新人教B版选择性必修第三册2023版高中数学第六章导数及其应用6.1导数 课件(5份打包)

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名称 新人教B版选择性必修第三册2023版高中数学第六章导数及其应用6.1导数 课件(5份打包)
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文件大小 8.8MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-01-09 18:22:55

文档简介

(共25张PPT)
6.1.1 函数的平均变化率
通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
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教 材 要 点
知识点一 函数的平均变化率
函数的平均变化率的定义
一般地,已知函数y=f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,记Δx=x2-x1,Δy=y2-y1=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1),
则当Δx≠0时,商________=
称作函数y=f(x)在区间[x1,x2](或[x2,x1])的平均变化率.
知识点二 函数的平均变化率的几何意义即割线的斜率
已知y=f(x)图象上两点A(x1,f(x1)),B(x1+Δx,f(x1+Δx)),过A,B两点割线的斜率是________________,即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.
知识点三 函数的平均变化率的物理意义即平均速度
物体在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率.

 基 础 自 测

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)Δx表示x2-x1,是相对于x1的一个增量,Δx的值可正可负,但不可为零.(  )
(2)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可负,也可以为零.(  )
(3)表示曲线y=f(x)上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.(  )
(4)平均速度是刻画某函数在区间[x1,x2]上的变化快慢的物理量.(  )




2.已知函数y=f(x)=2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则割线PQ的斜率为(  )
A.4 B.4x
C.4+2Δx2 D.4+2Δx
解析:==4+2Δx.
答案:D
3.如图,函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率为(  )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析:==-1.
答案:B
4.如果质点M按规律s=3+t2(s的单位是m,t的单位是s)运动,则在时间段[2,2.1]内质点M的平均速度等于(  )
A.3 m/s B.4 m/s
C.4.1 m/s D.0.41 m/s

解析:平均速度====4.1(m/s),故选C.
答案:C
课堂探究·素养提升
课堂探究·素养提升——强化创新性 

  求函数的平均变化率
例1 (1)已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则=(  )
A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
【解析】∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=[2(1+Δx)2-1]-1=+4Δx,∴=2Δx+4.
【答案】C
(2)已知函数f(x)=x+,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.

【解析】自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为
==;
自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为
==.
因为<,所以函数f(x)=x+在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.
状元随笔 (1)由Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(1+Δx)-f(1)可得.
(2)
方法归纳
1.求函数平均变化率的三个步骤
第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1;
第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);
第三步,求平均变化率=.
2.求平均变化率的一个关注点
求点x1附近的平均变化率,可用
的形式.
跟踪训练1 函数y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是(  )
A.2 B.2x C.2+Δx D.2+(Δx)2
解析:∵Δy=[(1+Δx)2+1]-(12+1)=2Δx+(Δx)2,
∴==2+Δx,故选C.
答案:C
  求物体在某段时间内的平均速度
例2 质点运动规律s=gt2,则在时间区间(3,3+Δt)内的平均速度等于________.(g=10 m/s2)
【解析】 Δs=g×(3+Δt)2-g×32=×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,==30+5Δt.
30+5Δt
方法归纳
求运动物体平均速度的两个步骤
1.求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
2.求平均速度=.
跟踪训练2 一质点按运动方程s(t)=作直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为(  )
A.-1 B.-C.-2 D.2
解析:==-1=-.
答案:B
  平均变化率的几何意义
例3 已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是___;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是______.
【解析】 当Δx=1时,割线AB的斜率k1====5.
当Δx=0.1时,割线AB的斜率k2===4.1.
5
4.1
方法归纳
已知y=f(x)图象上两点A(x1,f(x1)),B(x1+Δx,f(x1+Δx)),过A,B两点割线的斜率是=,即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.
跟踪训练3 已知函数y=x2-1的图象上一点A(3,8)及邻近一点B(3+Δx,8+Δy),则割线AB的斜率等于(  )
A.6 B.6+Δx C.6+(Δx)2 D.6x
解析:因为Δy=(3+Δx)2-1-32+1=6Δx+(Δx)2,所以==6+Δx,故选B.
答案:B
  以直代曲
例4.刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家,他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想,创立了割圆术,如图是半径为1尺的圆内接正六边形,若用该正六边形的面积近似代替圆的面积,则该圆的面积的近似值为________.
 【解析】 S正六边形=6×=.
【答案】 
方法归纳
以直代曲思想用来研究函数的局部性质,重在体会“无限逼近”“量变到质变”“近似与精确”的思想.

