宣威市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试卷
一、单项选择题（每小题5分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则=（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A．向左平移个单 B．向右平移个单
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
6．函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
8．设奇函数在上是单调函数，且，若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是（ ）
A． B．或或 C． D．或或
二、多项选择题（每小题5分）
9．下列命题中是真命题的有（ ）
A．“”是“”成立的充分不必要条件
B．“”是“”成立的充要条件
C．“”是“”成立的既不充分又不必要条件
D．若，则函数的最小值为2
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．的一条对称轴方程为
D．的单调递增区间为
12．已知函数满足，，且当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．的周期为2 B．当时，
C．在上为增函数 D．的图象关于直线对称
三、填空题（每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分）
13．已知的终边上有一点，则的值为 .
14．定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为 .
15．已知，，，，则 .
16．已知，，则的最大值为 ，最小值为 .
四、解答题（17题10分，其余各题12分）
17．已知为第三象限角，且.
(1)化简；(2)若，求的值.
18．已知幂函数的图象关于y轴对称.
(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域.
19．已知定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)若函数在区间上单调递增，求实数 的取值范围．
20．已知函数，若函数图像相邻两条对称轴间的距离是．
(1)求及单调递减区间．
(2)若方程在上有解，求实数m的取值范围．
21．塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度 湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
22．已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.参考答案：
1．D
【分析】利用对数函数的单调性求出对数不等式的解集，得到集合B，进而求出.
【详解】
故选D.
【点睛】本题考查集合的交集的求法．属基础题.
2．B
【分析】计算端点函数值，根据零点存在性定理和单调性直接判断可得.
【详解】因为在定义域内单调递减，
易知函数在定义域上单调递减，且，
，，
所以存在唯一零点，且.
故选：B.
3．A
【解析】根据指数函数，对数函数的单调性得出，，，由此得出选项.
【详解】由题意，得，，，所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：比较指数式、对数式、幂的大小的常用方法为：（1）化为同底数、同指数或同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较，（2）借助于中间值0和1进行比较.
4．A
【分析】直接利用任意角的三角函数定义,结合正弦二倍角公式求解即可.
【详解】由任意角三角函数定义得：,,
故选：A.
5．A
【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.
【详解】对于A：向左平移个单位可得到，符合；
对于B：向右平移个单位可得到，不符合；
对于C：向右平移个单位可得到，不符合；
对于D：向左平移个单位可得到，不符合；
故选：A.
6．D
【分析】根据函数奇偶性排除B，根据函数零点排除A，当时，由，排除C选项，即可得到结果.
【详解】，故为奇函数，函数图像关于原点中心对称，排除B选项；令，则或，故在上有三个零点，排除A选项；
当时，，排除C选项.
故选:D.
7．B
【分析】写出平移后函数解析式，然后由图象关于轴对称得出的表达式，从而得出结论．
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得函数解析式为，它的图象关于轴对称，
则，又，则，
故选：B．
8．B
【详解】由题意得 ,所以奇函数在上是单调增函数，因此 ,从而函数对所有的都成立，等价于 当时， ,选B.
点睛：对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
9．AC
【解析】根据特殊值或者不等式的性质逐项判断即可.
【详解】解：对A，由不等式的性质知：，则，
当，，满足，
但不满足，
“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；
对B，由不等式的性质知：，则，
当时，满足，但不满足，
“”是“”成立的充分不必要条件，故B错误；
对C，当时，满足，但，
当时，满足，但，
“”是“”成立的既不充分又不必要条件；故C正确；
对D，令，则，
，，
根据对勾函数的单调性知：在上单调递增，
，故D错误.
故选：AC.
10．ABD
【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断；
对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围，由此判断即可；
对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，据此解答即可.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，由选项A知，
因为，所以，故，
所以，即，故B正确；
对于C，由选项B可知，，，所以，
因为，
所以，故C错误；
对于D，因为，，
所以，故，故D正确.
故选：ABD.
11．AD
【分析】由函数图像求出函数解析式，逐项判断对错即可.
【详解】由图像知函数的最小值为-2，最大值为2，
所以，
又函数半个周期为，所以A正确；
又，
因为，所以，则B错误；
所以，
则对称轴为，
所以不为其对称轴，即C错误；
因为，
所以其单调递增区间为，所以D正确；
故选：AD
12．AB
【解析】根据题意，分析为奇函数，周期为2，利用时，作出函数的图像，借助于图像一一分析ABCD.
【详解】由得为奇函数，
由得，
所以的周期为2，故选项A正确；
由得的图象关于点对称.
故的部分图象如下：
由图象可得时，显然成立，故选项B正确；
在上为先减后增的函数，故选项C错误
的图象关于点成中心对称，不关于直线对称，故选项D错误.
故选：AB
【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常综合在一起命题，解题时，往往需要借助于函数的奇偶性、对称性、周期性来确定函数在另一区间的性质，实现区间的转化，再用单调性解决相关问题.
13．/
【分析】根据三角函数的定义，得到，再利用三角函数的诱导公式和基本关系式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】因为的终边上有一点，可得
则.
故答案为：.
14．
【详解】分析可知，函数在上为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【分析】因为定义在上的奇函数在上是减函数，则函数在上也为减函数，
所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．/
【分析】根据题意，分别求得，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为且，则，
又，所以，且，
所以，则，
，
所以
.
故答案为：
16． / 6
【分析】利用换元法，令，则将函数转化为，再由求出的范围，再利用二次函数的性质求解即可
【详解】令，则，
因为，所以，
因为的对称轴为，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以当或时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
故答案为：，6
17．(1)；
(2)﹒
【分析】(1)利用三角函数的诱导公式即可化简；
(2)根据求出sinα，＝－cosα＝即可求得﹒
【详解】（1）．
（2）∵，∴，
又为第三象限角，∴，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求出m的值即可；
（2）由（1）求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
当时，，则， ，则函数不关于轴对称，故舍去，
当时，则，定义域为，关于原点对称，
且，则此时为偶函数，关于轴对称，
故．
（2）
，
因为， ，
故在上的值域为．
19．(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）当时，由即可求得解析式，结合可得最终结果；
（2）根据解析式可作出函数图象；
（3）根据函数图象，结合单调性可直接构造不等式组求得结果.
【详解】（1）当时，，，
为上的奇函数，，
又满足，
.
（2）由（1）可得图象如下图所示，
（3）在区间上单调递增，
结合图象可得：，，即实数的取值范围为.
20．(1)；单调递减区间
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后利用题意得到周期，代入周期的计算公式可得，然后代入正弦函数即可求解；
（2）结合（1）的结论，求出函数在上的值域即可求解.
【详解】（1）因为函数，
又因为函数图像相邻两条对称轴间的距离是，所以函数的周期为，
所以，则，所以函数，
令，解得，
所以函数单调递减区间为.
（2）由（1）可知：函数，
因为，所以，则，
所以，所以要使方程在上有解，则.
21．(1)144年
(2)26年
【分析】（1）由题意代入条件式运算得解；
（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.
【详解】（1）由题可知，所以，
所以，
解得，所以残留量为初始量的，大约需要144年.
（2）根据题意当时，，，
，若残留量不超过初始量的，则，即
两边取常用对数，
解得，所以至少需要26年.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由对数的运化简，然后换元，由二次函数的值域，即可得到结果；
（2）根据题意，由换元法，结合一元二次不等式在某区间恒成立，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
令，则函数化为，
因此当时，，取得最小值
当时，，取得最大值0
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0.
所以该函数的值域为.
（2），恒成立，
即，恒成立
令，则，恒成立
令，
则，即，解得
实数的取值范围.
