速度快，以米每秒的平均速度沿的路线跑，小芳以米每秒的平均速度沿的路线跑，谁先到达终点？（参考数据：；）
【答案】(1)
(2)小东先到
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）过点作于点，过点作于点，根据题意可得，解，可得，，进而可得的长；
（2）分别计算两人所用的时间，即可求解．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形
根据题意可得，，
∴，
由
∴，，
所以
（2）∵，，，，
∴；
；
∵
故小东先到．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标；
(3)是第二象限抛物线上一动点，求点的坐标并求面积的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点关于抛物线的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，进而求解；
（3）过点作轴交于点，由题意可设点，则点，由铅垂法可得面积，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵，
则点、的坐标分别为：、，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：点关于抛物线的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，
理由：为最小，
设直线的表达式为：，
∴由点、的坐标得，，
解得：，
∴直线的表达式为：，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
即点的坐标为：；
（3）解：过点作轴交于点，
由（2）可得直线的表达式为：，
设点，则点，
∴，的水平宽为3，
则面积，
∴当时，的面积最大，最大值为，此时点．
【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到点的对称性、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
24．如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)与相切，见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，阴影面积计算，
（1）连接，证明即可．
（2）根据计算即可．
【详解】（1）与相切，理由如下：
连接，
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴与相切．
（2）∵的平分线交于点， ，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴．
25．在平行四边形中，，，点、分别为、的两点．
(1)如图1，若，且，连接、，判断和的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，，，求证：；
(3)如图3，若，点关于的对称点为点，点为平行四边形对角线的中点，连接交于点，求的长．
【答案】(1)，；理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质结合、、、的长度，即可证出，利用全等三角形的性质可得出、，再通过角的计算即可找出，即；
（2）在上取点，使，连接，则为等边三角形，根据平行四边形的性质结合角的计算可找出、，进而可证出，根据相似三角形的性质可得出，等量替换后可得出；
（3）连接、、，设交于点，利用面积法及勾股定理可求出的长度，易知为中位线，根据中位线的性质可得出的长度及，进而可得出，利用相似三角形的性质可得出，结合的长度即可求出的长度．
【详解】（1），．理由如下：
四边形为平行四边形，，
．
，，，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
，即．
（2）证明：如图2，在上取点，使，连接，则为等边三角形，
，
．
四边形为平行四边形，，
，
．
，，
，
，
，
，即．
（3）解：连接、、，设交于点，如图3所示，则为线段的垂直平分线．
，
平行四边形为矩形，
，，，
．
点为的中点，点为的中点，
，且，
，
，
．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形的面积以及勾股定理，解题的关键是灵活运用一线三等角模型，构造全等三角形与相似三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
