新人教B版选择性必修第一册2023版高中数学章末质量检测一 第一章 空间向量与立体几何（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教B版选择性必修第一册2023版高中数学章末质量检测一 第一章 空间向量与立体几何（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 385.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-09 16:56:33 | ||
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文档简介
章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下四组向量：①a＝(1，－2，1)，b＝(－1，2，－1)；②a＝(8，4，0)，b＝(2，1，0)；③a＝(1，0，－1)，b＝(－3，0，3)；④a＝(－，1，－1)，b＝(4，－3，3)．其中互相平行的是( )
A．②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④
2．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，c＝(1，4，4)，且a，b，c共面，则λ＝( )
A．1B．－1C．1或2D．±1
3．在四面体O ABC中，点P为棱BC的中点．设＝a，＝b，＝c，那么向量用基底{a，b，c}可表示为( )
A．－a＋b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b＋c D．a＋b＋c
4．正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
5．已知长方体ABCD A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是( )
·
·
6.
在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝＝3，则|等于( )
A．5 B．6
C．4 D．8
7．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A. B．
C． D．1
8．如图所示，在四面体PABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B AP C的余弦值为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝|b|
C．a⊥(5a＋6b) D．a与b夹角的余弦值为－
10．定义空间两个向量的一种运算a?b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，则关于空间向量的上述运算，以下结论恒成立的是( )
A．ab＝ba
B．λ(ab)＝(λa)b
C．(a＋b)c＝(ac)＋(bc)
D．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab＝|x1y2－x2y1|
11．在以下命题中，不正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．对a∥b(b≠0)，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2，则P，A，B，C四点共面
D．|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A．A1C1∥平面CEF B．B1D⊥平面CEF
C．＝－ D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝__________．
14．在空间直角坐标系中，已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)．若a⊥b，则x＝________.
15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{}为基底，则＝________．
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下几个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°.
其中正确的结论的序号是________．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，AB＝2，AA1＝4.
(1)若＝，求x＋y＋z；
(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，写出A1，C，D1，E的坐标，并求异面直线DE与CD1所成角的余弦值．
18．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F AB P的余弦值．
19．(12分)如图，在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求证：AB⊥PE；
(3)求二面角A PB E的大小．
20．(12分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC；②FC与平面ABCD所成的角为；③∠ABC＝.
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中点为F.
(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；
(2)若________，求二面角F－AC－D的余弦值．
21．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F AE P的余弦值；
(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
22．(12分)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，CC1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B CD C1的余弦值；
(3)证明：直线FG与平面BCD相交．
章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
1．解析：因为①a＝(1，－2，1)＝－b＝－(－1，2，－1)，所以a∥b；
②a＝(8，4，0)，b＝(2，1，0)，a＝4b，所以a∥b；
③a＝(1，0，－1)，b＝(－3，0，3)，a＝－b，所以a∥b；
④a＝，b＝(4，－3，3)，a＝－b，
所以a∥b，因此选D.
答案：D
2．解析：向量a，b，c共面，
所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，
所以，解得λ＝1.
答案：A
3．解析：由向量减法的三角形法则可知＝－，因为P为棱BC的中点，由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故B正确．
答案：B
4.
解析：不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).
平面ACD1的法向量为DB1＝(1，1，1)，
又BB1＝(0，0，1)，
则cos〈，〉＝＝＝.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.
答案：D
5．解析：当长方体的侧面AA1D1D与BB1C1C为正方形时，⊥，所以·＝0；当长方体的底面为正方形时，⊥，所以·＝0；由长方体的性质知AB⊥平面AA1D1D，所以⊥，所以·＝0；无论长方体具体何种结构，都不可能有⊥，也就不可能有·＝0，故选D.
答案：D
6．解析：如题图，因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，
且||＝1，||＝2，||＝3，
所以＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋4＋9＋2×1×2×cos60°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝25，
所以|AC1|＝5.
答案：A
7．解析：过点B作BE垂直A1C，垂足为点E，
设点E的坐标为(x，y，z)，
则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，
＝(1，2，－3)，(x，y，z－3)，
＝(x－1，y，z).
