(共52张PPT)
5．1.1 数列的概念
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 数列的概念及一般形式
每一个数
第一位
{an}
状元随笔 数列的项与项数一样吗？
[提示] 不一样．
知识点二 数列的分类
类别 含义
按项的 个数 有穷数列 项数________的数列
无穷数列 项数________的数列
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
常数列 各项都_____的数列
摆动数列 从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
大于
知识点三 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与________之间的关系可以用一个式子________来表示，那么这个________叫做这个数列的通项公式．
状元随笔 数列一定有通项公式吗？
[提示] 不一定．
n
an＝f(n)
式子
知识点四 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量________________________时对应的一列函数值
表示方法 (1)通项公式(解析法)；
(2)_____法；
(3)_____法
从小到大依次取正整数值
列表
图象
状元随笔 数列所对应的图象是连续的吗？
[提示] 不连续．
基 础 自 测
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
解析：设是数列中的第n项，则＝，解得n＝4或n＝－5.∵－5 N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4.
答案：A
2．下列说法中正确的是( )
A．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8}
B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同数列
C．所有数列的通项公式都只有一个
D．数列可以看做是一种特殊的函数
解析：数列2，4，6，8不能表示为集合{2，4，6，8}，因为数列有顺序，集合的元素没有顺序，故A错误；由于数列的项与顺序有关系，因此数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是不同的数列，故B错误；数列的通项公式不一定唯一，可能有多种形式，故C错误；数列可以看做是一个定义域为正整数集N*或其子集上的函数，因此D正确．故选D.
答案：D
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1
C．，0，，0 D．2，0，2，0
解析：当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
答案：A
4．下列说法正确的是________(填序号)．
①{0，1，2，3，4，5}是有穷数列；
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；
③数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列．
解析：因为{0，1，2，3，4，5}是集合，而不是数列，所以①错误；②正确；数列1，2，3，4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误．
答案：②
课堂探究·素养提升
数列的概念及分类
例1 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．在某数列中，若首项为3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，4与数列2，1，3，4为同一数列
D．数列中的项不能是三角形
【解析】 由数列的相关概念可知，数列4，7，3，4的首项是4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；两者顺序不同，所以不是同一数列，故C错误；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．
【答案】 AD
(2)已知下列数列：
①2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023；
②1，，…，，…；
③1，－，…，，…；
④1，0，－1，…，sin ，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，
递增数列是________，递减数列是________，
常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
【解析】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
①⑥
②③④⑤
①⑤
②
⑥
③④
状元随笔 紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解．
方法归纳
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
跟踪训练1 (1)有下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列；
④数列0，1，0，1，…是常数列．
其中说法正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，…是无穷数列；④说法错误，由常数列的定义，可知0，1，0，1，…不是常数列．故选A.
答案：A
(2)下列数列：
①1，2，22，23，…，263；
②1，0.5，0.52，0.53，…；
③0，10，20，30，…，1 000；
④－1，1，－1，1，－1，…；
⑤7，7，7，7，….
其中有穷数列是________，
无穷数列是________，
递增数列是________，
递减数列是________，
摆动数列是________，
常数列是________．(填序号)
①③
②④⑤
①③
②
④
⑤
由数列的前几项求通项公式
例2 (1)写出下列数列的一个通项公式：
①，2，，8，，…；
②9，99，999，9 999，…；
③，…；
④－，－，….
【解析】①数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…，所以，它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
②各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N＋)．
③数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N＋)．
④这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n·(n∈N＋)．
(2)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：在第n个图形中，火柴棒有________根．
【解析】第1个图形中，火柴棒有4根；
第2个图形中，火柴棒有(4＋3)根；
第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝(4＋3×2)根；
第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝(4＋3×3)根；
…
第n个图形中，火柴棒有4＋3(n－1)＝(3n＋1)根．
3n＋1
状元随笔
先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．
方法归纳
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．2.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
跟踪训练2 (1)写出下列数列的一个通项公式：
①0，3，8，15，24，…；
②1，－3，5，－7，9，…；
③1，2，3，4，…；
④1，11，111，1 111，….