跟踪训练4 已知函数f(x)的部分图象如图所示.若把曲线AB近似地看成线段,则图中阴影部分的面积近似为________.
解析:若把曲线AB近似看成线段,则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S=×1×3=.
答案:(共24张PPT)
第1课时 瞬时变化率与导数
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.
2.体会极限思想.
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教 材 要 点
知识点 瞬时变化率与导数
(1)物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),当________时,函数f(t)在t0到t0+Δt之间的平均变化率________________趋近于常数,我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度.
Δt趋近于0
(2)函数的瞬时变化率
设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,当自变量在x=x0附近改变量为Δx时,函数值相应地改变Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果当Δx趋近于0时,平均变化率________________趋近于一个常数k,那么常数k称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率.
记作:当Δx→0时,→k.
还可以说:当Δx→0时,函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率k,记作
(3)函数f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在点x0的________,通常称为f(x)在点x0处的导数,并记作________,即f′(x0)=________________.

瞬时变化率
f′(x0)
 基 础 自 测
1.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是________.
解析:∵f(x)=x2,
∴函数f(x)在x=1处的瞬时变化率是


==2.
答案:2
2.一物体的运动方程为s(t)=t2-3t+2,则其在t=________时的瞬时速度为1.
解析:设物体在t=t0时的瞬时速度为1,
因为===2t0-3+Δt,
所以=2t0-3=1,解得t0=2.
答案:2
3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(  )
A.f′(x)=a B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b
解析:f′(x0)===a.
答案:C
4.如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1,那么=(  )
A. B.1
C.2 D.
解析:因为f′(1)=1,所以=1,
所以==.
答案:A
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  求瞬时速度
例1 以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t-gt2,则物体在t0时刻的瞬时速度为________.
【解析】 ∵Δs==v0Δt-gt0Δt-g(Δt)2,
∴=v0-gt0-gΔt,
∴=v0-gt0,
即t0时刻的瞬时速度为v0-gt0.
【答案】 v0-gt0
状元随笔 先求出,再求
方法归纳
1.求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(2)求平均速度=;
(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即为瞬时速度.
2.求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中,可把Δx作为一个数来参与运算.
(2)求出的表达式后,Δx无限趋近于0就是令Δx=0,求出结果即可.
跟踪训练1 一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2(位移单位:m,时间单位:s).
(1)求此物体的初速度;