因为
所以
解得所以＝，
所以点B到直线A1C的距离||＝.
答案：B
8．解析：
如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.
设AB＝1，
则易得CE＝，EP＝，
PA＝PB＝，可以求得BD＝，
ED＝.
因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，所以·＝－，
所以cos〈，〉＝－，由图知，二面角B AP C的余弦值为.故选C.
答案：C
9．解析：因为2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而≠≠，故A不正确；因为|a|＝，|b|＝5，所以5|a|＝|b|，故B正确；因为a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝0，故C正确；又cos〈a·b〉＝＝－，故D正确．
答案：BCD
10．解析：对于A，ab＝|a|·|b|sin〈a，b〉，
ba＝|b|·|a|sin〈b，a〉，
故ab＝ba恒成立；
对于B，λ(ab)＝λ(|a|·|b|sin〈a，b〉)，
(λa)b＝|λ||a||b|sin〈λa，b〉，故λ(ab)＝|λa|b不会恒成立；
对于C，若a＝λb，且λ≠0，
(a＋b)c＝|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，
(ac)＋(bc)
＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin〈b，c〉
＝(1＋|λ|)|b|·|c|sin〈b，c〉，
因为|1＋λ|与1＋|λ|不恒等，显然(a＋b)c＝(ac)＋(bc)不会恒成立；
对于D，cos〈a，b〉＝，sin〈a，b〉＝
即有ab
＝|a|·|b|·
＝|a|·
＝·
＝
＝
＝|x1y2－x2y1|.
则ab＝|x1y2－x2y1|恒成立，故选AD.
答案：AD
11．解析：由|a|－|b|＝|a＋b|，得a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故A不正确；B正确；因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，C不正确；由向量的数量积的性质知，D不正确．
答案：ACD
12．解析：对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立．
对B，建立如图空间直角坐标系，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则＝(－2，－2，－2)，
＝(0，1，－2).
故·＝0－2＋4＝2≠0.
故，不互相垂直．
又CF属于平面CEF.
故⊥平面CEF不成立．
对C，同B空间直角坐标系有＝(1，－2，2)，
＋－
＝(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2).
故＝＋－成立．
对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等，
则点D与点B1连线的中点O在平面CEF上．
连接AC，AE，易得平面CEF即平面CAEF.
又点D与点B1连线的中点O在平面A1ACC1上，
故点O不在平面CEF上．故D不成立．
答案：AC
13．解析：∵a－2b＝(8，－5，13)，
∴|a－2b|＝＝.
答案：
14．解析：因为a⊥b，所以a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝.
答案：
15．解析：连接AE，则＝－
＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
答案：－－＋
16．解析：如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD的边长为，
则D(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)，
所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，0)，
·＝0，
故AC⊥BD，①正确．
又||＝，||＝，||＝，
所以△ACD为等边三角形，②正确．
对于③，为平面BCD的法向量，
cos〈，〉＝
＝
＝＝－，
因为直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]，
所以AB与平面BCD所成角为45°，故③错误．
又cos〈，＝
＝＝－.
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以AB与CD所成的角为60°，故④正确．
答案：①②④
17．解析：(1)因为在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，
所以＝＋＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
所以x＝y＝1，z＝；
所以x＋y＋z＝1＋1＋＝.
(2)由题意，以及题中坐标系可得：A1(2，0，4)，C(0，2，0)，
D1(0，0，4)，E(2，2，2)，则＝(2，2，2)，＝(0，－2，4)，从而cos〈，〉＝
＝＝，
故异面直线DE与CD1所成角的余弦值为.
18．解析：
依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).
(1)证明：向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，
故·＝0，
所以BE⊥DC.
(2)向量＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2).
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则
即
不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．
于是有cos〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(1，0，0).
由点F在棱PC上，
设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ).
由BF⊥AC，得·＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．
取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0).
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F AB P是锐角，
所以其余弦值为.
19．解析：(1)证明：D，E分别为AB，AC中点，
∴DE∥BC.
又DE 平面PBC，BC 平面PBC，
∴DE∥平面PBC.
(2)证明：连接PD，∵PA＝PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB.
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB.