解析：(1)①观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)．
②数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
③此数列的整数部分为1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N＋)．
④原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N＋)．
(2)如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．
an＝4n＋2
【解析】我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.
通项公式的应用
例3 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
【解析】 (1)根据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
【解析】 令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
∴n＝7或n＝(舍)．
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.
∵－2 N＋， N＋，
∴68不是该数列的项．
方法归纳
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)写出数列的第4项和第6项；
解析：(1)因为an＝，
所以a4＝＝，a6＝＝.
(2)试问是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
解析：
(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，
解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋，
故将n＝－8舍去，所以是该数列的第5项．
数列的单调性及应用
【思考探究】
已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
例4 已知数列{an}的通项an＝，试判断数列{an}是递增数列还是递减数列？
【解析】 ∵an＝，∴an＋1＝＝.
方法一 an＋1－an＝
＝
＝，
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，
∴数列为递增数列．
方法二 ∵n∈N＋，∴an>0.
∵＝＝＝＝1＋>1，∴an＋1>an，
∴数列为递增数列．
方法三 令f(x)＝(x≥1)，
则f(x)＝＝(1－)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴数列是递增数列．
状元随笔 利用作差法或作商法判断数列{an}的增减性．
方法归纳
判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，由于数列对应的函数图象是离散型的点，故其单调性不同于函数的单调性．
在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．
跟踪训练4 已知数列的通项公式为an＝n2＋2n－5.
(1)写出数列的前三项；
解析：(1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2；
a2＝22＋2×2－5＝3；
a3＝32＋2×3－5＝10.
(2)判断数列{an}的单调性．
解析：
(2)∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
＝2n＋3.
∵n∈N＋，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
数列的最大(小)项的求法
例5 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
【解析】 方法一 ∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1
故a1a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，
即a9＝a10＝.
方法二 设ak是数列{an}的最大项．
则即
整理得得9≤k≤10，所以k＝9或10，
即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝.
方法归纳
求数列的最大(小)项的两种方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．
二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式组即可．
跟踪训练5 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
解析：(1)由n2－5n＋4<0，
解得1∵n∈N＋，∴n＝2，3.∴数列中有两项是负数．
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析： (2)方法一 ∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
方法二 设第n项最小，由
得
解这个不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2，3，∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
教材反思
1．本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的求法．难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式．
2．要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法．
易错点 要注意以下两个易错点：
1．并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．
2．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．(共34张PPT)
第2课时 等差数列的性质
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
2．体会等差数列与一元一次函数的关系．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的________，且A＝.
等差中项
状元随笔 任意两数都有等差中项吗？在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项吗？
[提示] (1)是，任意两个实数都有等差中项，且唯一．
(2)是，利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列．
知识点二 等差数列的性质
(1){an}是等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝________．
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，2as＝ap＋aq.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为________数列．
ap＋aq
和
等差
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为________的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．
d
cd
2d
pd1＋qd2
基 础 自 测
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16 C．20 D．24
解析：在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.
答案：B
2．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A． B．C． D．
解析：因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因为A＋B＋C＝π，所以3B＝π，从而B＝.
答案：B
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
解析：因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.
所以a5＝90，
a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
答案：180
4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.
答案：C
课堂探究·素养提升
等差中项及其应用
例1 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
【解析】 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
方法归纳
三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．
跟踪训练1 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
∴m和n的等差中项为＝3.
等差数列的性质
【思考探究】
1．数列1，2，3，4，5，6，7，8，…是等差数列吗？1，3，5，7，…是等差数列吗？2，4，6，8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？
[提示] 这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列．
2．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？
[提示] 由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.
对于任意等差数列{an}，设其公差为d.
则as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d
＝2a1＋(s＋t－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d，
因s＋t＝p＋q，故as＋at＝ap＋aq对任意等差数列都适用．
3．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n＞k＞0)是否成立？
[提示] 在2的结论中令s＝t，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；s＝t，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
例2 (1)等差数列{an}，若a1＋a17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是( )
A．a2＋a15 B．a2·a15
C．a2＋a9＋a16 D．a2·a9·a16
【解析】因为a1＋a17为一确定常数，又a1＋a17＝a2＋a16＝2a9，所以a2＋a16＋a9＝3a9为一确定常数，故选C.
