(共55张PPT)
1．1.1 空间向量及其运算
[课标解读] 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 空间向量的概念
1．在空间中，把具有________和________的量叫做空间向量，向量a的有向线段的长度叫做向量的________或________．空间向量也用有向线段表示，有向线段的________表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||.
大小
方向
模
长度
长度
2．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 起点与终点重合的向量叫做________，记为0
单位向量 ________的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度________而方向________的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量 方向________且模________的向量称为相等向量，________且________的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量或平行向量 有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线________________，则这些向量叫做________或________
零向量
模为1
相等
相反
相同
相等
同向
等长
互相平行或重合
共线向量
平行向量
状元随笔 平面向量的有关概念和约定，能否将它们从平面推广到空间？
[提示] 只要去掉“在平面内”的限定，平面向量的概念与约定都可以原封不动地推广到空间中．
知识点二 空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
空间向量的运算 加法
减法 数乘
加法与数乘运算律 (1)加法交换律：a＋b＝b＋a； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
状元随笔 空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？
[提示] 完全一致．凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们．
知识点三 空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝90°，那么向量a，b________，记作________．
非零
∠AOB
〈a，b〉
[0，π]
互相垂直
a⊥b
知识点四 两个向量的数量积
1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.
2．数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝________
交换律 a·b＝________
分配律 (a＋b)·c＝________
λ(a·b)
b·a
a·c＋b·c
知识点五 两个向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b ________
③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝________
④|a·b|≤|a|·|b|
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
基础自测
1.下列命题中，假命题是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相反向量的和为零向量
C．只有零向量的模等于0
D．空间中任意两个单位向量必相等
答案：D
解析：大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．
2．等边△ABC中，与的夹角是________，与的夹角是________．
3．在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与是________向量，向量与是________向量．
120°
60°
相等
相反
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
120°
解析：∵cos 〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
课堂探究·素养提升
题型1 空间向量的概念及简单应用
例1 下列说法中正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＝
答案：B
解析：|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＝，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．
方法归纳
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
跟踪训练1 (1)给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝；
③若向量a与向量b的模相等，则a＝b.
其中正确命题的序号是________．
①②
解析：①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b不一定相等．
综上可知，正确命题为①②.
(2)下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为 ( )
A．①②③ B．④ C．③④ D．①④
答案：B
解析：对于①：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②：向量是不能比较大小的，故不正确；对于③：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．
题型2 空间向量的加、减法运算
【思考探究】 向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角形法则有什么特点？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法．
(2)若两个空间向量的始点相同，则这两个向量即为平面向量．求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点，因此为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量．
例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)；
解析：＝＝＝.
例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(2).
解析：＝()＋＝＝.
向量、如图所示．
状元随笔 一般地，起点相同三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
[提示] 起点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始点的对角线所示向量，也称平行六面体法则．
方法归纳
(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＝
(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，＝0.
(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b)．
(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律．
(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a＋b)＋c＝()＋＝＝，a＋(b＋c)＝＋()＝＝，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
跟踪训练2 (1)(变结论)利用本例图，化简.
解析：结合加法运算
＝＝＝0.
故＝0.
(2)(变结论)利用本例图，求证：＝2.
解析： 证明：长方体的六个面均为平行四边形．
∵＝＝＝，
∴＝()＋()＋()＝2()．
又∵＝＝，
∴＝＝＝.
∴＝2.
题型3 空间向量的夹角
例3
如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角：
(1)与；(2)与；
(3)与；(4)与；
解析：由于与的方向相同，所以〉＝〈〉＝45°.
〉＝〈〉＝135°.
〉＝〈〉＝90°.
〉＝〈〉＝180°.
状元随笔 空间两个向量夹角定义的要点是什么？
[提示] 任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．
方法归纳
(1)空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π].
(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．
(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
跟踪训练3
如图所示，在正六边形ABCDEF中，求下列各对向量的夹角：
(1)与；(2)与；
(3)与；(4)与；
(5)与；(6)与.
答案：(1)60° (2)120° (3)180° (4)120° (5)60° (6)120°
题型4 数量积运算
例4
如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)·；
解析：正四面体的棱长为1，则||＝||＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：
·＝||||cos〈〉
＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
题型4 数量积运算
例4
如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(2)·；
解析：由于E，F分别是OA，OC的中点，
所以EF綊AC，
于是·＝||||cos〈〉
＝||·||cos〈〉
＝×1×1×cos〈〉
＝×1×1×cos 120°＝－.
题型4 数量积运算
例4
如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(3)()·()．
解析：()·()
＝()·()
＝()·(－2)
＝＋·－2··－2·
＝1＋－2×＋1－2×＝1.
状元随笔 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．
方法归纳
1．要牢记公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如〈〉＝〈〉＝120°易错写成60°.为避免出错，应结合图形进行计算．
跟踪训练4 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
；
解析：如图，设＝a，＝＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
＝)
＝
＝b·＝|b|2＝42＝16.
跟踪训练4 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
；
解析：＝)
＝)＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
跟踪训练4 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
．
解析： ＝)
＝·()
＝·(b＋a)
＝(－a＋b＋c)·(b＋a)
＝－|a|2＋|b|2＝2.
题型5 利用数量积求夹角、模、解决垂直问题
【思考探究】 空间向量数量积的性质有什么作用？
[提示] (1)向量模的应用：式子|a|＝可以解决有关空间长度问题．
(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得．
(3)两个向量a与b的数量积的几何意义：数量积a·b等于a在b上的投影的数量|a|cos〈a，b〉与b的长度的乘积；要明确向量a在向量b上的投影仍是一个向量，其数量为|a|cos〈a，b〉＝.
(4)数量积的应用：两非零向量a，b，若a·b＝0，则两向量对应的直线相互垂直．
例5 (1)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
解析：＝＝，＝，且·＝·＝·＝0，
·＝－＝－1.
又||＝＝＝.
，〉＝＝＝－.