又PD∩DE＝D，PD 平面PDE，DE 平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE 平面PDE，∴AB⊥PE.
(3)∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊥AB，
∴PD⊥平面ABC.
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
∴B(1，0，0)，P(0，0，)，E，
∴＝(1，0，－)，
＝.
设平面PBE的法向量n1＝(x，y，z)，
∴
令z＝，得n1＝(3，2，).
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量为n2＝(0，1，0).
设二面角A PB E的大小为θ，
由图知，cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，θ＝60°，
∴二面角A PB E的大小为60°.
20．解析：(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG.
证明如下：如图所示：
设PC的中点为H，连接FH，GH，
所以FH∥CD，FH＝CD，
AG∥CD，AG＝CD，
所以FH∥AG，FH＝AG，
所以四边形AGHF为平行四边形，
则AF∥GH，
又GH 平面PGC，AF 平面PGC，
所以AF∥平面PGC.
(2)选择①AB⊥BC：
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，
由题意知AB，AD，AP两两垂直，
以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－2，－1，1)，设平面FAC的一个法向量为μ＝(x，y，z)
所以，
取y＝1，得μ＝(－1，1，－1)，
平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)，
设二面角F－AC－D的平面角为θ，
则cosθ＝＝，
所以二面角F－AC－D的余弦值为.
选择②FC与平面ABCD所成的角为：
因为PA⊥平面ABCD，取BC中点E，
连接AE，
取AD的中点M，连接FM，CM，
则FM∥PA，且FM＝1，
所以FM⊥平面ABCD，
FC与平面ABCD所成角为∠FCM，
所以∠FCM＝，
在Rt△FCM中，CM＝，
又CM＝AE，所以AE2＋BE2＝AB2，
所以BC⊥AE，
所以AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，
所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，
C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，
F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)，
设平面FAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，
取x＝，得m＝(，－3，3)，
平面ACD的一个法向量n＝(0，0，1)，
设二面角F－AC－D的平面角为θ，
则cosθ＝＝.
所以二面角F－AC－D的余弦值为.
选择③∠ABC＝，
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BC，取BC中点E，连接AE，
因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以△ABC是正三角形，因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，
所以AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，
C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，
F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)，
设平面FAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，
取x＝，得m＝(，－3，3)，
平面ACD的一个法向量n＝(0，0，1)，
设二面角F－AC－D的平面角为θ，
则cosθ＝＝，
所以二面角F－AC－D的余弦值为.
21．解析：(1)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD＝A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(2)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
易知：A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，
由＝可得点F的坐标为F，则＝，
由＝可得E(0，1，1)，则＝(0，1，1)，
设平面AEF的法向量为：m＝(x，y，z)，则
据此可得平面AEF的一个法向量为：m＝(1，1，－1)，
很明显平面AEP的一个法向量为n＝(1，0，0)，
cos〈m，n〉＝＝＝，
二面角F AE P的平面角为锐角，故二面角F AE P的余弦值为.
(3)易知P(0，0，2)，B(2，－1，0)，由＝可得G，
则＝，
由(2)知平面AEF的一个法向量为：m＝(1，1，－1)，
又m·＝0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内．
22．解析：(1)在三棱柱ABC A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
∴四边形A1ACC1为矩形．
又E，F分别为AC，A1C1的中点，
∴AC⊥EF.
∵AB＝BC.
∴AC⊥BE，又EF∩BE＝E，EF 平面BEF，BE 平面BEF，
∴AC⊥平面BEF.
(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.
又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
∵BE 平面ABC，∴EF⊥BE.
如图建立空间直角坐标系Exyz.
由题意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1).
∴＝(2，0，1)，＝(1，2，0)，
设平面BCD的法向量为n＝(a，b，c)，
∴，∴，
令a＝2，则b＝－1，c＝－4，
∴平面BCD的法向量n＝(2，－1，－4)，
又∵平面CDC1的法向量为＝(0，2，0)，
∴cos〈n·〉＝＝－.
由图可得二面角B CD C1为钝角，所以二面角B CD C1的余弦值为－.