【答案】 C
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．
【解析】方法一 设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二 ∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.
【答案】 35
方法归纳
1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．
跟踪训练2 (1)在公差为d的等差数列{an}中．已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13.
解析：方法一 化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.
∴4a13＝48.∴a13＝12.
方法二 根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
解析：因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
答案： B
(3)由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
答案： C
等差数列及其应用
例3 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【解析】 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
跟踪训练3 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2024年8月在巴黎举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？
解析：设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为an，则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝1 896为首项，以d＝4为公差的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即an＝4n＋1 892，由an＝2 024，知4n＋1 892＝2 024，所以n＝33.
故2024年举行的奥运会为第33届．
已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．
灵活设元解等差数列
例4 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
【解析】 方法一 设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
方法归纳
1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．
2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
跟踪训练4 三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
解析：设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则 解得.
∴这三个数为4，3，2.
教材反思
1．本节课的重点是等差数列性质的应用．
2．要重点掌握等差数列的如下性质：
(1)在等差数列{an}中，当s≠t时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为as＝at＋(s－t)d.
(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
(3)等差数列{an}中，若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，特别地，若2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq.
3．等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．(共37张PPT)
第1课时 等差数列的前n项和
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
3．体会等差数列前n项和与一元二次函数的关系．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 数列的前n项和的概念
一般地，称___________________为数列{an}的前n项和，
用Sn表示，即Sn＝__________________．
知识点二 等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝________________
Sn＝________________
a1＋a2＋…＋an－1＋an
a1＋a2＋…＋an－1＋an
na1＋d
状元随笔 已知n，an，d能求a1吗？
[提示] 能，a1＝an＋(1－n)d，然后代入公式．
知识点三 等差数列的前n项和公式与函数的关系
因为等差数列前n项和可变为Sn＝n2＋(a1－)n，若d≠0，此公式可看作二次项系数为，一次项系数为(a1－)，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线y＝x2＋(a1－)x上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N＋)．令d＝A，a1－＝B，则Sn＝An2＋Bn(A为常数)，并且有如下结论：数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
知识点四 等差数列前n项和Sn的最值
1．从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
2．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最大值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最小值的n可由不等式组确定．
状元随笔 {an}是等差数列，其前n项和为Sn，{|an|}的前n项和也是Sn吗？
[提示] 不一定．
基 础 自 测
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝( )
A．10 B．12
C．20 D．24
解析：由S10＝＝120，得a1＋a10＝24.
答案：D
2．已知{an}是等差数列，a1＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝( )
A．－ B．－C． D．
解析：S10＝10a1＋d＝70，又a1＝10，所以d＝－.
答案：A
3．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm＝( )
A．2 300 B．2 400
C．2 600 D．2 500
解析：由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2 500.
答案：D
4．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝________．
解析：因为a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋×1
＝＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
等差数列Sn中基本量的计算
例1 在等差数列{an}中．
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d，
∴
解方程组得
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
【解析】∵a6＝10，S5＝5，∴
解方程组得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝＝44.
(3)已知a16＝3，求S31.
【解析】S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93.
方法归纳
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
跟踪训练1 在等差数列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
解析：由题意，得Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
解析：由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解析：由
得
解方程组得或
等差数列的前n项和公式与函数的关系
例2 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列．
【解析】Sn＝2n2＋3n，则当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.又a1＝5适合an＝4n＋1，
∴数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋)．
当n≥2时，an－an－1＝(4n＋1)－[4(n－1)＋1]＝4，
故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列．
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列．
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∴数列{an}的通项公式是an＝
∵a2－a1＝4－1＝3，a3－a2＝6－4＝2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴数列{an}不是等差数列．
方法归纳
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．
(2)在判断{an}是否为等差数列时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，则{an}是等差数列．
②若a1不适合an，则则{an}不是等差数列．
跟踪训练2
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2＋n，则a8＝( )
A．72 B．36
C．18 D．16
解析：由an＝Sn－Sn－1(n≥2，且n∈N＋)，得a8＝S8－S7＝82＋8－72－7＝16.
