(共32张PPT)
2．3.1 圆的标准方程
[课标解读] 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．
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课堂探究·素养提升
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教材要点
知识点一 圆的标准方程
1．以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为________________．
2．以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为________．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
知识点二 点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的大小关系 _______ _______ ________
d＞r
d＝r
d＜r
状元随笔 若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？
[提示] 若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
基础自测
1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)( )
A．是圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
答案：C
解析：圆心M(2，3)，半径r＝2，∵|PM|＝＝＜r，∴点P在圆内．
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2，3)， D．(2，－3)，
答案：D
解析：由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.
3．求以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程．
解析：圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．
答案：(x＋2)2＋y2＝4
解析：圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
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题型1 直接法求圆的标准方程
例1 (1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
答案：A
解析：设圆心坐标为(0，b)，
则由题意知，解得b＝2.
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是( )
A. (x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案：A
解析：设此直径两端点分别为(a，0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
状元随笔
(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．
(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．
方法归纳
1．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
2．确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等．
跟踪训练1 以点A(－5，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )
A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16
C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16
D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25
答案：C
解析：因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.
状元随笔 当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系．
题型2 待定系数法求圆的标准方程
例2 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
解析：方法一：设点C为圆心，
∵点C在直线：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝－2.
∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由条件知解得
故所求圆的标准方程为
(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三：线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝＝，
所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，
即y＝－2x－4.
故圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，由
即圆心为(－1，－2)，圆的半径为
r＝＝.
所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
状元随笔
解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．
方法归纳
1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．
2．充分利用圆的几何性质，可使问题计算简单．
跟踪训练2 求圆心在x轴上，且过点A(5，2)和B(3，－2)的圆的标准方程．
解析：方法一：设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
方法二：因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的中垂线上．
AB中垂线的方程为y＝－ (x－4)，
令y＝0，得x＝4.即圆心坐标为C(4，0)，
所以r＝|CA|＝ +＝.
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
题型3 与圆有关的最值问题
例3 (1)若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值；
解析：原点到圆心C(－1，0)的距离d＝1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.
(2)若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
解析：P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3，0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝=2，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.
方法归纳
1．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可求得．
3．求圆外一条直线到圆的最大距离和最小距离可采用几何法，先求出圆心到该直线的距离，再加上或减去圆的半径，即可求得．
跟踪训练3 (1)已知圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线y＝kx－2的距离的最小值为1，则实数k＝________；
答案：－或0
解析：由－1＝1解得k＝－或0.
(2)已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求的最大值．
答案：＋1
解析：的几何意义是圆上的点P(x，y)到点A(1，1)的距离，因此最大值为点A到圆心的距离加上半径即＋1.
教材反思
1．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)直接法求圆的标准方程；
(2)待定系数法求圆的标准方程；
(3)求与圆有关的最值的方法．
易错点 本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解．(共34张PPT)
2．2.3 两条直线的位置关系
[课标解读] 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程．
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教材要点
知识点一 圆的一般方程的概念
当_______________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
D2＋E2－4F＞0
知识点二 圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为________________，半径长为________________．
知识点三 对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
D2＋E2－4F＞0
状元随笔 所有二元二次方程均表示圆吗？
[提示] 不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆．
基础自测
1．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2，0)，5 B．(2，0)，
C．(0，2)， D．(2，2)，5
答案：B
解析：x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，∴圆心为(2，0)，半径r＝.
2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
答案：B
解析：∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，∴3x＋y＋a＝0过点(－1，2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1.
3．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长为________．
答案：2π
解析：由圆的方程可求得圆的半径r＝＝＝，所以圆的周长为2π.
4．原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0
答案：原点O在圆外
解析：把(0，0)代入圆的方程左边，得(a－1)2.
因为a∈(0，1)，所以(a－1)2>0，故原点O在圆外．
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题型1 圆的一般方程的概念辨析
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
解析：(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
状元随笔 (1)根据表示圆的条件求m的取值范围；
(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解．
方法归纳
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
1．由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆．
2．将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
[提醒] 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
跟踪训练1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
解析：∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
解析： ∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a，0)．
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解析：两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∵a≠0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为，
半径r＝＝|a|.