(3)由(2)知平面BCD的法向量为n＝(2，－1，－4)，
∵G(0，2，1)，F(0，0，2)，
∴＝(0，－2，1)，∴n·＝－2，∴n与不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下四组向量：①a＝(1，－2，1)，b＝(－1，2，－1)；②a＝(8，4，0)，b＝(2，1，0)；③a＝(1，0，－1)，b＝(－3，0，3)；④a＝(－，1，－1)，b＝(4，－3，3)．其中互相平行的是( )
A．②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④
2．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，c＝(1，4，4)，且a，b，c共面，则λ＝( )
A．1B．－1C．1或2D．±1
3．在四面体O ABC中，点P为棱BC的中点．设＝a，＝b，＝c，那么向量用基底{a，b，c}可表示为( )
A．－a＋b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b＋c D．a＋b＋c
4．正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
5．已知长方体ABCD A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是( )
·
·
6.
在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝＝3，则|等于( )
A．5 B．6
C．4 D．8
7．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A. B．
C． D．1
8．如图所示，在四面体PABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B AP C的余弦值为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝|b|
C．a⊥(5a＋6b) D．a与b夹角的余弦值为－
10．定义空间两个向量的一种运算a?b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，则关于空间向量的上述运算，以下结论恒成立的是( )
A．ab＝ba
B．λ(ab)＝(λa)b
C．(a＋b)c＝(ac)＋(bc)
D．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab＝|x1y2－x2y1|
11．在以下命题中，不正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．对a∥b(b≠0)，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2，则P，A，B，C四点共面
D．|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A．A1C1∥平面CEF B．B1D⊥平面CEF
C．＝－ D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝__________．
14．在空间直角坐标系中，已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)．若a⊥b，则x＝________.
15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{}为基底，则＝________．
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下几个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°.
其中正确的结论的序号是________．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，AB＝2，AA1＝4.
(1)若＝，求x＋y＋z；
(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，写出A1，C，D1，E的坐标，并求异面直线DE与CD1所成角的余弦值．
18．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F AB P的余弦值．
19．(12分)如图，在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求证：AB⊥PE；
(3)求二面角A PB E的大小．
20．(12分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC；②FC与平面ABCD所成的角为；③∠ABC＝.
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中点为F.
(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；
(2)若________，求二面角F－AC－D的余弦值．
21．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F AE P的余弦值；
(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
22．(12分)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，CC1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B CD C1的余弦值；
(3)证明：直线FG与平面BCD相交．
章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
1．解析：因为①a＝(1，－2，1)＝－b＝－(－1，2，－1)，所以a∥b；
②a＝(8，4，0)，b＝(2，1，0)，a＝4b，所以a∥b；
③a＝(1，0，－1)，b＝(－3，0，3)，a＝－b，所以a∥b；
④a＝，b＝(4，－3，3)，a＝－b，
所以a∥b，因此选D.
答案：D
2．解析：向量a，b，c共面，
所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，
所以，解得λ＝1.
答案：A
3．解析：由向量减法的三角形法则可知＝－，因为P为棱BC的中点，由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故B正确．
答案：B
4.
解析：不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).
平面ACD1的法向量为DB1＝(1，1，1)，
又BB1＝(0，0，1)，
则cos〈，〉＝＝＝.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.
答案：D
5．解析：当长方体的侧面AA1D1D与BB1C1C为正方形时，⊥，所以·＝0；当长方体的底面为正方形时，⊥，所以·＝0；由长方体的性质知AB⊥平面AA1D1D，所以⊥，所以·＝0；无论长方体具体何种结构，都不可能有⊥，也就不可能有·＝0，故选D.
答案：D
6．解析：如题图，因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，
且||＝1，||＝2，||＝3，
所以＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋4＋9＋2×1×2×cos60°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝25，
所以|AC1|＝5.
答案：A
7．解析：过点B作BE垂直A1C，垂足为点E，
设点E的坐标为(x，y，z)，
则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，
＝(1，2，－3)，(x，y，z－3)，
＝(x－1，y，z).
因为
所以
解得所以＝，
所以点B到直线A1C的距离||＝.
答案：B
8．解析：
如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.
