等差数列前n项和
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文档简介
等差数列前n项的和
等差数列的前n项和
●教学理念
1.遵循“循序渐进”的教学规律，从特殊的具体的事例归纳得出一般性的规律。
2.遵循“以人为本”的教学理念，以学生为主体。通过数学小故事激发学习兴趣，引导学生积极主动的参与到教学过程中。
3.遵循“学以致用”的教学原则，将所学的数学知识应用到实际问题中，解决现实生活中的问题。
4.遵循“分层教育”的教学方法，因为学生基础差异，层次不一，故在解决练习时，基础差的在集中教育。
●课 题 等差数列的前n项和
●教 材 中职数学必修上册
●课 型 新课讲授
●课 时 一课时 45分钟
●教学目标?
A、知识目标：
掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。
B、能力目标：
（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
C、情感目标：（数学文化价值）
（1）通过公式的运用，树立学生大众教学的思想意识。
（2）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
●教学重点? 等差数列前n项和的公式。?
●教学难点? 等差数列前n项和的公式的灵活运用
●教 具 采用多媒体辅助教学
●教学过程
一. 数学家的故事，引出新课：
德国伟大的数学家高斯神速求和的故事：
小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
例1.计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+......+91+92+93+94+95+96+97+98+99+100
这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？
小组讨论后，让学生自行发言解答。
学生可能答案有（1）：1+100=2+99=3+98=......47+54=48+53=49+52=50+51，
所以可凑成50个101，得到5050。
学生可能答案有（2）：可设S=1+2+3+4+5+......+96+97+98+99+100，根据加法交换律，又可写成 S=100+99+98+97+96+......+5+4+3+2+1。上面两式相加得
2S=（1+100）+......+（100+1）=100×101=10100
所以我们得到S=5050，
即1+2+3+4+5+......+96+97+98+99+100=5050
师：高斯神速计算出1到100所有自然数的和的方法就是上面的方法。
由这一特殊的等差数列求和问题，反问学生这种求和的方法是否能推广到一般等差数列求和的问题。
（通过数学小故事激发学习兴趣，引导学生积极主动的参与到教学过程中。并有这个故事的数学例子，有特殊的求和得到更加一般的等差数列求和）
二、教授新课
（一）等差数列前n项和的算法：（学生尝试推导）
如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项an，根据等差数列的性质，如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导，并请一位学生板演。
推导过程：
Sn= a1+ a2+...... +an-1+ an ① 也可写成
Sn= an+an-1+......+a2+a1 ②
①式+②式得
2Sn = (a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+......+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1) （n组数）
所以2Sn =n(a1+an)
所以 ( I )
师：如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
( II )
上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式。
说明：
公式（I）是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n。
引导学生总结：这些公式中出现了几个量？（a1，d，n，an，Sn），
它们由哪几个关系联系？
[an=a1+(n-1)d，，]；
这些量中有几个可自由变化？（三个）
从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式（I）和（II）的一些应用。
（知三求二）
（二）公式的应用（通过实例演练，获取技能）。
直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）
例2、计算：
（1）1+2+3+......+n
（2）1+3+5+......+99
（3）2+4+6+......+100
并请一位同学回答。
例3. 最新资料显示姚明目前罚球命中率已锁定88％。现在请看姚明刚进NBA时一周训练罚球的个数：
第一天：600， 第二天：650，第三天：700，第四天：750，第五天：800，
第六天：850，第七天：900.求：他一周训练罚球的总个数？
解：由题意可以发现，姚明这周投篮练习的数目成等差数列{ an }，其中
a1=600，d=50，n=7。
所以
答：姚明一周训练罚球的总个数5250。
（该例是知识点的简单应用，又可以告诉同学们姚明的罚球命中率能如此的高，是因为不断训练得到的，只有不断的训练才能获取技能，所以对于学数学也一样，要多做练习。）
例4．已知。
解：因为
所以
所以
（该例是联系等差数列求和公式和等差数列通项公式的题型）
三．练习
P118练习A，B
练习A 1.根据下列各题条件，求相应等差数列{an}的Sn；
该题知三求二的题型，是直接利用公式，比较简单
第二题相对就稍难一点，需要有条件判断出首项，末项，项数，公差等，在利用公式求解。
练习题B较难，选1，3两题做。
（在练习中遵循由易入难，具有一定的梯度。对于个别同学需另集中教育。）
四. 教学小结
1. 等差数列前n项和公式
一般的，已知a1,d求Sn时，我们通常用公式
已知a1,an求Sn时，我们通常用公式
在解决等差数列问题时，求和公式和通项公式是联用的，这两种公式共涉及五个变量（a1，d，n，an，Sn），已知其中任意三个量，都可以求出其他两个变量。
（知三求二）
2.推导等差数列前n项和公式通常用倒序相加法。
3.通过本课的学习，希望能习惯由特殊到一般的思维方式。
五.探索思考(分16组进行讨论)
已知求和公式，请问我们能将公式改为？
若行，需满足什么条件？
六．布置作业
课本119页 3. 4 . 5（3）（4）
课外阅读 数学家高斯的阅历
预习下一节 4.3等比数列
●板书设计
等差数列前n项和公式（一）等差数列前n项和公式：说明： 公式推导：（二）公式的应用例2 例3例1.（例4）思考探索
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等差数列的前n项和
●教学理念
1.遵循“循序渐进”的教学规律，从特殊的具体的事例归纳得出一般性的规律。
2.遵循“以人为本”的教学理念，以学生为主体。通过数学小故事激发学习兴趣，引导学生积极主动的参与到教学过程中。
3.遵循“学以致用”的教学原则，将所学的数学知识应用到实际问题中，解决现实生活中的问题。
4.遵循“分层教育”的教学方法，因为学生基础差异，层次不一，故在解决练习时，基础差的在集中教育。
●课 题 等差数列的前n项和
●教 材 中职数学必修上册
●课 型 新课讲授
●课 时 一课时 45分钟
●教学目标?
