1.5.1 全称量词与存在量词 课件（共17张PPT）

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1.5.1 全称量词与存在量词
新授课
1.理解全称量词和存在量词的意义，知道常见的全称量词和存在量词
2.能判断全称量词命题和存在量词命题的真假
思考：下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
（1）x＞3；
（2）2x+1是整数；
（3）对所有的x∈R,x＞3；
（4）对任意一个x∈Z,2x+1是整数.
知识点1：全称量词与全称量词命题
关系：(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定;
是
是
不是
不是
(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定.
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.
概念生成
表示：用符号“ ”表示
含有全称量词的命题，叫全称量词命题.
常见的全称量词还有“一切”、“每一个”、“任给”“全部的”、“凡是”、“只要是”等.
例如，命题 “对任意的n∈Z，2n+1是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题．
通常，将含有变量x的语句用p(x) ，q(x) ，r(x) ，…表示,变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为
“对任意的n∈Z，2n+1是奇数”可记为“ n∈Z，2n+1是奇数”
x∈M，p(x)
例1 判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2） x∈R,|x|+1≥1.
（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．
（2） x∈R，总有|x|≥0，因而|x|+1≥1，所以，全称量词命题
“ x∈R,|x|+1≥1”是真命题；
解：（1）2是素数，但2不是奇数．所以，全称量词命题“所有的素数是
奇数”是假命题；
例1 判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2） x∈R,|x|+1≥1.
（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．
（3） 是无理数，但 =2为有理数，所以，全称量词命题“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
判断全称量词命题真假的方法：
如果对集合M中每一个x,p(x)都成立，那么“ x∈M,p(x)”为真命题；
总结归纳
如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)不成立，那么“ x∈M,p(x)”为假命题.
判断下列全称量词命题的真假：
①任何实数都有算术平方根；
练一练
② x∈{y|y是无理数},x3是无理数.
-4是实数，但是-4没有算术平方根，所以命题为假；
是无理数，但 是有理数，所以命题为假.
思考：下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
（1）2x+1=3； （2）x能被2和3整除；
（3）存在一个x∈R,使2x+1=3；
（4）至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
知识点2：存在量词与存在量词命题
关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
是
是
不是
不是
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词.
概念生成
表示：用符号“ ”表示
含有存在量词的命题，叫存在量词命题.
常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”“有的”、“对部分”等.
例如，命题 “有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题．
存在量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为
“至少有一个x∈Z，x能被2和3整除”可记为“ x∈Z，x能被2和3整除”
x∈M，p(x)
例2 判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形．
（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题.
解：（1）由于 =22-4×3=﹣8＜0,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在；所以,存在量词命题(1)是假命题.
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．
例2 判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形．
判断存在量词命题真假的方法：
如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)成立，那么“ x∈M,p(x)”为真命题；
总结归纳
如果对集合M中每一个x,p(x)都不成立，那么“ x∈M,p(x)”为假命题.
判断下列存在量词命题的真假：
①存在一个四边形的内角和是180°；
练一练
②存在一个无理数x,x2是有理数.
所有四边形内角和为360°，所以命题为假；
因为 是无理数，但 是有理数，所以命题为真.
根据今天所学，回答下列问题：
（1）什么是全称量词和存在量词，用符号怎么表示？
（2）怎么判断全称量词命题和存在量词命题的真假？