题型2 求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，则其外接圆的方程为____________．
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得
解得
故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
状元随笔 由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解．
方法归纳
应用待定系数法求圆的方程
1．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．
解析：设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)
由题意得解得
即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
题型3 求动点的轨迹方程
例3 (1)已知Rt△ABC中，A(－1，0)，B(3，0)．求：直角顶点C的轨迹方程；
解析：方法一：(直接法)设C(x，y)，
则kAC＝，kBC＝.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
由于A、B、C不共线，所以y≠0.
故顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二：(定义法)设线段AB的中点为D，则D(1，0)．
由题意知|CD|＝|AB|＝2.
所以点C的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝4.
由于直角顶点C不在直线AB上，
所以y≠0.
故顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
解析：设点P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|得＝2，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0.
配方得＋y2＝.所以点P的轨迹的圆心为，半径为.圆的面积为 π.
状元随笔 设点P (x，y)，然后代入|PA|＝2|PB|，化简即可求出圆的方程．
方法归纳
求解与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
跟踪训练3 (1)已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4
B．x2－y2＝4
C．x2＋y2＝4(x≠±2)
D．x2－y2＝4(x≠±2)
答案：C
解析：设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
(2)已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，求出点M的轨迹方程．
解析：设M(x，y)，则 ＝2，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
状元随笔 直角边垂直 斜率相乘等于－1 转化为方程 检验．
教材反思
1．本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法．难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)二元二次方程表示圆的判定方法；
(2)应用待定系数法求圆的方程的方法；
(3)代入法求轨迹方程的一般步骤．
易错点 本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．(共40张PPT)
2.3.3 直线与圆的位置关系
[课标解读] 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
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教材要点
知识点 直线与圆的位置关系的判定
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线方程为Ax＋By＋C＝0，则：
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____个 ____个 ____个
判定方法 d____r d____r d____r
Δ____0 Δ____0 Δ____0
图形
2
1
0
＜
＝
＞
＞
＝
＜
基础自测
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
答案：B
解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，又圆x2＋y2＝1的半径r＝1，∴d＝r，故直线与圆相切．
2．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1 B．± C．± D．±
答案：C
解析：设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.又l与圆相切，∴＝1.∴k＝±.
3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1 B．2 C．4 D．4
答案：C
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1，2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4.
4．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________．
答案：m＜－2或m＞2
解析：因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，
所以>，解得m＜－2或m＞2.
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题型1 直线与圆位置关系的判定
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解析：方法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为(2，1)，半径r＝2.
圆心(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
状元随笔 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．
方法归纳
直线与圆的位置关系的判断方法
1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切；
(3)直线与圆有两个公共点．
解析：(1)因为直线平分圆，所以圆心(1，1)在直线y＝x＋m上，故有m＝0.
(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
所以d＝＝＝2，m＝±2，
即m＝±2时，直线l与圆相切．
(3)直线与圆有两公共点，d＜r，即＜2，所以－2＜m＜2时有两个公共点．
题型2 直线与圆相切的有关问题
例2 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
解析：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点A在圆外．
①若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径，半径为1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线与圆相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
状元随笔 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程．
方法归纳
过一点的圆的切线方程的求法
1．点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．点在圆外时
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
跟踪训练2 求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
解析：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，
则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5，
解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或
y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
状元随笔 切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
题型3 圆的弦长问题
【思考探究】
1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB |＝ 求弦长．
2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2.
例3 直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．
解析：据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
方法一：联立方程组
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k＞0.又x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝4.
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|＝×4＝2，
则|OH|＝＝.
∴＝，解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
状元随笔 设出点斜式方程，利用r、弦心距及弦长的一半构成三角形可求．
方法归纳
直线与圆相交时弦长的两种求法
1．几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，则|AB|＝2.
图1 图2
2．代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)．
跟踪训练3 (1)圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则此圆的方程为________________；
解析：圆心到直线的距离d＝＝，由于弦心距d、半径r及弦长的一半构成直角三角形，所以r2＝d2＋()2＝4，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(x－2)2＋(y＋1)2＝4
(2)经过点P(2，－1)且被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l的方程．
解析：圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25.圆心C(3，1)．所以点P在圆内．当CP⊥l时，弦长最短．
题型4 与圆有关的最值问题
例4 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
解析：原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
题型4 与圆有关的最值问题
例4 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(2)求y－x的最大值和最小值；
解析：设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，
即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
题型4 与圆有关的最值问题
例4 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解析： x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
状元随笔 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．
跟踪训练4 已知实数x，y满足(x－3)2＋y2＝3，
(1)的最大值是________，
跟踪训练4 已知实数x，y满足(x－3)2＋y2＝3，
(2)x2＋y2的最大值是________，
12＋6
跟踪训练4 已知实数x，y满足(x－3)2＋y2＝3，
(3)2x－y的取值范围是_______________.