∵异面直线所成角的范围是，
∴异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
(2)如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长．
解析： ＝，
＝＝＝)＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.
|＝，即对角线AC1的长为.
同理＝＝－)＝－·)＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.
|＝，即对角线BD1的长为.
状元随笔
(1)先求·，再由夹角公式求，〉，并由此确定与所成角的余弦值．
(2)把向量和用已知向量、、表示出来，再用数量积的定义运算．
方法归纳
1．利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法：
2．求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2＝a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求距离．
3．证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
4．证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练5
如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)·；
解析：方法一：因为是长方体，而且AA′＝AD＝2，所以
〈〉＝∠B′BC′＝45°，
||＝AA′＝1，||＝2，
·＝||||cos 45°＝2.
方法二：由图可以看出，在上的投影是，而且||＝AA′＝1.
注意到与的方向相同，所以·＝||＝2.
跟踪训练5
如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(2)·.
解析：由图可以看出，在上的投影是，而且||＝AA′＝1，
注意到与的方向相反，所以·等于的长的相反数，即·＝－||＝－2.
易错点 本节课的易错点是零向量的概念的应用，以及向量夹角的概念．
(1)空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样．即[0，π].
(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．(共32张PPT)
1．1.2 空间向量基本定理
[课标解读] 1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 共线向量定理与共面向量定理
1．共线向量定理
如果a≠0且b∥a，则________________，使b＝λa.
2．向量共面的条件
①向量a平行于平面α的定义
已知向量a，作＝a，如果a的基线OA________________________，则就说向量a平行于平面α，记作________．
②共面向量的定义
平行于________的向量，叫做共面向量．
③共面向量定理
如果两个向量a，b________，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，____________________，使________．
存在唯一的实数λ
平行于平面α或在α内
a∥α
同一平面
不共线
存在唯一的一对实数x，y
c＝xa＋yb
知识点二 空间向量基本定理
1．空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，____________________________，使______________．
2．基底
如果三个向量a，b，c__________，则a，b，c的线性组合_____________能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个__________，记作__________，其中a，b，c都叫做________．表达式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的_________或________．
不共面
存在唯一的有序实数组(x，y，z)
p＝xa＋yb＋zc
不共面
xa＋yb＋zc
基底
{a，b，c}
基向量
线性表达式
线性组合
基础自测
1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
答案：A
2．给出的下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：只有②为真命题．
3．已知正方体ABCD － A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于( )
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：由条件AF＝EF知，EF＝2AF，
∴AE＝AF＋EF＝3AF，
∴＝＝)
＝)
＝)
＝.
4．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
答案：x＝y＝z＝0
解析：若x≠0，则a＝－b＋c，即a与b，c共面．
由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
课堂探究·素养提升
题型1 向量共线问题
例1
如图所示，在正方体ABCD － A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
证明：设＝a，＝＝c.
∵＝，A1F＝，
∴＝，＝．
∴A1E＝＝b，＝)
＝)
＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.
∴E，F，B三点共线．
方法归纳
判定两向量共线就是寻找x使a＝xb(b≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a＝xb，从而得a∥b.
跟踪训练1
如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且＝＝.利用向量法求证四边形EFGH是梯形．
证明：∵E、H分别是边AB、AD的中点，
∴＝＝，
＝＝＝)＝＝)＝)＝)＝，
∴∥且||＝||≠||，又F不在EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
题型2 共面向量定理及应用
例2 对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．
试证：与、共面．
证明：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，
则＝，
＝ ①
又E、F分别是AB、CD的中点，故有＝－＝－， ②
将②代入①中，两式相加得2＝.
所以＝，即与、共面．
状元随笔
方法归纳
利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．
跟踪训练2 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点M是否与A，B，C三点共面：
(1)＝；
答案：共面
解析：原式可变形为：
＝)＋)，
即＝，
∵A，B，C三点不共线，
∴M在平面ABC内．
(2)＝2.
答案：不共面
解析：原式可变形为：
＝()＋()＝，
于是∥平面ABC.
又∵O 平面ABC，
∴直线OM∥平面ABC.
题型3 空间向量基本定理的应用
【思考探究】
1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？
[提示] 不唯一，不共面．
2．怎样理解空间向量基本定理？
[提示] (1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．
(3)拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．
例3 (1)
如图，在三棱柱ABC － A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量.
解析：＝＝
＝)＝)
＝b＋a＋(c－b)
＝b＋a＋c－b
＝a＋b＋c.
＝
＝
＝a＋b＋)
＝a＋b＋(c－b)
＝a＋b＋c.
(2)
如图所示，已知直三棱柱ABC － A1B1C1中，D为A1C1的中点，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝CC1＝1，求·.
解析：由题意可知，||＝2，||＝|＝1，
〈〉＝60°，
，〉＝，〉＝90°，
所以·＝2×1×cos 60°＝1，
·＝·＝0.
又因为＝＝，
＝＋＝＝＋
＝＋)，
所以·＝
＝·
＝－×4＋×1＋1＝－.
状元随笔 借助图形寻找所求向量与，，的关系，利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．
方法归纳
用基底表示向量的步骤
1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
跟踪训练3 (1)已知平行六面体ABCD － A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各题中x，y的值：
①＝x()；
②＝＋x＋y.
解析：①由空间向量加法的多边形法则(平行六面体法则)，得＝.又＝x()且不共面，由空间向量基本定理，得x＝1.
②＝＝＝)．
又＝＋x＋y，故由空间向量基本定理，得x＝y＝.
(2)已知直三棱柱ABC － A1B1C1中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝CC1＝1，求．
解析：取基底向量}
＝＝＋，
由条件知·＝＝0，
·＝||·||cos 60°＝1，
＝1，
＝＋)＝－·＝0.
