1.4 充分条件与必要条件 第2课时 课件(共14张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共14张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
新授课
第2课时
1.理解充要条件的意义，并能判断证明充要条件
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac＜0；
（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集.
知识点：充要条件
命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”为真命题，即既有p q,又有q p，就记作：p q.
概念生成
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.即：如果p q，那么p与q互为充要条件.
所以上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件.则命题(2)(3)中p与q是什么条件？
一般地，
(1)若p q ,但q p，则称p是q的充分不必要条件；
(2)若p q，但q p，则称p是q的必要不充分条件；
(3)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；
（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即p q,所以p是q的充要条件.
解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以q p,所以p不是q的充要条件.
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件.
（3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以p q，所以p不是q的充要条件.
例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;
（4）p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a≠0)
判断充要条件的方法：
(1)分清命题的条件和结论
(2)找推式，判断p q和q p的真假
(3)根据条件和推式得出结论
总结归纳
思考：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
四边形的两组对角分别相等、
四边形的两组对边分别相等、
四边形的一组对边平行且相等、
四边形的对角线互相平分、
四边形的两组对边分别平行.
指出下列各组中p是q的什么条件
①p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
练一练
②p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形；
因为p和q代表的都是等腰三角形，所以p=q，即p q，p是q的充要条件.
矩形的对角线相等，p q；对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形等，q p，所以p是q的充分不必要条件.
例2 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
解：设p：d＝r， q：直线l与⊙O相切．
（1）充分性（p q）：如图,作OP⊥l于点P,则OP=d，若d=r，则点P在⊙O 上，在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O 相切.
P
Q
l
O
例2 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
（2）必要性（q p）：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，
则OP⊥l，因此，d=OP=r.
由（1）（2）可得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
P
Q
l
O
求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0.
练一练
证明：（1）充分性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0．
（2）必要性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．
把x=1代入方程的左边，得a×12+b×1+c=a+b+c．
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程的根．综合（1）（2）知命题成立.
根据今天所学，回答下列问题：
（1）什么是充要条件，用符号怎么表示？
（2）怎么判断充要条件？