[6－，6＋]
解析：设2x－y＝b，则2x－y－b＝0，
当圆心(3，0)到直线2x－y－b＝0的距离小于等于时，直线与圆有交点．令d＝，
得：6－≤b≤6＋.
状元随笔
1．形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
2．形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
教材反思
1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)直线与圆位置关系的判断方法．
(2)求圆的切线的方法．
(3)求直线与圆相交时弦长的方法．
易错点 本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况．(共30张PPT)
2.3.4 圆与圆的位置关系
[课标解读] 1.能根据给定直线、圆的方程，判断圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
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新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为________、________、________、________、________．
外离
外切
相交
内切
内含
知识点二 圆与圆的位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 ________ ________ ________ _______ _______
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d
＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
相交
内切或外切
外离或内含
知识点三 两圆的公切线
两圆相离时，有四条公切线；外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；内切时，仅有一条公切线；内含时，没有公切线．
基础自测
1．两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值是( )
A． B．5
C． D．2
答案：C
解析：∵两圆外切，∴圆心距d＝＝2r，解得r＝.
2．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．外切
答案：B
解析：两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0，0)和(4，－3)，半径分别为3和4.
所以两圆的圆心距d＝＝5.
又4－3<5<3＋4，故两圆相交．
3．已知两圆的半径分别为方程x2－7x＋12＝0的两个根，如果圆心距|O1O2|＝8，则两圆的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．内切 D．相交
答案：A
解析：依题意r1＋r2＝7，又|O1O2|＝8，故选A.
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
答案：x＋3y＝0
解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10，又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
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题型1 圆与圆位置关系的判定
例1 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解析：将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k＜50)．
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切．
当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当1＋＜5或|－1|＞5，
即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．
状元随笔
→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k
方法归纳
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
解析：圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0题型2 两圆相交的有关问题
例2 已知两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0.
(1)公共弦所在直线的方程是( )
A．x－3y＋1＝0
B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0
D．3x－y＋5＝0
答案：C
解析：两圆方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相减，可得公共弦所在直线方程为6x＋8y－3＝0.
(2)求两圆相交所得公共弦的弦长．
解析：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成标准方程得，
(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
所以弦长为2＝2 ＝.
方法归纳
1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
3．已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
跟踪训练2 (1)求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长；
解析：联立两圆的方程得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，
此即为两圆公共弦所在直线的方程．
方法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点坐标满足方程组
解得或
所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2.
方法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为
d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝ (3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.
(2)两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，
∴|C1C2|＝＝，0<<4，两圆相交，公切线有2条．
题型3 圆与圆的相切问题
【思考探究】
1．圆与圆相切是什么意思？
[提示] 两圆相切指得是内切和外切两种情况．
2．两圆相切可用什么方法求解？
[提示] (1)几何法，利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得
d＝R＋r为外切，d＝|R－r|为内切．
(2)代数法，将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．
例3 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解析：设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1. ①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝. ②
＝r. ③
解由①②③组成的方程组得
a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.故所求圆的方程为
(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
状元随笔 设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得．
方法归纳
处理两圆相切问题的两个步骤
1．定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
2．转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
跟踪训练3 已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
答案：D
解析：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
教材反思
1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断两圆位置关系的方法及应用．
(2)求两圆公共弦长的方法．
易错点 本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解．(共33张PPT)
2.4 曲线与方程
[课标解读] 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念.3.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.4.掌握求轨迹方程的几种常用方法.5.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．
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教材要点
知识点一 曲线与方程的概念
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的________．
一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
①________________都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在________C上．
那么，方程F(x，y)＝0叫做__________；曲线C叫做__________．
轨迹方程
曲线C上点的坐标
曲线
曲线的方程
方程的曲线
状元随笔
1．如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明．
[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．
2．如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
[提示] 若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0.