易错点 本节课的易错点一是判定两向量共线，就是寻找x使a＝xb(b≠0)成立，从而得a∥b，注意b≠0.二是空间向量基本定理中基底为非零向量．(共43张PPT)
1．1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
[课标解读] 1.在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间距离公式．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 空间中向量的坐标
(1)一般的，如果空间向量的基底{i，j，k}中，i，j，k都是单位向量而且这三个单位向量互相垂直，就称这个基底叫做________________．单位向量i，j，k都叫做________．在单位正交基底{i，j，k}下向量的分解称为向量的单位正交分解．
(2)空间向量的坐标
已知任一向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的________．上式可简记作a＝__________．
单位正交基底
坐标向量
坐标
(a1，a2，a3)
状元随笔 若＝＋＋，则a→的坐标一定是(x，y，z)吗？
提示：不一定，当，，是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．
知识点二 空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa (λa1，λa2，λa3)
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，
a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|＝________
夹角
知识点四 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
定义 以空间中两两________且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标________，x轴、y轴、z轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做_________，分别称为xOy平面、yOz平面、________平面
画法 在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝________，∠yOz＝90°
图示
说明 本书建立的坐标系都是________直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向________轴的正方向，食指指向________轴的正方向，中指指向________轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
垂直
原点
坐标轴
坐标平面
xOz
135°
右手
x
y
z
2.空间中一点的坐标
空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的____________，y叫做点M的____________，z叫做点M的____________．
横坐标
纵坐标
竖坐标
状元随笔 建立空间直角坐标系Oxyz，如果指定空间中单位向量，，的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{，， }是单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同，即 ＝＋＋ ＝(x，y，z) P(x，y，z)；
反之，如果{，，}为单位正交基底，则任意选定一点作为原点O，并使得x轴、y轴、z轴的正方向分别与，，的方向相同，则可以建立空间直角坐标系，而且其中向量的坐标与P点的坐标仍然相同．
3．空间两点间的距离公式
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0，0，0)的距离|OP|＝___________．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝______________________________．
状元随笔 若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)吗？
[提示] 不一定．A点与原点重合时是，不与原点重合则不是．
基础自测
1.已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：C
解析：∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5.
2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于( )
A. (16，0，4) B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
答案：D
解析：4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)．
3．在空间直角坐标系中，A(－1，2，3)，B(2，1，m)，若|AB|＝，则m的值为________．
答案：－7或13
解析：|AB|＝＝，
∴(3－m)2＝100，3－m＝±10.
∴m＝－7或13.
4．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________．
答案：60°
解析：∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，
∴||＝3，||＝·＝3，
∴cos 〈〉＝＝＝，
∴〈〉＝60°.
课堂探究·素养提升
题型1 空间直角坐标系的建立及坐标表示
例1 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法不正确的是( )
A. 点B1的坐标为(4，5，3)
B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
答案：B
解析：根据题意知：点B1的坐标为(4，5，3)，A正确；B的坐标为(4，5，0)，C1坐标为(0，5，3)，故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，B错误；点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，C正确；点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，D正确．
方法归纳
空间中点P坐标的确定方法
1．由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴，y轴、z轴于点Px、Py、Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．
2．若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
跟踪训练1 如图所示，V-ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
解析：∵底面是边长为2的正方形，
∴|CE|＝|CF|＝1.
∵O点是坐标原点，
∴C(1，1，0)，同样的方法可以确定B(1，－1，0)，A(－1，－1，0)，D(－1，1，0)．
∵V在z轴上，
∴V(0，0，3)．
题型2 空间向量的坐标表示与运算
例2 (1)已知点B(2，－3，1)，向量＝(－3，5，2)，则点A坐标是( )
A．(1，2，3) B．(－1，2，3)
C．(－5，8，1) D．(5，－8，－1)
解析：(1)设点A(x，y，z)，
则向量＝(2－x，－3－y，1－z)＝(－3，5，2)，
所以 ，
所以点A(5，－8，－1)．
答案：D
(2)已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)、(1，3，4)、(0，－1，4)、(2，－1，－2)；若p＝，q＝.求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q)．
解析：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6)．
①p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)；
②3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)；
③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
状元随笔 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
方法归纳
1．用坐标表示空间向量的步骤
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．
跟踪训练2 若a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为( )
A．(4，6，－5) B．5
C．7 D．36
答案：B
解析：b＋c＝(2，0，3)＋(0，2，2)＝(2，2，5)，
a·(b＋c)＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.
题型3 空间向量的平行与垂直
【思考探究】
1．空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？
[提示] (1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．
(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直．
2．空间中三点共线的充要条件是什么？
[提示] 三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件是=.
简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为＝λ，即向量与向量共线，其坐标对应成比例，从而有.
例3 已知a＝(1，－2，4)，b＝(2，1，－3)，c＝(2，x，y)．
(1)若a∥c，求x，y的值；
解析：因为a＝(1，－2，4)的每一个坐标分量均不为零，所以a∥c ＝＝ x＝－4，y＝8.
(2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标，如果不存在，说明理由．
解析：因为c⊥a且c⊥b，所以
所以所以
即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，
此时c＝(2，11，5)．
状元随笔 利用空间向量平行、垂直的充要条件求解．
方法归纳
解决空间向量垂直、平行问题的思路
1．若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)．
2．在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
跟踪训练3 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥.求c；
解析：因为＝(－2，－1，2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.
即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解析：因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)
＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
故所求k的值为2或－.
例4
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1)求证EF⊥B1C；
(2)求FH的长．
解析：
(1)证明：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，易知E(0，0，)，F(，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)，H(0，)．
∵＝(，0)－(0，0，)＝(，－)，
B1C＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)，
∴·B1C＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)＝0，
∴⊥B1C，即EF⊥B1C.
(2)由(1)知F(，0)，H(0，)，
∴＝(－)，
∴||＝ ＝.
状元随笔 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．
方法归纳
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练4
如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．求BN的长．
解析：如图，以}为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.