解析:初速度v0=
===3,
即物体的初速度为3 m/s.
(2)求此物体在t=2时的瞬时速度.
解析:v瞬=


==-1,
即物体在t=2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度方向相反.
  求函数在某点处的导数
例2 (1)曲线y=在点处的导数为(  )
A.2 B.-4 C.3 D.
【解析】因为y′====-,所以曲线在点处的切线斜率为k=-4,故选B.
【答案】 (1)B
(2)求函数y=3x2在x=1处的导数.
【解析】∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)2-3=,
∴=6+3Δx,
∴f′(1)===6.
状元随笔 求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率,再求f ′(x0).
方法归纳
1.通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系,对于Δy与Δx的比值,感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象.
2.用定义求函数在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率;
(3)求极限,得导数为f′(x0)=.
简记为:一差、二比、三趋近.
跟踪训练2 求函数f(x)=x-在x=1处的导数.
 解析:∵Δy=(1+Δx)-
=Δx+1-=Δx+,
∴==1+,
∴f′(1)===2.
  导数的实际意义
例3 已知某产品的总成本函数为C=2Q2+Q+3,总成本函数在Q0处导数f′(Q0)称为在Q处的边际成本,用MC(Q0)表示.求边际成本MC(200),并说明它的实际意义.
【解析】 设Q=200时,产量的改变量为ΔQ,则=
=2ΔQ+801.
则MC(200)==801,
即产量为200的边际成本为801,其实际意义是:此时多生产1件产品,成本要增加801.
方法归纳
由Δx很小时,f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)·Δx,瞬时变化率f′(x0)的实际意义为:当自变量在x=x0处的改变量很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)·Δx.
跟踪训练3 半径为R的气球,求半径为1时体积的瞬时变化率,并说明这一瞬时变化率的实际意义.
解析:半径为R的气球体积为f(R)=πR3,
设R=1时,半径的改变量为ΔR,则
==π[3+3ΔR+(ΔR)2],
∴f′(1)=π·[3+3ΔR+(ΔR)2]=4π,
∴球的体积在半径R=1时的瞬时变化率为4π,
实际意义是,当气球的半径R=1时,半径改变量ΔR很小时,其体积的改变量近似值为4π·ΔR.
(共31张PPT)
第2课时 导数的几何意义
通过函数图象直观理解导数的几何意义.
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知识点 导数的几何意义
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义?
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率
基 础 自 测
1.已知曲线y=x2上一点A(2,4),则在点A处的切线斜率为(  )
A.4 B.16
C.8 D.2
解析:k==4.
答案:A
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(  )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)=f′(xB)
D.不能确定
解析:由导数的几何意义,知f′(xA),f′(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由图象可知f′(xA)答案:B
3.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则f′(2)=(  )
A.1 B.-1 C.-3 D.3
解析:由题意知切线的斜率为3,即f′(2)=3.
答案:D
4.已知曲线f(x)=x2+x的一条切线的斜率是3,则该切点的横坐标为(  )
A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析:设切点坐标为(x0,y0),∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=-x0=+Δx,∴=x0+Δx+1,∴f′(x0)==x0+1.则f′(x0)=x0+1=3,∴x0=2.
答案:D
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  求曲线在某点处切线的方程
例1 已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1,∴切点P(1,1).
y′==
==3.
∴k=3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
【解析】由
解得或
从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),
即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一公共点(-2,-8).
状元随笔 
(1)先求切点坐标,再求y′,最后利用导数的几何意义写出切线方程.
(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解.

方法归纳
1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0);
(2)写出切线方程,即y-y0=f′(x0)·(x-x0).
特别注意:若在点(x0,y0)处切线的倾斜角为,此时所求的切线平行于y轴,所以曲线的切线方程为x=x0.
2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.

跟踪训练1 已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程.

解析:∵P(2,4)在曲线y=x3+上,
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k=
=(Δx)2]=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
  求切点坐标
例2 已知抛物线y=2x2+1.求:
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°?
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0
【解析】 设切点的坐标为(x0,y0),则
Δy=-1=4x0·Δx+2(Δx)2.
∴=4x0+2Δx.
∴f′(x0)==4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°,
∴斜率为tan 45°=1,
即f′(x0)=4x0=1,得x0=,该点为().
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0,
∴斜率为4,
即f′(x0)=4x0=4,得x0=1,该点为(1,3).
状元随笔 
跟踪训练2 已知函数f(x)=x2.在曲线y=f(x)上某点P的切线满足下列条件,分别求出P点.
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴成135°的倾斜角.

解析:设P(x0,y0)是满足条件的点,
f′(x0)=
==2x0.
(1)∵切线与直线y=4x-5平行,
∴2x0=4,x0=2,y0=4,
即P(2,4)是满足条件的点.
(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,
∴2x0·=-1,得x0=-,y0=,
即P(-)是满足条件的点.
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角,
∴其斜率为-1.
即2x0=-1,得x0=-,y0=,
即P(-)是满足条件的点.
方法归纳
根据切线斜率求切点坐标的步骤
1.设切点坐标(x0,y0);
2.求导函数f′(x);
3.求切线的斜率f′(x0);
4.由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;
5.点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0,得切点坐标.
  曲线过某点的切线方程
例3 求抛物线y=x2过点(4,)的切线方程.
【解析】 设过点(4,)的切线与抛物线相切于点),
∵f′(x0)=
=x0+Δx)=x0,
=x0,
即-8x0+7=0,解得x0=7或x0=1,
即切点坐标为(7,),(1,),
故切线方程为y-=(x-7)或y-=(x-1),
化简得14x-4y-49=0或2x-4y-1=0,
即所求的切线方程为14x-4y-49=0或2x-4y-1=0.
方法归纳
过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求解步骤
(1)设切点(x0,f(x0)).
(2)建立方程f′(x0)=.
(3)解方程得k=f′(x0),由x0,f(x0)及k,从而写出切线方程.
跟踪训练3 求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程.