知识点二 两条曲线的交点坐标
曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为
____________的实数解．
知识点三 解析几何研究的主要问题
(1)由曲线求它的________．
(2)利用方程研究曲线的________．
方程组
方程
性质
知识点四 求曲线的方程的步骤
有序实数对(x，y)
P＝{M|p(M)}
p(M)
f(x，y)
＝0
f(x，y)
＝0
方程的解
状元随笔 求曲线方程的步骤是否可以省略．
[提示] 可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”，如有特殊情况，可以适当说明．
基础自测
1．方程x2y2＝1的曲线是( )
答案：D
解析：方程x2y2＝1，化为xy＝±1，
即y＝±.所以曲线为D.
2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )
A B C D
答案：D
3．下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的是( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(－1，－2) D．(－2，3)
答案：A
解析：将各点代入验证，得点(1，－2)满足．
4．平面上有三点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．
答案：y2＝8x(x≠0)
解析：＝＝，由⊥得2x－＝0，即y2＝8x(x≠0)．
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题型1 曲线与方程的概念
例1 (1)命题“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是命题“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．
(2)若曲线C的方程为y＝2x－1(1A．(0，0) B．(7，15)
C．(2，3) D．(4，4)
答案：C
解析：由y＝2x－1(1方法归纳
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
跟踪训练1 下列命题正确的是________．(填序号)
①设点A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程是x＋y－2＝0；
②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y＝；
③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2－y2＝0.
答案：③
解析：命题①中方程x＋y－2＝0表示一条直线，坐标满足该方程的点如(－1，3)不在线段AB上，故命题①错误．
命题②中到原点的距离等于5的动点的轨迹方程为x2＋y2＝25，方程y＝表示的曲线是圆x2＋y2＝25除去x轴下半部分的曲线，故命题②错误．
命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为|x|＝|y|，满足x2－y2＝0，反过来坐标满足方程x2－y2＝0的点到两坐标轴的距离相等，故命题③正确．
题型2 由方程研究曲线的性质
例2 写出方程y2－4x－4＝0的曲线的主要性质．
解析：(1)曲线变化情况：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，x逐渐增大时，|y|无限增大．
∴曲线在直线x＝－1的右侧，向上向下无限伸展．
(2)对称性：用－y代y方程不变，故曲线关于x轴对称．
(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，
∴曲线的与x轴交点的横坐标为－1，与y轴交点的纵坐标为±2.
(4)画方程的曲线：
列表：
描点作图如图所示．
x －1 0 1 2 3 …
y 0 ±2 ±2.83 ±3.46 ±4 …
方法归纳
利用方程研究曲线性质的一般过程
跟踪训练2 画出到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹图形．
解析：到两坐标轴距离之差等于1的点(x，y)，满足的方程是||x|－|y||＝1，其中以－x代x，或－y代y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出x≥0，y≥0的图形后，利用对称性完成画图，如图．
题型3 直接法求曲线方程
例3 已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．9π B．8π
C．4π D．π
答案：C
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简整理，得(x－2)2＋y2＝4，
所以，动点P的轨迹是圆心为(2，0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.
方法归纳
直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
跟踪训练3 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．
解析：设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
题型4 代入法求曲线的方程
【思考探究】
1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？
[提示] 只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题．
2．常见的建系原则有哪些？
[提示] (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系．
(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
3．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？
[提示] 在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．同时注意题中隐含信息，比如“三点不能共线”，若共线就不能取．
例4 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
解析：设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．
∴即
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
状元随笔 所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．
方法归纳
代入法求解曲线方程的步骤
1．设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；
2．利用条件求出两动点坐标之间的关系
3．代入相关动点的轨迹方程；
4．化简、整理，得所求轨迹方程．
其步骤可总结为“一设二找三代四整理”．
跟踪训练4 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解析：方法一：(定义法)|MP|＝|ON|＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
除去点和点.
方法二：(代入法)如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为()．
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝＝，从而又点N(x＋3，y－4)在圆上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.∵O、M、P三点不共线，∴当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点和点.