设AB＝1，
则易得CE＝，EP＝，
PA＝PB＝，可以求得BD＝，
ED＝.
因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，所以·＝－，
所以cos〈，〉＝－，由图知，二面角B AP C的余弦值为.故选C.
答案：C
9．解析：因为2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而≠≠，故A不正确；因为|a|＝，|b|＝5，所以5|a|＝|b|，故B正确；因为a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝0，故C正确；又cos〈a·b〉＝＝－，故D正确．
答案：BCD
10．解析：对于A，ab＝|a|·|b|sin〈a，b〉，
ba＝|b|·|a|sin〈b，a〉，
故ab＝ba恒成立；
对于B，λ(ab)＝λ(|a|·|b|sin〈a，b〉)，
(λa)b＝|λ||a||b|sin〈λa，b〉，故λ(ab)＝|λa|b不会恒成立；
对于C，若a＝λb，且λ≠0，
(a＋b)c＝|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，
(ac)＋(bc)
＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin〈b，c〉
＝(1＋|λ|)|b|·|c|sin〈b，c〉，
因为|1＋λ|与1＋|λ|不恒等，显然(a＋b)c＝(ac)＋(bc)不会恒成立；
对于D，cos〈a，b〉＝，sin〈a，b〉＝
即有ab
＝|a|·|b|·
＝|a|·
＝·
＝
＝
＝|x1y2－x2y1|.
则ab＝|x1y2－x2y1|恒成立，故选AD.
答案：AD
11．解析：由|a|－|b|＝|a＋b|，得a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故A不正确；B正确；因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，C不正确；由向量的数量积的性质知，D不正确．
答案：ACD
12．解析：对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立．
对B，建立如图空间直角坐标系，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则＝(－2，－2，－2)，
＝(0，1，－2).
故·＝0－2＋4＝2≠0.
故，不互相垂直．
又CF属于平面CEF.
故⊥平面CEF不成立．
对C，同B空间直角坐标系有＝(1，－2，2)，
＋－
＝(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2).
故＝＋－成立．
对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等，
则点D与点B1连线的中点O在平面CEF上．
连接AC，AE，易得平面CEF即平面CAEF.
又点D与点B1连线的中点O在平面A1ACC1上，
故点O不在平面CEF上．故D不成立．
答案：AC
13．解析：∵a－2b＝(8，－5，13)，
∴|a－2b|＝＝.
答案：
14．解析：因为a⊥b，所以a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝.
答案：
15．解析：连接AE，则＝－
＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
答案：－－＋
16．解析：如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD的边长为，
则D(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)，
所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，0)，
·＝0，
故AC⊥BD，①正确．
又||＝，||＝，||＝，
所以△ACD为等边三角形，②正确．
对于③，为平面BCD的法向量，
cos〈，〉＝
＝
＝＝－，
因为直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]，
所以AB与平面BCD所成角为45°，故③错误．
又cos〈，＝
＝＝－.
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以AB与CD所成的角为60°，故④正确．
答案：①②④
17．解析：(1)因为在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，
所以＝＋＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
所以x＝y＝1，z＝；
所以x＋y＋z＝1＋1＋＝.
(2)由题意，以及题中坐标系可得：A1(2，0，4)，C(0，2，0)，
D1(0，0，4)，E(2，2，2)，则＝(2，2，2)，＝(0，－2，4)，从而cos〈，〉＝
＝＝，
故异面直线DE与CD1所成角的余弦值为.
18．解析：
依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).
(1)证明：向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，
故·＝0，
所以BE⊥DC.
(2)向量＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2).
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则
即
不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．
于是有cos〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(1，0，0).
由点F在棱PC上，
设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ).
由BF⊥AC，得·＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．
取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0).
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F AB P是锐角，
所以其余弦值为.
19．解析：(1)证明：D，E分别为AB，AC中点，
∴DE∥BC.
又DE 平面PBC，BC 平面PBC，
∴DE∥平面PBC.
(2)证明：连接PD，∵PA＝PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB.
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB.
又PD∩DE＝D，PD 平面PDE，DE 平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE 平面PDE，∴AB⊥PE.
(3)∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊥AB，
∴PD⊥平面ABC.