依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
状元随笔 建立适当的坐标系能给解题带来方便．
易错点 本节课的易错点是点的坐标(a1，a2，a3)的确定是否正确，要格外仔细，它是坐标运算的基础．(共37张PPT)
1．2.1 空间中的点、直线与空间向量
[课标解读] 1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量.2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置
在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有＝ta，上面向量等式叫做空间直线的___________．向量a称为该直线的方向向量．
知识点二 用向量方法证明直线与直线平行
1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合 ________．
2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内 存在两个实数x，y，使v＝________．
3．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合 __________．
向量参数方程
v1∥v2
xv1＋yv2
v1∥β且v2∥β
知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2 ________，cos θ＝__________．
v1⊥v2
cos〈v1，v2〉
基础自测
1.直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3，0，1)，v2＝(－1，0，m)，若l1∥l2，则m等于( )
A．1 B．3
C． D．－
答案：D
解析：因为l1∥l2.所以存在实数λ，使v1＝λv2
即(3，0，1)＝λ(－1，0，m)，
∴，解得m＝－.
2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
答案：B
解析：＝(2，1，2)－(1，0，－1)＝(1，1，3)，故选B.
3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是120°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
答案：C
解析：由异面直线所成角的定义可知，l1与l2所成的角为180°－120°＝60°.
4．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1，1，2)，直线l2的方向向量v2＝(2，0，1)，则直线l1与l2的位置关系是________．
答案：垂直
解析：因为v1·v2＝(－1，1，2)·(2，0，1)＝－2＋2＝0，所以v1⊥v2.
课堂探究·素养提升
题型1 空间中点的位置确定
例1 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．
(1)若＝()，求P点的坐标；
解析：＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)．
＝)＝(2，2，0)＝(1，1，0)．
∴P点的坐标为(1，1，0)．
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．
解析：由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，
知＝.
设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)，
即，得.
因此P点的坐标为()．
状元随笔
(1)由条件先求出，的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标．
(2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算．
方法归纳
此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可．
跟踪训练1
已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2∶1.
求点P和点Q的坐标．
解析：由已知，得＝2，
即＝2()，
＝.
设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得
(x，y，z)＝(2，4，0)＋(1，3，3)，
即x＝＝，y＝＝，
z＝0＋1＝1.
因此，P点的坐标是(，1)．
因为AQ∶QB＝2∶1，
所以＝－2＝－2()，
＝－＋2，
设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，
得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，
即x′＝0，y′＝2，z′＝6.
因此，Q点的坐标是(0，2，6)．
综上，P点的坐标是(，1)，Q点的坐标是(0，2，6)．
题型2 利用向量法求异面直线的夹角
例2 (1)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
解析：以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2，0，2)，N(1，0，0)，M(1，1，0)，B(0，2，2)，∴＝(－1，0，－2)，＝(1，－1，－2)，
∴cos 〈〉＝＝＝＝.
答案：C
状元随笔 建立空间直角坐标系，表示出(BM) ， (AN) 的坐标，利用向量法求解．
(2)已知三棱锥O-ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．
解析：设＝a，＝b，＝c，直线MN与AC所成的角为θ，则＝＝(b＋c)－a＝(b＋c－a)，＝c－a，
所以||2＝(b＋c－a)2
＝(|a|2＋|b2|＋|c|2＋2b·c－2a·b－2a·c)
＝(42＋52＋32＋15－20－0)＝，
||2＝(c－a)2＝|a|2＋|c|2－2a·c＝42＋32－0＝25，
·＝(b＋c－a)·(c－a)
＝(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)
＝＝.
cos θ＝|cos 〈〉|＝＝＝.
所以直线MN与AC所成角的余弦值为.
方法归纳
求两条异面直线所成角的方法：
1．利用向量求异面直线所成角的步骤
(1)确定空间两条直线的方向向量；
(2)求两个向量夹角的余弦值；
(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．利用向量求异面直线所成角可以用基向量法也可以用坐标法．
2．定义法(平移法)：由两条异面直线所成角的定义将求两条异面直线所成角的大小转化为平面角求解．求解的方法是解三角形．
跟踪训练2
如图所示，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值．
解析：
如图，以O为原点，过O点平行于AB、BC的直线为x轴、y轴，PO为z轴建立空间直角坐标系．由已知得
A(－，－，0)，B(，－，0)，
E(－)，F(－，－)，
所以＝()，＝(－)，
所以cos 〈〉＝
＝＝.
所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.
状元随笔 两异面直线夹角范围为(0，]，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键．
题型3 利用空间向量处理直线平行问题
【思考探究】
1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？
[提示] (1)非零性：直线的方向向量是非零向量．
(2)不唯一性：直线l的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．
(3)给定空间中的任一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．
2．两条平行直线的方向向量有什么关系？
[提示] 设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l∥m a∥b a＝λb.
例3 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥AD′.
证明：方法一：基向量法
设＝a，＝b，＝c，
则＝(a＋c)，＝c＋(a＋b)，
所以＝＝(b＋c)．
又因为b＋c＝，所以＝，
所以∥，
因为M不在平面ADD′A′内，所以MN∥AD′.
方法二：坐标法
建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，D′(0，2，2)，M(1，0，1)，N(1，1，2)，
所以＝(0，2，2)，＝(0，1，1)，
所以＝，所以∥，
因为M不在平面ADD′A′内，所以MN∥AD′.
状元随笔 利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．
跟踪训练3
如图所示，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，G，H分别为AD，B1C1的中点．求证EG∥FH.
解析：
如图所示，建立空间直角坐标系．
则E(2，2，1)，G(1，0，0)，F(0，0，1)，H(1，2，2)．
所以＝(－1，－2，－1)，＝(1，2，1)．
所以＝－，所以∥.
显然EG与FH不重合，故EG∥FH.
题型4 利用空间向量处理直线垂直问题
例4 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
求证：(1)AC⊥BC1；
(2)AC1与B1D不平行．
证明：在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D.
(1)因为＝＝(0，－4，4)，所以＝0.所以．所以AC⊥BC1.
(2)因为＝(－3，0，4)，＝，
又≠，所以，不平行，故AC1与B1D不平行．
状元随笔 证明两直线垂直一般转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.