状元随笔 方法一：由平行四边形性质可知|MP|＝|ON|＝2，满足圆的定义，注意去掉不满足条件的点；
方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程．(共37张PPT)
2．5.1 椭圆的标准方程
[课标解读] 1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．
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教材要点
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．
2．相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的________，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的________．
焦点
焦距
状元随笔 椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示] 2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件 结论
2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二 椭圆的标准方程
焦点位置 在x轴上 在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 (±c，0) (0，±c)
a，b，c的关系 a2＝__________ b2＋c2
状元随笔 确定椭圆标准方程需要知道哪些量？
[提示] a，b的值及焦点所在的位置．
基础自测
1．已知点M到两个定点A(－1，0)和B(1，0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是( )
A．一个椭圆
B．线段AB
C．线段AB的垂直平分线
D．直线AB
答案：B
解析：定值2等于|AB|，故点M只能在线段AB上．
2．以下方程表示椭圆的是( )
A．＝1
B．2x2－3y2＝2
C．－2x2－3y2＝－1
D．＝0
答案：C
解析：A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程．
3．已知椭圆+＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1 B．5
C．2 D．7
答案：D
解析：由|PF1|＋|PF2|＝10可知到另一焦点的距离为7.
4．以坐标轴为对称轴，两个焦点间的距离是2，且过点(0，2)的椭圆的标准方程是( )
A．＝1
B．+＝1
C．＝1或＝1
D．＝1或＝1
答案：C
解析：若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是＝1.
课堂探究·素养提升
题型1 求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；
解析：由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
∵2a＝＝10，∴a＝5.
又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
解析：由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
∴?
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
解析：方法一：①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
因为a>b>0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为＝1.
方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依题意有解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
状元随笔 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算．
方法归纳
确定椭圆方程的“定位”与“定量”
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)；
解析：方法一：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知2a＝＝12，所以a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＝1.
方法二：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以可设其标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＝1.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)经过两点(2，－)，(－1，))．
解析：方法一：若椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在．
综上，所求椭圆的标准方程为＝1.
方法二：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以可设其标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＝1.
状元随笔 若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
题型2 椭圆的定义及其应用
【思考探究】
1．如何用集合语言描述椭圆的定义？
[提示] P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}.
2．如何判断椭圆的焦点位置？
[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要通过看椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？
[提示] 椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如图所示)．
例2 如图所示，已知椭圆的方程为+＝1.
(1)若点P为椭圆上的点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积；
解析：由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|. ②
②代入①解得|PF1|＝.
所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝×2×＝，
即△PF1F2的面积是.
例2 如图所示，已知椭圆的方程为+＝1.
(2)在题设条件不变的情况下，求点P的坐标．
解析：设P点坐标为(x0，y0)．
由(1)可知＝|F1F2|·|y0|＝，
解得|y0|＝，即y0＝±，
将y0＝±代入＝1得x0＝±，
所以点P的坐标为(±，±)．
状元随笔 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用三角形面积公式求解．
方法归纳
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量．且＝b2tan (其中θ＝∠F1PF2)．
跟踪训练2 已知椭圆C： +＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则△PF1F2的面积是( )
A．5 B．
C．5 D．
答案：D
解析：由题意可得a＝3，c＝＝2.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝6①，
由余弦定理得，cos ∠PF1F2＝＝，即m2－n2－4m＋16＝0②，由①②解得m＝，n＝，故△PF1F2的面积是m|F1F2|sin 60°＝×4×＝.
题型3 与椭圆定义有关的轨迹问题
例3 如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
解析：由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，
|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.
∴|CM|＋|MA|＝5.且5>|AC|＝2，
∴M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，
焦点为C(－1，0)，A(1，0)，
∴a＝，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝－1＝.
∴所求轨迹方程为＝1.
方法归纳
在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法．
跟踪训练3 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
解析：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意动圆M内切于圆C1，
∴|MC1|＝13－r.
圆M外切于圆C2，
∴|MC2|＝3＋r.
∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，
∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
b2＝a2－c2＝64－16＝48，
故所求轨迹方程为＝1.(共36张PPT)
2.5.2 椭圆的几何性质
[课标解读] 1.经历从椭圆标准方程和代数运算得到椭圆的简单几何性质，并给出几何解释，解决问题，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.3.了解椭圆的简单应用．
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教材要点
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
对称性 对称轴__________，对称中心________ 范围 x∈________，y∈________ x∈________，y∈________
x轴和y轴
(0，0)
[－a，a]
[－b，b]
[－b，b]
[－a，a]
顶点 ____________________ ____________________ ____________________
____________________
轴长 短轴长|B1B2|＝________，长轴长|A1A2|＝________ 焦点 ____________________ ____________________
焦距 |F1F2|＝______ 离心率 e＝________(0＜e＜1) A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
状元随笔
1．椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？
[提示] 最大距离：a＋c；最小距离：a－c.