答案：D
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1.求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否为等差数列．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5.
又当n＝1时，a1＝2不满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝
当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，
但a2－a1＝－3－2＝－5，
所以数列{an}不是等差数列．
等差数列中的最值问题
【思考探究】
已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象．
你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
[提示] Sn＝n2－5n＝(n－)2－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小．
例3 (1)在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
【解析】
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
∴Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a7>0，S11<0，则Sn的最小值为( )
A．S4 B．S5
C．S6 D．S7
【解析】 因为S11＝＝11a6<0，所以a6<0，又a7＝a6＋d>0，所以d>0，所以Sn的最小值为S6.故选C.
【答案】 C
状元随笔
(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．
(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．
(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．
方法归纳
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻找正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
跟踪训练3 (1)已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
①求数列{an}的通项公式；
②当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解析：①由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
②方法一 由①知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二 由①知，a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
(2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n的值．
解析：由Sn＝35n－2n2＝－2(n－)2＋.
当且仅当n＝9时，Sn最大，故n＝9.
(3)(多选)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8.则下列说法正确的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：由S50.又S6＝S7，∴a7＝0，∴d<0.由S7>S8，∴a8<0，因此S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
答案： ABD
教材反思
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，若2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq.(共32张PPT)
第2课时 等比数列的性质
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
2．体会等比数列与指数函数的关系．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 等比中项
(1)前提：三个数x，G，y成等比数列．
(2)结论：________叫做x，y的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝________．
G
xy
状元随笔 任意两数都有等比中项吗？
[提示] 不是，只有同号的两数才有．
知识点二 “子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为________，首项为________，公比为________；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为________，首项为________，公比为________．
等比数列
ak＋1
q
等比数列
ak
qk
知识点三 等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝________．
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap·aq＝________．
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的________，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
ap·aq
积
知识点四 两个等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为________．
等比数列
基 础 自 测
1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5＝( )
A．± B．－
C． D．±
解析：在等比数列中＝a1·a5，所以a5＝＝.
答案：C
2．已知数列{an}是等比数列，且a3a5a7a9a11＝243，则a7＝________；若公比q＝，则a4＝________．
解析：{an}是等比数列，故a3a5a7a9a11＝＝243，故a7＝3，a4＝＝81.
3
81
3．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为________．
解析：a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为±＝±4.
答案：±4
4．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________．
解析：只有非零常数列才满足题意，所以公比q＝1.
答案：1
课堂探究·素养提升
等比中项的应用
例1 已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．
【解析】 由题意知b2＝＝，∴b＝±.当b＝时，ab＝，解得a＝；
bc＝＝，解得c＝.
同理，当b＝－时，a＝－，c＝－.
综上所述，a，b，c的值分别为或－，－，－.
方法归纳
由等比中项的定义可知：＝ G2＝xy G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝xy，则＝，即x，G，y成等比数列．所以x，G，y成等比数列 G2＝xy(xy≠0)．
跟踪训练1 若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为( )
A．± B．C．1 D．±1
解析：∵1，a，3成等差数列，∴a＝＝2，
∵1，b，4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴＝＝±1.
答案：D
等比数列性质的应用
例2 已知数列{an}为等比数列．
(1)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
【解析】 由于＝＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，
∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.
【答案】 B
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
【解析】＝a1a3代入已知，得＝8，∴a2＝2.
设前三项为，2，2q，则有＋2＋2q＝7.
整理，得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝.
∴或∴an＝2n－1或an＝23－n.
(3)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求的值．
【解析】∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
方法归纳
在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦．通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．
跟踪训练2 (1)下列结论错误的是( )
A．有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积
B．当q>1时，{an}为递增数列
C．当q＝1时，{an}为常数列
D．当a1>0，q>1时，{an}为递增数列
解析：数列－2，－4，－8，－16，…其公比q＝2>1，但是一个递减数列，∴B选项错．
答案：B
(2)在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
解析：因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或.