跟踪训练4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点，
证明：
(1)BD1⊥AC；
(2)BD1⊥EB1.
证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1)．
＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)，
所以·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，
所以⊥，所以BD1⊥AC.
＝＝，
所以＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，
所以，所以BD1⊥EB1.
易错点 本节课的易错点是两异面直线夹角范围为(0，]，两平面向量是[0，π]，时刻注意两异面直线夹角的范围是正确解题的关键．(共30张PPT)
1．2.2 空间中的平面与空间向量
[课标解读] 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面、平面与平面垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 平面的法向量及其应用
1．平面的法向量：如果向量n的基线与平面α________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．
2．平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用·n＝0表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式．
3．两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合 _______；α⊥β __________ ____________．
垂直
n1∥n2
n1⊥n2
n1·n2＝0
状元随笔 平面的法向量有何作用？是否唯一？
[提示] 平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的．
知识点二 三垂线定理及其逆定理
1．射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的________l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的________，简称射影．
②图形F上________在平面α内的________所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影．
2．三垂线定理：如果在平面内的________与平面的一条斜线在这个平面内的____________，则它也和这条斜线垂直．
3．三垂线定理的逆定理：如果平面内的________和这个平面的________________，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
垂线
正射影
所有的点
射影
一条直线
射影垂直
一条直线
一条斜线垂直
基础自测
1．直线l的方向向量s＝(－1，1，1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为( )
A．－2 B．－
C． D．±
答案：D
解析：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±.
2．设平面α的法向量的坐标为(1，2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
答案：C
解析：因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4.
3．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为( )
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
答案：C
解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有∴
令z＝1，得x＝－2，y＝1，
∴n＝(－2，1，1)．
4．设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：C
解析：∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.
课堂探究·素养提升
题型1 求平面的法向量
例1
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
解析：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E(0，)，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是＝(0，)，＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
状元随笔 平面的法向量有何特点？
[提示] 设向量是平面α的一个法向量．则：
(1)是一个非零向量．
(2)向量与平面α垂直．
(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量平行，方向相同或相反．
(4)给定空间中任意一点A和非零向量，可确定唯一一个过点A且垂直于向量的平面．
方法归纳
利用待定系数法求法向量的解题步骤
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量n.
解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)．
设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)．
∵＝＝(－1，0，1)，又∵n为平面ACD1的一个法向量，
∴
∴
化简，得
令x＝1，得y＝z＝1.
∴平面ACD1的一个法向量n＝(1，1，1)．
题型2 利用法向量证明空间中的位置关系
例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE；
证明：
以D为原点，向量的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为1.
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E(1，1，)，C1(0，1，1)，M(1，0，)，＝(1，0，0)，＝(1，1，)，＝(1，－1，－)．
设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，
则
令c＝2，得m＝(0，－1，2)，
∵m·＝(0，－1，2)·(1，－1，－)＝0＋1－1＝0，
∴⊥m.
又C1M 平面ADE，
∴C1M∥平面ADE.
题型2 利用法向量证明空间中的位置关系
例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
证明：由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F(0，，0)，
得＝(1，0，0)，＝(0，，－1)，
设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝2，则n＝(0，2，1)．
∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，
∴m⊥n.
∴平面ADE⊥平面A1D1F.
状元随笔 建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．
方法归纳
利用空间向量证明平行、垂直问题的常用思路
线面平行 (1)求出直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，只需证明a⊥u，即a·u＝0.(2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
面面平行 (1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.
线面垂直 求出平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量和它们都垂直．
面面垂直 (1)转化为线面垂直．
(2)求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直．
跟踪训练2 (1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，BQ∥平面PAO
解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)．
再设Q(0，2，c)，所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，
＝＝(－2，－2，2)．
设平面PAO的法向量为n＝(x，y，z)，
则
所以
令x＝1，则y＝1，z＝2.
所以平面PAO的一个法向量为n＝(1，1，2)．
若BQ∥平面PAO，则n⊥BQ，
所以n·＝0，即－2＋2c＝0，所以c＝1，
故当Q为CC1的中点时，BQ∥平面PAO.
(2)本题若把“Q是CC1上的点”改为“Q是CC1的中点”，其他条件不变，求证：平面D1BQ∥平面PAO.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，Q(0，2，1)，
所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，＝＝(－2，－2，2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则，
所以，
令x＝1，则y＝1，z＝2.
所以平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2)．
同理可求平面D1BQ的一个法向量为n2＝(1，1，2)，
因为n1＝n2，所以n1∥n2，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
题型3 三垂线定理及逆定理的应用
例3 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1.
证明：连接AC，CD1，在正方体中，AA1⊥平面ABCD，
所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，
又AC⊥BD，所以BD⊥A1C.
同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影．
所以C1D⊥A1C.
又C1D＝D，
所以A1C⊥平面BDC1.
方法归纳
利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，本题在证明线线垂直时，应用到了三垂线定理及其逆定理．
跟踪训练3 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1中点，求证：AB1⊥A1M.
证明：连接AC1，∵＝＝＝＝，
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∠AC1C＝∠MA1C1，
∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，
∴A1M⊥AC1.
∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴B1C1⊥CC1.
又∵B1C1⊥A1C1，A1C1 ＝C1，
∴B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理知，AB1⊥A1M.
易错点 本节课的易错点是直线的一个方向向量和平面的一个法向量之间关系的公式要牢记．
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则
位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系
l⊥m a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
l⊥α a∥u a＝λu，λ∈R a1＝λμ1，a2＝λμ2，a3＝λμ3
α⊥β u⊥v u·v＝0 u1v1＋u2v2＋u3v3＝0(共37张PPT)
1．2.3 直线与平面的夹角
[课标解读] 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 直线和平面所成的角
90°
0°
射影
状元随笔 直线l的方向向量s→与平面的法向量的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为.