解析:设切点为+x0+1),
则切线的斜率为
k==2x0+1.
又k==,
∴2x0+1=,
解得x0=0或x0=-2.
当x0=0时,切线斜率k=1,过点(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.
当x0=-2时,切线斜率k=-3,过点(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.
故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.
  利用图象理解导数的几何意义
例4 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是(  )
A.0B.0C.0D.0【解析】kAB==f(3)-f(2),
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,
根据图象可知0【答案】C 
(2)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(  )
【解析】依题意,y=f′(x)在[a,b]上是增函数,则在函数f(x)的图象上,各点的切线的斜率随着x的增大而增大,观察四个选项的图象,只有A满足.
【答案】A
方法归纳
根据导数的几何意义可知,f′(x0)能反映曲线f(x)在x=x0处的升降及变化快慢情况,若f′(x0)>0,则曲线在该点处上升,若f′(x0)<0,则曲线在该点处下降.
跟踪训练4 
已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”).
解析:f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f′(a)>f′(b).
>(共33张PPT)
6.1.3 基本初等函数的导数
1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
2.能使用给出的基本初等函数的导数公式表求简单函数的导数.
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教 材 要 点
知识点一 函数的导数
一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x________,则称f(x)可导.此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个___________.于是,在f(x)的定义域内,f′(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作__________________________________,
即f′(x)=y′=y′x=.
导函数通常也简称为导数.
都可导
确定的导数f′(x)
 f′(x)或y′(或y′x)
知识点二 几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=________
f(x)=x f′(x)=________
f(x)=x2 f′(x)=________
f′(x)=________
0 
1 
2x 

知识点三 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
y=c y′=________
y=xn(n∈N+) y′=________,n为正整数
y=xμ(x>0,μ≠0且μ∈Q) y′=________,μ为有理数
y=ax(a>0,a≠1) y′=________
y=ex y′=________
y=logax(a>0,a≠1,x>0)
y′=________
y=ln x
y′=________
y=sin x y′=________
y=cos x y′=________
0
nxn-1
μxμ-1
ax ln a
ex
cos x
-sin x
基 础 自 测
1.给出下列结论:
①若y=,则y′=-;
②若y=,则y′=;
③若f(x)=3x,则f′(1)=3.
其中正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.0
解析:对于①,y′=(x-3)′=,正确;
对于②,y′=,不正确;
对于③,f′(x)=3,故f′(1)=3,正确.
答案:B
2.给出下列命题:
①y=ln 2,则y′=;
②y=,则y′=-;
③y=2x,则y′=2x ln 2;
④y=log2x,则y′=.
其中正确命题的个数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:对于①,y′=0,故①错;显然②③④正确,故选C.
答案:C
3.若函数f(x)=10x,则f′(1)=(  )
A. B.10 C.10ln 10 D.
解析:∵f′(x)=10x ln 10,∴f′(1)=10ln 10.
答案:C
4.已知f(x)=xα(α∈Q+),若f′(1)=,则α=(  )
A. B.C. D.
解析:∵f(x)=xα,∴f′(x)=αxα-1,∴f′(1)=α=.
答案:D
课堂探究·素养提升
  利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数:
(1)y=x12;(2)y=;(3)y=;(4)y=3x;(5)y=log5x.
【解析】 (1)y′=(x12)′=12x11.
(2)y′=′=(x-4)′=-4x-5=-.
(3)y′=()′=′=.
(4)y′=(3x)′=3x ln 3.
(5)y′=(log5x)′=.
状元随笔 首先观察函数解析式是否符合求导形式,若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式.
方法归纳
1.若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
2.对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.
3.要特别注意“与ln x”,“ax与logax”,“sin x与cos x”的导数区别.
跟踪训练1 若f(x)=x3,g(x)=log3x, 则f′(x)-g′(x)=________.
解析:∵f′(x)=3x2,g′(x)=,
∴f′(x)-g′(x)=3x2-.
答案:3x2-
  利用公式求函数在某点处的导数或者切线方程
例2 (1)质点的运动方程是s=sin t,求质点在t=时的速度.
【解析】v(t)=s′(t)=cos t,∴v=cos =.
即质点在t=时的速度为.
(2)已知函数f(x)=在x=a处的导数为-2,则实数a的值是________.
【解析】f′(x)=-,当x=a时,f′(a)=-=-2,即a=±.
【答案】±
状元随笔 先求s ′(t),再求s ′.
方法归纳
1.速度是路程对时间的导数,加速度是速度对时间的导数.
2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是:(1)先求函数的导函数;(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.
跟踪训练2 (1)求函数f()=在(1,1)处的导数;