当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
解析：根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95＝310，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝log3310＝10.
灵活设项求解等比数列
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
【解析】 方法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
方法归纳
合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
跟踪训练3 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
解析：设三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴这三个数为4，8，16或16，8，4.
等差、等比数列性质的综合应用
例4 设数列{an}是公比大于1的等比数列，已知a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
【解析】由已知得
解得a2＝2.设数列{an}的公比为q.
由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.
又a1＋a2＋a3＝7，可知＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
由题意知q>1，所以q＝2，所以a1＝1.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)令bn＝ln a3n＋1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】已知bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，….
由(1)得a3n＋1＝23n，所以bn＝ln 23n＝3n ln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，所以{bn}是等差数列．
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝ln 2.
故Tn＝ln 2.
方法归纳
应用等差、等比数列的定义解题永远是最基本的方法，
(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．
(2)方程思想的应用往往是破题的关键．
跟踪训练4 设数列{an}是公差d≠0的等差数列，且恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求数列{kn}的通项公式．
解析：由题意，得a1，a5，a17成等比数列，所以(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)．
又d≠0，所以a1＝2d，所以的公比q＝＝＝＝3.
在等差数列中＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d.在等比数列中＝a1qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，所以(kn＋1)·d＝2d·3n－1，即kn＝2·3n－1－1.
教材反思
1．本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性质的推导．
2．要重点掌握等比数列的常用性质：
(1)如果s＋t＝p＋q，则有asat＝apaq；
(2)如果2s＝＝ap·aq；
(3)若s，t，p成等差数列，as，at，ap成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…(共35张PPT)
第1课时 等比数列的前n项和
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 等比数列的前n项和公式
na1
na1
状元随笔 等比数列求和应注意什么？
[提示] 公比q是否等于1.
知识点二 等比数列前n项和公式的函数特征
(1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是关于n的指数型函数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
基 础 自 测
1．求下列等比数列前8项的和：
(1)，…；
解析：因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
解析：由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
2．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为( )
A．10 B． C．11 D．12
解析：设公比为q(q∈Z)，则a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，求解可得q＝－2，a1＝1，则{an}的前5项和为＝11.
答案：C
3．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( )
A．3 B．4 C． D．
解析：易知等比数列{an}的首项为a1，则＝＝.
答案：C
4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
答案：80
课堂探究·素养提升
等比数列前n项和公式基本量的运算
例1 在等比数列{an}中．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
【解析】方法一 设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
方法二 ∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
【解析】设公比为q，由通项公式及已知条件得即
∵a1≠0，1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×＝1，
S5＝＝＝.
(3)在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________．
【解析】∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，
∴q＝3或－4.
【答案】 3或－4
方法归纳
1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．
2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．
跟踪训练1 在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
解析：由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
解析：设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，
所以
①÷②得＝，
解得q＝±2，
所以或.
所以an＝或an＝.
等比数列前n项和公式的函数特征应用
例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数，n∈N*)，则数列{an}( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．是等差数列或等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴＝a，∴数列{an}是等比数列．
【答案】B
(2)若将(1)题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k(n∈N*)，则实数k＝________．
【解析】∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝.
【答案】
方法归纳
(1)已知Sn，通过an＝ 求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
跟踪训练2 (1)设数列{an}的前n项和Sn＝4×3n－1－1(n∈N*)，则通项an＝________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝4－1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4×3n－1－1－4×3n－2＋1＝8×3n－2.∴an＝
答案：
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝－(n∈N*)，则x＝( )
A． B．－ C． D．－
解析：方法一 ∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝，故选C.
方法二 当n＝1时，a1＝S1＝x－；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－，解得x＝.
答案：C
等比数列前n项和的灵活应用
考向一 等比数列的连续n项之和的性质
例3 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解析】 方法一 ∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③
③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64(1－)＝63.
方法归纳
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练3 设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝( )
A．32 B．64 C．72 D．216
解析：由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
答案：B
方法归纳
(1)在等比数列{an}中若项数为偶数，则有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇．
(2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想．
考向二 等比数列的奇数项、偶数项之和的性质
例4 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
【解析】 设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝·q3＝64，即a1＝12.