知识点二 最小角定理
cos θ＝cos θ1·cos θ2
射影
最小的角
基础自测
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)．
(1)斜线与平面的夹角的取值范围是.( )
(2)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( )
(3)一条直线与平面α所成的角小于它和平面α内其他直线所成的角．( )
×
×
×
解析：(1)斜线与平面的夹角的取值范围是(0，)．8
解析：直线的方向向量与平面的法向量的夹角可能是钝角．
解析：当直线与平面垂直时不对．
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：A
解析：由cos 〈m，n〉＝－，得〈m，n〉＝120°，
∴直线l与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°.
3．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：以D为原点的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，E(0，1，)，
所以＝(1，1，0)，＝(0，1，)，
易得平面BDE的法向量n＝(1，－1，2)，
而＝(0，－1，1)，
〉＝＝，
〉＝.
∴直线A1B与平面BDE所成角为＝.
4．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为.
课堂探究·素养提升
题型1 用向量求直线与平面所成的角
例1
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别是PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
解析：
如图，设PA＝1，以A为原点，直线AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，M(1，0，)，N(，0，0)，S(1，，0)．
证明：＝(1，－1，)，＝(－，－，0)，
因为·＝－＋0＝0，所以CM⊥SN.
(2)求SN与平面CMN所成的角的大小．
解析：
＝(－，1，0)，
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量．
由a·＝0，且a·＝0，得
，令x＝2，得a＝(2，1，－2)，
∵|cos 〈a，〉|＝＝，
∴SN与平面CMN所成角大小为45°.
状元随笔 建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算的数量积，证明(1)；求出平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求得线面角．
方法归纳
用向量法求线面角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
跟踪训练1
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
所以＝(－1，－1，0)，
＝(0，0，1)，
＝(－1，1，m)，＝(－1，1，0)，
又由·＝0，且＝0，
知为平面BB1D1D的一个法向量，
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ.
则sin θ＝＝＝ .
cos θ＝＝，
依题意＝3，解得m＝，
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
题型2 用定义法解决直线与平面的夹角问题
【思考探究】
1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？
[提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影．
2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？
[提示] (1)若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；
(2)若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；
(3)若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．
例2
如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
解析：证明：因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC 平面PAC，
PA 平面PAC，PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
例2
如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.
(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
解析：取PC的中点E，连接DE.
因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC.
连接AE，DE，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．
因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，
所以BC＝，DE＝，
在直角三角形ABP中，AD＝a，
所以sin∠DAE＝＝＝.
即AD与平面PAC夹角的正弦值为.
状元随笔
(1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直．
(2)作出AD在平面PAC内的射影后，构造三角形求解．
方法归纳
作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”．
跟踪训练2 (1)(改变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D为PB上的一点，且BD＝PB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
解析：由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作DE∥BC，交PC于点E，则DE⊥平面PAC，连接AE，DE，
则∠DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PA＝AB＝1，
因为∠ABC＝60°，
所以BC＝，DE＝＝，PB＝，BD＝.
在△ABD中AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 45°＝，AD＝，所以sin ∠DAE＝＝＝.
即AD与平面PAC夹角的正弦值为.
(2)(改变问法)若本例的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值，结果如何？
解析：由例题(1)知BC⊥平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
过A作AE⊥PC，垂足为点E.
所以AE⊥平面PBC.
连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角．设PA＝AB＝2a，所以PB＝2a.故AD＝a.
在△APC中，AP＝2a，
AC＝AB·sin 60°＝2a×＝a，
所以PC＝＝a，设∠ACP＝θ，
则AE＝AC·sin θ＝AC×
＝a×＝a＝a，
所以sin ∠ADE＝＝＝.
即AD与平面PBC夹角的正弦值为.
题型3 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用
例3 ∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．
解析：方法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a.
又∵BC＝a，
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC为等腰直角三角形．
同理△BOC也为等腰直角三角形．
取BC中点为H，连接AH，OH，
∴AH＝a，OH＝a，AO＝a，
∴AH2＋OH2＝AO2.
∴△AHO为等腰直角三角形．且AH⊥OH.
又∵AH⊥BC，OH＝H，
∴AH⊥平面α.
∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．
在Rt△AOH中，sin ∠AOH＝＝.
∴∠AOH＝45°.
∴OA与平面α所成的角为45°.
方法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线，
作∠BOC的角平分线OH交BC于H.
又OB＝OC＝a，BC＝a，∴∠BOC＝90°.
故∠BOH＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，
得cos ∠AOH＝＝，
∴OA与平面α所成的角为45°.
状元随笔 根据定义或cos θ＝cos θ1·cos θ2求解．
方法归纳
求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．
跟踪训练3
如图所示，四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ.
解析：由题意得∠CBD＝45°，
∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.
∵cos ∠PBC＝cos θ·cos ∠CBD，∠PBC＝60°.
即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝，θ＝45°.
易错点 本节课的易错点是设线面角为θ，则sin θ＝，分子要加绝对值．而且是θ的正弦值．(共43张PPT)
1．2.4 二面角
[课标解读] 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 二面角的概念
1．半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，______________都称为半平面．
2．二面角：从________________________所组成的图形称为二面角，________称为二面角的棱，______________称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作________，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作________．
3．二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上_________，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则________叫做二面角α－l－β的平面角．二面角的大小用它的平面角来度量；二面角的平面角范围为：________．
4．两个相交平面所成角的大小：两个平面相交时它们所成角的大小，指的是它们所成的四个二面角中，不小于零度且不大于90度的角的大小．
其中的每一部分
一条直线出发的两个半平面
这条直线
这两个半平面
α l β
A l B
任取一点O
∠AOB
[0，π]
状元随笔
如何找二面角的平面角？
[提示] (1)定义法
由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．
(2)垂面法
作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．
(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．
知识点二 用向量的夹角度量二面角
设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量．
(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝________．
(2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝________或θ＝__________．
特别的，sin θ＝__________．
〈n1，n2〉
〈n1，n2〉
π－〈n1，n2〉
sin〈n1，n2〉
基础自测
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BC －A的余弦值为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：易知∠A1BA为二面角A1 BC A的平面角，
cos ∠A1BA＝＝.