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
∴B(1，0，0)，P(0，0，)，E，
∴＝(1，0，－)，
＝.
设平面PBE的法向量n1＝(x，y，z)，
∴
令z＝，得n1＝(3，2，).
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量为n2＝(0，1，0).
设二面角A PB E的大小为θ，
由图知，cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，θ＝60°，
∴二面角A PB E的大小为60°.
20．解析：(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG.
证明如下：如图所示：
设PC的中点为H，连接FH，GH，
所以FH∥CD，FH＝CD，
AG∥CD，AG＝CD，
所以FH∥AG，FH＝AG，
所以四边形AGHF为平行四边形，
则AF∥GH，
又GH 平面PGC，AF 平面PGC，
所以AF∥平面PGC.
(2)选择①AB⊥BC：
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，
由题意知AB，AD，AP两两垂直，
以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－2，－1，1)，设平面FAC的一个法向量为μ＝(x，y，z)
所以，
取y＝1，得μ＝(－1，1，－1)，
平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)，
设二面角F－AC－D的平面角为θ，
则cosθ＝＝，
所以二面角F－AC－D的余弦值为.
选择②FC与平面ABCD所成的角为：
因为PA⊥平面ABCD，取BC中点E，
连接AE，
取AD的中点M，连接FM，CM，
则FM∥PA，且FM＝1，
所以FM⊥平面ABCD，
FC与平面ABCD所成角为∠FCM，
所以∠FCM＝，
在Rt△FCM中，CM＝，
又CM＝AE，所以AE2＋BE2＝AB2，
所以BC⊥AE，
所以AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，
所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，
C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，
F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)，
设平面FAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，
取x＝，得m＝(，－3，3)，
平面ACD的一个法向量n＝(0，0，1)，
设二面角F－AC－D的平面角为θ，
则cosθ＝＝.
所以二面角F－AC－D的余弦值为.
选择③∠ABC＝，
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BC，取BC中点E，连接AE，
因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以△ABC是正三角形，因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，
所以AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，
C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，
F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)，
设平面FAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，
取x＝，得m＝(，－3，3)，
平面ACD的一个法向量n＝(0，0，1)，
设二面角F－AC－D的平面角为θ，
则cosθ＝＝，
所以二面角F－AC－D的余弦值为.
21．解析：(1)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD＝A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(2)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
易知：A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，
由＝可得点F的坐标为F，则＝，
由＝可得E(0，1，1)，则＝(0，1，1)，
设平面AEF的法向量为：m＝(x，y，z)，则
据此可得平面AEF的一个法向量为：m＝(1，1，－1)，
很明显平面AEP的一个法向量为n＝(1，0，0)，
cos〈m，n〉＝＝＝，
二面角F AE P的平面角为锐角，故二面角F AE P的余弦值为.
(3)易知P(0，0，2)，B(2，－1，0)，由＝可得G，
则＝，
由(2)知平面AEF的一个法向量为：m＝(1，1，－1)，
又m·＝0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内．
22．解析：(1)在三棱柱ABC A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
∴四边形A1ACC1为矩形．
又E，F分别为AC，A1C1的中点，
∴AC⊥EF.
∵AB＝BC.
∴AC⊥BE，又EF∩BE＝E，EF 平面BEF，BE 平面BEF，
∴AC⊥平面BEF.
(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.
又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
∵BE 平面ABC，∴EF⊥BE.
如图建立空间直角坐标系Exyz.
由题意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1).
∴＝(2，0，1)，＝(1，2，0)，
设平面BCD的法向量为n＝(a，b，c)，
∴，∴，
令a＝2，则b＝－1，c＝－4，
∴平面BCD的法向量n＝(2，－1，－4)，
又∵平面CDC1的法向量为＝(0，2，0)，
∴cos〈n·〉＝＝－.
由图可得二面角B CD C1为钝角，所以二面角B CD C1的余弦值为－.
(3)由(2)知平面BCD的法向量为n＝(2，－1，－4)，
∵G(0，2，1)，F(0，0，2)，
∴＝(0，－2，1)，∴n·＝－2，∴n与不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．