故所求通项公式为an＝12×()n－1，n∈N＋.
跟踪训练4 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
解析：方法一 设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋)．
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，∴＝85，4n＝256，∴n＝4.
故公比为2，项数为8.
等比数列前n项和的实际应用
例5 小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)
【解析】 方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈883.5(元)．
故小华每期付款金额约为883.5元．
方法归纳
(1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题；
(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解．
跟踪训练5 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
解析：用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，
由题意，得an＋1＝an；
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×[1－]<125，
即这个热气球上升的高度不可能超过125 m．
教材反思
1．本节课的重点是等比数列前n项和公式的基本运算．
2．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
3．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
4．注意等比数列前n项和公式的灵活运用．
5．了解等比数列前n项和公式的函数特征．(共29张PPT)
5．4 数列的应用
在数列的教学中，应引导学生通过具体实例(如购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等)，理解等差数列、等比数列的概念、性质和应用；引导学生掌握数列中各个量之间的基本关系；能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
1.分期还款与数列
等额本金还款法是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率，即每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．
2．等额本息还款法是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还．若贷款时的资金为A0元，每一期所还钱数为x元，则x＝.其中r为年利率．
状元随笔
(1)解决数列的实际应用问题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，转化为数学问题解决．
(2)价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模，从而归纳转化为数列问题去解决．
3．政府支出的“乘数”效应与数列
政府支出的“乘数”效应问题，经济学家凯恩斯认为，政府支出的增加会引起国民收入成倍数的增加，这就是政府支出的“乘数”效应．
状元随笔 政府支出的“乘数”效应有关概念的理解
(1)“乘数”效应
①“乘数”效应是一种宏观的经济效应，是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度．
②财政政策乘数是研究财政收支变化对国民经济的影响，其中包括财政支出乘数、税收乘数和平衡预算乘数．
(2)政府支出
政府的财政支出(包括政府消费支出和政府投资支出)是一种与居民投资十分类似的高效能支出．政府在商品与服务上的一项采购，将会引发一系列的再支出．因此任何一届政府在选择经济政策时，究竟是采取扩张性政策还是紧缩性政策，在采取行动前必须知道实际的乘数究竟有多大，否则将会对国民经济造成极大的伤害．
基 础 自 测
1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )
A．6里 B．12里 C．24里 D．48里
解析：记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故选B.
答案：B
2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )
A．钱 B．钱
C．钱 D．钱
答案：B
解析：设所成等差数列的首项为a1，公差为d，则依题意，有 解得则甲所得为钱．
3．自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还________元；如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其每年还款约________元．(1.0510≈1.628 89)
解析：如果采用“等额本金还款法”，第二年应还20 000＋(200 000－20 000)×5%＝29 000(元)．如果采用“等额本息还款法”每年应还≈25 901(元)．
29 000
25 901
4．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为________________．
[(1＋r)18－(1＋r)]
解析：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)17，
同理，孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)16，
孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)15，
……
孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)，
可以看成是以a(1＋r)为首项，(1＋r)为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数
S＝a(1＋r)17＋a(1＋r)16＋…＋a(1＋r)
＝＝[(1＋r)18－(1＋r)].
课堂探究·素养提升
贷款还款与数列
例1 某人年初向银行贷款10万元用于购房．
(1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
【解析】设每年还款x元，依题意得
x＋x(1＋5%)＋x(1＋2×5%)＋…＋x(1＋9×5%)＝100 000×(1＋10×5%)，
∴x＝≈12 245(元)．
(2)如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到1元，1.0410≈1.480 2)
【解析】设每年还款x元，依题意得
x＋x(1＋4%)＋x(1＋4%)2＋…＋x(1＋4%)9＝100 000(1＋4%)10，
即105×1.0410＝×x，x≈＝12 330(元)．
方法归纳
解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，(1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式；(2)中的利率是复利(即利滚利)，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的原因是付款形式不同．
跟踪训练1 某职工年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金)，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(1.110≈2.593 7)
解析：设贷款数额为a0元，贷款年利率为α，每年等额归还x元，第n年还清，则
一年后的欠款数为a1＝(1＋α)a0－x，
二年后的欠款数为a2＝(1＋α)a1－x＝(1＋α)2a0－x[(1＋α)＋1]，
三年后的欠款数为a3＝(1＋α)a2－x＝(1＋α)3a0－x[(1＋α)2＋(1＋α)＋1]，
……，
n年后的欠款数为an＝(1＋α)an－1－x＝(1＋α)na0－x[(1＋α)n－1＋(1＋α)n－2＋…＋(1＋α)＋1]，
由于an＝0，贷款还清，
∴(1＋α)na0＝x·，
∴x＝.