2．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为( )
A． B．
C．或 D．或
答案：C
解析：当二面角A BD C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；
当二面角A BD C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－＝.
3．(教材例题改编)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小等于________．
答案：90°
解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC为二面角B PA C的平面角，
又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.
4．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
答案：
解析：由题得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为＝(0，0，3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cos θ|＝＝＝.
课堂探究·素养提升
题型1 用定义法求二面角
例1
如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A－VB－C的余弦值．
解析：取VB的中点为E，
连接AE，CE.
∵VA＝VB＝VC＝AB，
∴AE⊥VB，CE⊥VB.
∴∠AEC是二面角A VB C的平面角．
设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：
cos ∠AEC＝＝－，
∴所求二面角A VB C的余弦值为－.
状元随笔 先判断△VAB，△VBC为等边三角形，取VB的中点E，连接AE，CE，再证明∠AEC是二面角的平面角．
方法归纳
用定义求二面角的步骤
1．作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)；
2．证明所作平面角即为所求二面角的平面角；
3．解三角形求角．
跟踪训练1
如图所示，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
解析：证明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交线为AD.
AB 平面ABCD，AB⊥AD.
∴AB⊥平面VAD.
(2)求平面VAD与平面VDB夹角的正切值．
解析：如图，取VD的中点E，连接AE，BE. ∵△VAD是正三角形，
∴AE⊥VD，AE＝AD.
∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.
又由三垂线定理知BE⊥VD.
因此，∠AEB是所求二面角的平面角．
于是tan ∠AEB＝＝，
即平面VAD与平面VDB夹角的正切值为.
题型2 用向量法求二面角
【思考探究】
1．构成二面角的平面角有几个要素？
[提示] (1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．
2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？
条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ 图形
关系 θ＝φ θ＝π－φ
计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ
例2 (1)如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则这个二面角的度数为( )
A．30° B．45°
C. 60° D．120°
解析：设所求二面角的大小为θ，则〈〉＝θ.
因为＝，所以＝()2＝＋＋＋2·＋2·＋2·，
即(2)2＝82＋42＋62－2×8×6·cos θ，
所以cos θ＝.
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
答案：C
(2)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点．
①求证：AC1∥平面B1CM；
②求二面角A－C1M－B1的正弦值．
解析： ①连接BC1，设BC1＝O，连接OM，
因为四边形BCC1B1为矩形，
所以O为BC1的中点，
又因为M为AB的中点，所以OM∥AC1，
因为OM 平面B1CM，AC1 平面B1CM，
所以AC1∥平面B1CM；
②如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．令BC＝1，则A(，0，0)，C1(0，0，)，B1(0，1，)，M(，0).
则＝＝＝(－)．
设平面AMC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)．
由，
取x1＝1，得m＝(1，，1)；
设平面B1C1M的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)．
由，
取x2＝1，得n＝(1，0，)．
设二面角A -C1M-B1的平面角为θ，
则|cos θ|＝＝，
则sin θ＝＝.
即二面角A -C1M -B1的正弦值为.
状元随笔 (1)利用空间向量的数量积及其性质求解．
(2)①连接BC1，设BC1＝O，连接OM，由三角形中位线定理可得OM∥AC1，再由直线与平面平行的判定可得AC1∥平面B1CM；
②以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令BC＝1，求出所用点的坐标，分别求出平面AMC1与平面B1C1M的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A －C1M －B1的正弦值．
注意：利用垂直关系建立空间直角坐标系，确定平面的法向量是关键．用法向量求二面角的余弦值．
方法归纳
1．用定义求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角；
(1)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；
(3)解三角形求角．
2．利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.
(3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cos θ＝.
(4)定值：观察图形，若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC，D是AB的中点．
(1)证明：AC⊥平面AA1B1B；
解析：由直三棱柱ABC-A1B1C1性质知：AA1⊥平面ABC，
因为AC 平面ABC，所以AA1⊥AC，
因为AB⊥AC，AB＝A，AB 平面AA1B1B，AA1 平面AA1B1B，所以AC⊥平面AA1B1B
(2)求二面角C1－B1D－A1的正弦值．
解析：由(1)知AA1，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AA1，AB，AC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2.
则＝＝(2，－1，2)，设平面B1C1D的一个法向量m＝(x，y，z)，
则，
取x＝1，得m＝(1，－2，－2)，
平面A1B1D的一个法向量n＝(0，0，1)，所以cos〈m，n〉＝＝ ＝－，
所以二面角C1-B1D-A1的正弦值为 ＝.
题型3 空间中的翻折与探索性问题
例3 如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB.将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC.
(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝PD，求证：CP∥平面ABEF；
解析：在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，
∴AF＝3.
又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3，
在线段AF上取点Q，使AQ＝QF，连接PQ，QE，
∵AP＝PD，∴PQ綊DF，∵CE綊DF，∴CE綊PQ，
∴四边形ECPQ为平行四边形，∴CP∥EQ，
∵CP 平面ABEF，EQ 平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.
(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．
解析：在梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥EF，∴EF⊥AF，EF⊥FD，∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，AF 平面ABEF，∴AF⊥平面EFDC.
设FA＝x(0＜x＜4)，∵EF＝AB＝2，
∴FD＝6－x，EC＝4－x，∴FC＝，
∵线段FA，FC，FD的长成等比数列，
∴FC2＝FA·FD，即4＋(4－x)2＝x(6－x)，
化简得x2－7x＋10＝0，∴x＝2或x＝5(舍去)．
以点F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则F(0，0，0)，E(2，0，0)，C(2，2，0)，A(0，0，2)，
∴＝(0，2，0)，＝(－2，0，2)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，
则
即
取z1＝1，则x1＝1，y1＝0，
∴平面EAC的一个法向量为n1＝(1，0，1)．
又＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，
则即
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝0，
∴平面ACF的一个法向量为n2＝(1，－1，0)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
∵平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，
∴平面EAC和平面ACF的夹角为60°.