解析:∵f′(x)=′=′==-,
∴f′(1)=-=-.
(2)求函数f(x)=cos x在()处的导数.
解析:∵f′(x)=-sin x,
∴f′=-sin =-.
  求曲线过某点的切线方程
【思考探究】
1.若函数y=f(x)在点x0处的导数存在,则曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是什么?
[提示] 根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
2.曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
[提示] 不一定,切线只是一个局部概念,是该点处的割线的极限位置,在其他地方可能还有一个或多个公共点.
3.函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系?
[提示] 区别:函数在某点处的导数是一个定值,导函数是一个函数.
联系:函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x=x0时的函数值.
例3 已知曲线f(x)=.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;

【解析】f′(x)=-.
设过点A(1,0)的切线的切点为P,①
则f′(x0)=,即该切线的斜率为k=.
因为点A(1,0),P在切线上,
所以=,②
解得x0=.故切线的斜率k=-4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),
即4x+y-4=0.
(2)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
【解析】设斜率为-的切线的切点为Q,
由(1)知,k=f′(a)=-=-,得a=±.
所以切点坐标为()或(-,-).
故满足斜率为-的曲线的切线方程为
y-=-(x-)或y+=-(x+),
即x+3y-2=0或x+3y+2=0.

状元随笔 
(1)点A不在曲线上,设切点坐标,写出切线方程,把A(1,0)代入求出切点坐标,进而求出切线方程.
(2)设出切点坐标,由该点斜率为-,求出切点,进而求出切线方程.
方法归纳
1.求曲线过已知点的切线方程的步骤
2.若已知切线的斜率,则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标,根据点斜式写出切线方程.
跟踪训练3 试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
解析:y′=2x.
设所求切线的切点为A(x0,y0).
∵点A在曲线y=x2上,∴y0=,又∵A是切点,
∴过点A的切线的斜率k=2x0,
∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,∴其斜率为=.
∴2x0=,
解得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求的切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),即2x-y-1=0和10x-y-25=0.
  导数公式的应用
例4 (1)点P是曲线y=ex上的任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
【解析】如图,当曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离最近,

则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线斜率为1,又y ′=(ex) ′=ex,
=1,得x0=0,代入y=ex,得y0=1,即P(0,1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
(2)已知函数y=kx是曲线y=ln x的一条切线,则k=________.
【解析】设切点为(x0,y0),∵y′=,∴k=,
∴y=·x,又点(x0,y0)在曲线y=ln x上,
∴y0=ln x0,∴ln x0=,∴x0=e,∴k=.
【答案】
方法归纳
求曲线方程或切线方程时,应注意:
1.切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程;
2.曲线在切点处的导数就是切线的斜率;
3.必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点.
4.“求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离”问题,可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.
其基本步骤与方法如下:
(1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率.
(2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标.
(3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标.
(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.
跟踪训练4 (1)已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最小距离.
解析:∵y=x2,∴y′=(x2)′=2x.根据题意可知,与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线所对应的切点到直线x-y-2=0的距离最小,设切点坐标为),则2x0=1,
所以x0=,所以切点坐标为(),切点到直线x-y-2=0的距离d==,所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最小距离为.
(2)已知直线y=kx是曲线y=3x的切线,则k的值为________.
解析:设切点为(x0,y0).
因为y′=3x ln 3,
所以k=ln 3,
所以y=ln 3·x,
又因为(x0,y0)在曲线y=3x上,
所以ln 3·x0=,
所以x0==log3 e.
所以k=eln 3.
答案: eln 3(共30张PPT)
6.1.4 求导法则及其应用
1.能使用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax+b))的导数.
2.会使用导数公式表.
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知识点一 导数的运算法则
1.和差的导数
[f(x)±g(x)]′=________________.
2.积的导数
(1)[f(x)g(x)]′=________________;
(2)[Cf(x)]′=________________.
3.商的导数
′=____________________________________.
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
Cf′(x)
,g(x)≠0,g′(x)≠0
知识点二 复合函数的概念及求导法则
复合函数的概念  一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成________,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作________.
复合函数的求导法则 
x的函数
y=f(g(x))
· 
y对u的导数与u对x的导数的乘积
基 础 自 测