将α＝0.1，a0＝20 000，n＝10代入，得
x＝≈≈3 255(元)．
∴每年还款3 255元．
政府支出的“乘数”效应与数列
例2 2019年某市政府投资8千万元启动乡村旅游项目．规划从2020年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的时间里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记2019年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N＋)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利．
(1)试求f(n)的表达式．
【解析】由题意知，第1年至此后第n(n∈N＋)年的累计投入为8＋2(n－1)＝(2n＋6)(千万元)．
第1年至此后第n(n∈N＋)年的累计净收入为
＋＋…＋
＝＝－1(千万元)，
则f(n)＝－1－(2n＋6)＝－2n－7.
(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
【解析】该项目将从2026年开始并持续赢利．理由：
f(n＋1)－f(n)＝[－2(n＋1)－7]－[－2n－7]＝－4]，
当n≤3时，f(n＋1)－f(n)<0，故当n≤3时，f(n)递减；
当n≥4时，f(n＋1)－f(n)>0，故当n≥4时，f(n)递增．
又f(1)＝－<0，f(7)＝－21≈－3.9<0，
f(8)＝－23≈2.6>0，
所以该项目将从第8年即2026年开始并持续赢利．
跟踪训练2 假设政府增加某项支出200亿元，每个受惠的居民会将60%的额外收入用于国内消费，则经过20轮影响之后，最后的国内消费总额为________亿元．(最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1亿元，0.621≈0.000 022，0.620≈0.000 037)
解析：根据题意可知，经过20轮影响之后，最后的国内消费总额为200＋200×60%＋200×(60%)2＋…＋200×(60%)20＝≈500(亿元)．
500
数列递推公式的实际应用
例3 某企业投资1千万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg 2＝0.3)
【解析】 设经过n年后，该项目的资金为an万元．
由题，an＝an－1(1＋25%)－200(n≥2)，
整理可得an－800＝(an－1－800)，
即{an－800}成一个等比数列，a1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050，a1－800＝250，
∴an－800＝250，an＝250＋800，
令an≥4 000，得≥16，解得n≥12，
即至少要过12年才能达到或超过翻两番的目标．
方法归纳
理解题意，建立数列中an与an＋1或an与an－1之间的关系，构造数列，确定数列的通项公式求解．
跟踪训练3 某城市2010年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解析：设每年新增汽车为b万辆，该城市第n年末的汽车保有量为an，则容易得到an和an－1的递推关系：an＝(1－6%)an－1＋b＝0.94an－1＋b(n≥2)，
即an－b＝0.94(an－1－b)．
∴{an－b}是以0.94为公比，以30－b为首项的等比数列．
∴an－b＝(30－b)·0.94n－1，
即an＝b＋(30－b)·0.94n－1.
(1)当30－b≥0，即b≤1.8时，an≤an－1≤…≤a1＝30.
(2)当30－b<0，即b>1.8时，an趋近于b，
并且数列{an}为递增数列，可以任意接近b，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，
即an≤60(n＝1，2，3，…)，则b≤60，即b≤3.6.
综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆．
教材反思
1．本节课的重点是应用数列知识解决实际问题，难点是如何化实际问题为数学问题，转化的关键是明确题设信息，利用递推关系式与方程思想建立等量关系．
2．明确分期付款中的2种常见方式
等额本金还款法和等额本息还款法，前者为等差数列模型，后者为等比数列模型．
3．以数列知识为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地解决此类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系．