方法归纳
1．与空间角有关的翻折问题的解法
翻折问题：要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．
2．关于空间角的探索问题的处理思路
利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．
跟踪训练3
如图所示，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD.
解析：因为ABCD为矩形，故AB⊥AD；
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
跟踪训练3
如图所示，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．
解析：过点P作PO⊥AD于点O，
则PO⊥平面ABCD，过点O作OM⊥BC于点M，
连接PM.则PM⊥BC，
因为∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，
所以BC＝，PM＝，
设AB＝t，则在Rt△POM中，
PO＝ ，
所以VP－ABCD＝·t··
＝，
所以当t2＝，即t＝时，
VP-ABCD最大为.如图，
此时PO＝AB＝，且PO，OA，OM两两垂直，
以OA，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则P(0，0，)，D(－，0，0)，C(－，0)，B(，0).
所以＝(－，0，－)，＝(－，－)，＝(，－)．
设平面PCD的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，
则
即
令x1＝1，则m＝(1，0，－2)，|m|＝；
同理设平面PBC的一个法向量n＝(x2，y2，z2)，
即
令y2＝1，则n＝(0，1，1)，|n|＝，
设平面PBC与平面DPC夹角为θ，显然θ为锐角，
且cos θ＝＝＝.
易错点 本节课的易错点是二面角的大小θ与其两个半平面的法向量的夹角φ之间的关系：cos θ＝cos φ或者cos θ＝－cos φ具体有何关系要通过观察图形确定二面角的大小θ是锐角还是钝角．(共31张PPT)
1．2.5 空间中的距离
[课标解读] 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 距离的概念
一个图形内的________与另一图形内的________的距离中的________，叫做图形与图形的距离．
任一点
任一点
最小值
知识点二 空间中的距离及求法
名称 概念 求法
两点之间的距离 空间中两个点连线的线段长 求向量的模
点到直线的距离 过直线外一点作直线的一条垂线段的长 求向量的模
点到平面的距离 过平面外一点作平面的一条垂线段的长
线到面的距离 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离 转化为求点到平面的距离状元随笔 线面距、面面距与点面距有什么关系？
面到面的距离(公垂线段长) 当平面与平面平行时，一个平面内的任意一点到另一个平面的距离
[提示]
基础自测
1.在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点M到顶点P的距离是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：A
解析：以P为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|＝＝7.
2．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：∵M点坐标为(2，，3)，∴|MC|＝＝.
3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C． D．
答案：D
解析：＝(－1，－2，4)，d＝＝.
4．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A． B．1
C． D．
答案：D
解析：如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1.∴BB1＝，即点A1到平面ABCD的距离为.
课堂探究·素养提升
题型1 空间中两点间的距离
例1
如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为( )
A．1 B．
C． D．2
答案：B
解析：因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，
∠A1AB＝∠A1AD＝120°，
所以＝，
所以＝)2
＝
＝1＋1＋4＋2×1×2×cos 120°＋2×1×2×cos 120°＝2.
所以线段AC1的长为.
方法归纳
计算两点间的距离的两种方法
1．利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|＝＝ 求解．
2．用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
跟踪训练1
如图所示，在平面角为120°的二面角α-AB-β中，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
又∵二面角α － AB － β的平面角为120°，
∴〈〉＝60°，
∴|CD|2＝||2＝()2
＝＋＋＋2(···)
＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，
∴CD＝12.
题型2 点到直线的距离
【思考探究】
1．如何理解与认识点到直线的距离？
[提示] 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.
(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．
2．如何用向量法求点到直线的距离？
[提示] 设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量在向量s上的射影的大小为|·s0|，则点A到直线l的距离d＝(其中s0＝)．
3．计算点到直线的距离的方法有很多，解题时要根据题意灵活选择方法．
例2 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
解析：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量为＝(－4，3，0)，而＝(0，3，1)，
所以点B到直线A1C1的距离
d＝＝ ＝.
状元随笔 建立坐标系，利用向量法求解．
方法归纳
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
1．不必找点在直线上的垂足以及垂线段；
2．在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；
3．直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性．
跟踪训练2 (改变问法)本例条件不变，所求问题改为：若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到MN的距离．
解析：如本例解法建系(图略)．
则M(2，0，1)，N(2，，0)，C1(0，3，1)，所以直线MN的方向向量为＝＝(－2，3，0)，
所以在上的投影为·＝，
所以C1到MN的距离为
d＝＝＝.
题型3 点到平面的距离
例3
如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．
解析：方法一：设点A到平面A1BD的距离为h，则
VB - AA1D＝×a××a×a＝a3，
VA-A1BD＝×h××(a)2＝a2h，
∵VA-A1BD＝VB－AA1D，
∴h＝a，∴点A到平面A1BD的距离为a.
方法二：如图所示，建立空间直角坐标系B1xyz，则A1(a，0，0)，A(a，0，a)，D(a，a，a)，B(0，0，a)，
则＝(a，a，0)，＝(0，a，a)，＝(－a，0，0)．
设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
即∴
令y＝－1，则x＝z＝1，
∴n＝(1，－1，1)．
∴·n＝(－a，0，0)·(1，－1，1)＝－a.
∴点A到平面A1BD的距离d＝＝＝a.
状元随笔 本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解．
方法归纳
用向量法求点面距的方法与步骤
1．建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；
2．求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；
3．求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；
4．得答案：代入公式d＝求得答案．
跟踪训练3
如图所示，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0，2，0)，S(0，0，2)，D(－1，4，0)，∴＝(0，－2，2)，＝(－1，4，－2)．
设平面SND的法向量为n＝(x，y，1)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴
∴
∴n＝(2，1，1)，∵＝(0，0，2)．
∴点A到平面SND的距离为＝＝.
状元随笔 用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量．
易错点 本节课的易错点是用向量法求点到直线的距离时需注意不是直接找点在直线上的垂足以及垂线段；而是利用直线的方向向量和向量垂直的公式解决问题，但必须保证计算的准确性．