1.下列运算中正确的是(  )
A.若f′(x)=2x,则f(x)=x2
B.已知函数y=2sin x-cos x,则y′=2cos x+sin x
C.已知函数f(x)=(x+1)(x+2),则f′(x)=2x+1
D.′=
答案:B
2.函数f(x)=xex的导数f′(x)=(  )
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
解析:f′(x)=x′ex+x(ex)′=ex+xex=ex(x+1),选A.
答案:A
3.若函数f(x)=ex sin x,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为(  )
A. B.0 C.钝角 D.锐角
解析:∵f′(x)=ex sin x+ex cos x,
∴f′(4)=e4(sin 4+cos 4).
∵π<4<π,∴sin 4<0,cos 4<0,∴f′(4)<0.
由导数的几何意义得,切线的倾斜角为钝角.
答案:C
4.函数f(x)=sin (-x)的导函数f′(x)=________.
解析:f′(x)=[sin (-x)]′=cos (-x)(-x)′
=-cos x.
答案:-cos x
课堂探究·素养提升
  导数四则运算法则的应用
例1 求下列函数的导数.
(1)y=x-2+x2;
(2)y=3xex-2x+e;
(3)y=;
(4)y=x2-sin cos .
方法归纳
1.解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分.
2.对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公式,当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简(恒等变形),然后求导.这样可以减少运算量,优化解题过程.
跟踪训练1 已知f(x)=,若f′(x0)+f(x0)=0,则x0的值为_______.
  复合函数的导数
例2 求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;
(2)y=;
(3)y=5log2(1-x);
(4)y=sin3x+sin3x.
状元随笔 
先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导.
方法归纳
1.解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数;
(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤
跟踪训练2 求下列函数的导数.
(1)y=cos (x+3);
(2)y=(2x-1)3;
(3)y=e-2x+1.
解析:(1)函数y=cos (x+3)可以看作函数y=cos u和u=x+3的复合函数,
由复合函数的求导法则可得
y′x=y′u·u′x=(cos u)′·(x+3)′
=-sin u·1=-sin u=-sin (x+3).
(2)函数y=(2x-1)3可以看作函数y=u3和u=2x-1的复合函数,
由复合函数的求导法则可得
y′x=y′u·u′x=(u3)′·(2x-1)′
=3u2·2=6u2=6(2x-1)2.
(3)函数y=e-2x+1可以看作函数y=eu和u=-2x+1的复合函数,
由复合函数求导法则可得y′x=y′u·u′x=(eu)′·(-2x+1)′=eu·(-2)=-2e-2x+1.
  复合函数的导数的应用
【思考探究】
试说明复合函数y=(3x+2)2的导函数是如何得出的?
[提示] 函数y=(3x+2)2可看作函数y=u2和u=3x+2的复合函数,
∴yx′=yu′·ux′=(u2)′·(3x+2)′=6u=6(3x+2).
例3 (1)已知函数f(x)=ax2+2ln (2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆C:x2+y2=相切,求实数a的值.
状元随笔 求出导数f ′(1),写出切线方程,由直线l与圆C相切,建立方程求解.
(2)曲线y=ln (2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(  )
A. B.2
C.3 D.0
【答案】A
方法归纳
关于复合函数导数的应用及其解决方法
1.复合函数的导数应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用.
2.方法:先求出复合函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程;若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.
跟踪训练3 (1)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为________.
解析:因为y=3(x2+x)ex,所以y′=3(x2+3x+1)ex,所以y′|x=0=3,故曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y-0=3(x-0),即y=3x.
y=3x
(2)曲线y=f(x)=e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为,求直线l的方程.