2．椭圆方程+＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？
[提示] 在方程＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．
基础自测
1．椭圆+＝1的焦距为( )
A．8 B．4
C． D．2
答案：A
解析：a2＝25，b2＝9，所以c＝＝4，焦距为2c＝8.
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1，0)(1，0)
B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
答案：D
解析：x2＋＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案：A
4．若椭圆C：+＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值、最小值分别为( )
A．3，1 B．2＋，2－
C．2，1 D．＋1，－1
答案：A
解析：椭圆C：＝1，a＝2，c＝1，
可得该椭圆上的点到焦点距离的最大值、最小值分别为a＋c＝3，a－c＝1.
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题型1 由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解析：把已知方程化成标准方程＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．
状元随笔 化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．
方法归纳
解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1 求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解析：椭圆的标准方程为＝1，则a＝9，b＝3，c＝＝6，长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为(0，6)，(0，－6)，顶点坐标为(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0)，离心率e＝＝.
题型2 由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程
例2 (1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①长轴长是10，离心率是；
解析：设椭圆的方程为
＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为＝1或＝1.
②在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解析： 依题意可设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＝1.
状元随笔 先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.
(2)已知椭圆＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为( )
A．3 B．或3
C． D．或
答案：B
解析：由题意知m>0，
当5>m时，a＝，b＝，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝3；
当5所以e＝＝＝，解得m＝.
方法归纳
利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的方程，解方程(组)求得参数．
跟踪训练2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)①已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
解析：依题意可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＝1.
②短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解析：设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)．
由已知得
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.
(2)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于( )
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
答案：D
解析：若焦点在x轴上时，a2＝，b2＝，根据e＝＝?＝?＝?＝，即＝?m＝2；若焦点在y轴上时，a2＝，b2＝即＝?m＝8，所以m等于2或8.
状元随笔 当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定焦点位置的量有焦点、顶点；而不能确定焦点位置的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
题型3 求椭圆的离心率
【思考探究】
1．求椭圆离心率的关键是什么？
[提示] 根据e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系．
2．a，b，c对椭圆形-状有何影响？
[提示] (1)e＝＝＝.
(2)
例3 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
解析：不妨设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．
依题意设A点坐标为，
则B点坐标为，
∴|AB|＝.
由△ABF2是正三角形得2c＝，
即b2＝2ac，
又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，
∴c2＋2ac－a2＝0，
两边同除以a2，得＋2＝0，
解得e＝＝.
状元随笔 由题设求得A、B点坐标，根据△ABC是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率．
方法归纳
求椭圆离心率的方法
1．直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解．
2．若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．
跟踪训练3 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－
C． D．－1
答案：D
解析：在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，
设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝m，
又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)m，
则离心率e＝＝＝＝－1.
题型4 椭圆的几何性质中范围的应用
例4 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，0)，点P是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则|PA|的最大值与最小值的积为________．
答案：
解析：设点P的坐标为(x，y)，则－2≤x≤2，y2＝1－，
所以|PA|＝＝＝＝ .
当x＝－时，|PA|取最小值；当x＝2时，|PA|取最大值3.因此|PA|的最大值与最小值的积为3×＝.
方法归纳
设出椭圆上任一点，满足椭圆的方程，利用椭圆的方程，转化为二次函数，利用几何性质中范围求最值．
跟踪训练4 已知P是椭圆+＝1上一点，A(0，5)，求|PA|的最小值与最大值．
解析：由题意知椭圆标准方程为＝1，
所以a＝6，b＝2，c＝4并且椭圆焦点在y轴上，
P点是椭圆上任意一点，设P点坐标为(x0，y0)，
那么P点满足椭圆方程，即
＝1 ①
根据两点间距离公式得：
|PA|＝ ②
根据①式和②式得：
|PA|＝，
设z＝－10y0＋29
＝＋(－6≤y0≤6)，
因为∈[－6，6]，则当y0＝时，
zmin＝，即|PA|min＝，
当y0＝－6时，
|PA|max＝
＝11.