A、知识目标：
掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。
B、能力目标：
（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
C、情感目标：（数学文化价值）
（1）通过公式的运用，树立学生大众教学的思想意识。
（2）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
●教学重点? 等差数列前n项和的公式。?
●教学难点? 等差数列前n项和的公式的灵活运用
●教 具 采用多媒体辅助教学
●教学过程
一. 数学家的故事，引出新课：
德国伟大的数学家高斯神速求和的故事：
小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
例1.计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+......+91+92+93+94+95+96+97+98+99+100
这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？
小组讨论后，让学生自行发言解答。
学生可能答案有（1）：1+100=2+99=3+98=......47+54=48+53=49+52=50+51，
所以可凑成50个101，得到5050。
学生可能答案有（2）：可设S=1+2+3+4+5+......+96+97+98+99+100，根据加法交换律，又可写成 S=100+99+98+97+96+......+5+4+3+2+1。上面两式相加得
2S=（1+100）+......+（100+1）=100×101=10100
所以我们得到S=5050，
即1+2+3+4+5+......+96+97+98+99+100=5050
师：高斯神速计算出1到100所有自然数的和的方法就是上面的方法。
由这一特殊的等差数列求和问题，反问学生这种求和的方法是否能推广到一般等差数列求和的问题。
（通过数学小故事激发学习兴趣，引导学生积极主动的参与到教学过程中。并有这个故事的数学例子，有特殊的求和得到更加一般的等差数列求和）
二、教授新课
（一）等差数列前n项和的算法：（学生尝试推导）
如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项an，根据等差数列的性质，如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导，并请一位学生板演。
推导过程：
Sn= a1+ a2+...... +an-1+ an ① 也可写成
Sn= an+an-1+......+a2+a1 ②
①式+②式得
2Sn = (a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+......+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1) （n组数）
所以2Sn =n(a1+an)
所以 ( I )
师：如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
( II )
上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式。
说明：
公式（I）是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n。
引导学生总结：这些公式中出现了几个量？（a1，d，n，an，Sn），
它们由哪几个关系联系？
[an=a1+(n-1)d，，]；
这些量中有几个可自由变化？（三个）
从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式（I）和（II）的一些应用。
（知三求二）
（二）公式的应用（通过实例演练，获取技能）。
直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）
例2、计算：
（1）1+2+3+......+n
（2）1+3+5+......+99
（3）2+4+6+......+100
并请一位同学回答。
例3. 最新资料显示姚明目前罚球命中率已锁定88％。现在请看姚明刚进NBA时一周训练罚球的个数：
第一天：600， 第二天：650，第三天：700，第四天：750，第五天：800，
第六天：850，第七天：900.求：他一周训练罚球的总个数？
解：由题意可以发现，姚明这周投篮练习的数目成等差数列{ an }，其中
a1=600，d=50，n=7。
所以
答：姚明一周训练罚球的总个数5250。
（该例是知识点的简单应用，又可以告诉同学们姚明的罚球命中率能如此的高，是因为不断训练得到的，只有不断的训练才能获取技能，所以对于学数学也一样，要多做练习。）
例4．已知。
解：因为
所以
所以
（该例是联系等差数列求和公式和等差数列通项公式的题型）
三．练习
P118练习A，B
练习A 1.根据下列各题条件，求相应等差数列{an}的Sn；
该题知三求二的题型，是直接利用公式，比较简单
第二题相对就稍难一点，需要有条件判断出首项，末项，项数，公差等，在利用公式求解。
练习题B较难，选1，3两题做。
（在练习中遵循由易入难，具有一定的梯度。对于个别同学需另集中教育。）
四. 教学小结
1. 等差数列前n项和公式
一般的，已知a1,d求Sn时，我们通常用公式
已知a1,an求Sn时，我们通常用公式
在解决等差数列问题时，求和公式和通项公式是联用的，这两种公式共涉及五个变量（a1，d，n，an，Sn），已知其中任意三个量，都可以求出其他两个变量。
（知三求二）
2.推导等差数列前n项和公式通常用倒序相加法。
3.通过本课的学习，希望能习惯由特殊到一般的思维方式。
五.探索思考(分16组进行讨论)
已知求和公式，请问我们能将公式改为？
若行，需满足什么条件？
六．布置作业
课本119页 3. 4 . 5（3）（4）
课外阅读 数学家高斯的阅历
预习下一节 4.3等比数列
●板书设计
等差数列前n项和公式（一）等差数列前n项和公式：说明： 公式推导：（二）公式的应用例2 例3例1.（例4）思考探索
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